De la loi de Bernoulli à la loi normale en suivant le programme de PDF

5. Quelques lois discrètes

1/5. 2/5. 3/5. 4/5. 5/5. Loi de Bernoulli (suite). Théor`eme. La fonction de répartition d'une variable X ? Bernoulli(p) est.

Chapitre 2 - Variables Aléatoires

Fonction de Repartition de Y. 1.2 Lois discrètes usuelles. Loi de Bernoulli B (p)

Simulation de variables aléatoires

2.2 Loi de Bernoulli . On notera FX la loi (i.e. la fonction de répartition) d'une variable aléatoire X et si elle existe

Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Fonction de répartition (si d = 1) : FX(t) = P(X ? t) t ? R Loi de Bernoulli B(p) ... Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

Probabilités et variables aléatoires

lois les plus utilisées sont décrites : discrètes de Bernoulli; bino- Calculons la fonction de répartition de X. Comme X est positive on a.

Exercices de Probabilités

1 Introduction aux probabilités. 2. 2 V.a.r espérance

De la loi de Bernoulli à la loi normale en suivant le programme de

D'après le TCL on a la cvce en loi suivante : U = ? n. S/n ? p. ?p(1 ? p) ? N(01)

Lois de probabilité. Lois discrètes. Lois à densité.

Si X est une variable aléatoire réelle sa fonction de répartition est la fonction Loi de Bernoulli

Simulation des variables aléatoires Simulation par la méthode d

13 mars 2020 Exemple de fonction de répartition: • Pour l'expérience de lancement d'une pièce de monnaie on a la loi de probabilité de X est résumée.

Cours et exercices corrigés en probabilités

2.3 Fonction de répartition d'une v.a. discrète . On dit dans ce cas que la v.a. X suit une loi de Bernoulli de paramètre p =.

[PDF] 5 Quelques lois discrètes - GERAD

Si X suit une loi de Bernoulli de param`etre p alors on note La fonction de répartition d'une variable X ? Bernoulli(p) est

[PDF] De la loi de Bernoulli à la loi normale en - IREM dAix-Marseille

ce qui signifie que la fonction de répartition P(U ? u) converge vers la fonction de répartition d'une loi normale P(N(01) ? u)

[PDF] De la loi de Bernoulli à la loi normale en - IREM dAix-Marseille

ce qui signifie que la fonction de répartition P(U ? u) converge vers la fonction de répartition d'une loi normale P(N(01) ? u)

[PDF] MODULE 7 LOIS PROBABILITÉ PROBABILITÉ - Université du Québec

Pour utiliser la fonction de probabilité de la loi binomiale il faut déterminer la valeur du paramètre ? 1 Ce calcul peut se faire à la calculatrice mais il

[PDF] 1 Loi Uniforme 2 Loi de Bernouilli

Représenter la fonction de répartition de X 2 De façon générale on dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p et on note X ? B(p) si X

[PDF] Correction TD no 3

On note dans cette exercice F la fonction de répartition d'une loi N(0 1) Remarque: pour tout t ? R F(t)=1 ? F(?t) En effet si Y est une variable

[PDF] Variables Aléatoires

1 Loi de probabilité Fonction de répartition Une variable aléatoire X de Bernoulli est une variable qui ne prend que deux valeurs : l'échec

[PDF] Fonction de répartition et densité

Fonction de répartition et densité Définition 1 La fonction de répartition (f d r ) de la variable aléatoire X sur R est la fonction suivante :

[PDF] Chapitre 4: Lois de probabilités

La Fonction de répartition de la loi normale réduite permet d'obtenir les probabilités associées à toutes variables aléatoires normales (µ ) après

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Déterminer la loi de probabilité de la v a Y et donner sa fonction de répartition Corrigé exercice 2 2 1 Déterminer la loi de probabilité de la v a X : ?

Comment définir la fonction de répartition ?
b - Représentation graphique de la fonction de répartition F de X : F(x) = 1 - 1/x² sur [1,+?[. C'est une fonction strictement croissante (de dérivée f), nulle en 1 et admettant y = 1 comme asymptote horizontale à l'infini.
Comment expliquer la loi de Bernoulli ?
De manière générale, la loi de Bernoulli est la loi de la variable aléatoire qui code le résultat d'une épreuve qui n'admet que deux issues (épreuve de Bernoulli) : 1 pour « succès », 0 pour « échec », ou quel que soit le nom qu'on donne aux deux issues d'une telle expérience aléatoire.
Comment montrer que deux variables suivent la même loi ?
On dit que deux variables aléatoires X et Y ont la même loi si elles ont la même fonction de répartition FX = FY . Remarque 1.2 Soit I un intervalle de R. L'événement {X ? x} représente l'ensemble des valeurs ? ? ? telles que X(?) soit inférieur à x, i.e.{X ? x} = {? ? ? : X(?) ? x}.
Pour lire la table, il faut connaître deux paramètres: le nombre total d'essais (N) et la probabilité d'obtenir un succès sur un essai particulier (p). Tous les essais doivent être identiques, de telle façon que la probabilité p ne change pas au cours des N essais.

p=P(X= 1);

1p=P(X= 0):

P(X=x) =px(1p)1x????x2 f0;1g?

P(X=x) =px(1p)1x(x)?

????=0+1? I I I I I I I I Mois

Probabilités

35404550556065

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 ?? ????S=X1++Xn?

P(S=s) =n!(ns)!s!px(1p)ns;

????s= 0;1;;n I

E(S) =np;V(S) =np(1p):

I I I I I p

P(S= 0) = (1p1)(1p2j0) = 15=24;

P(S= 1) =p1(1p2j1) + (1p1)p2j0= 1=4;

P(S= 2) =p1p2j1= 1=8;

Probabilités

0246810

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Binomiale n=100, p=0.3

Probabilités

1020304050

0.00 0.05 0.10

0.15?? ?S! 1???

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Densité de la loi normale centrée réduite 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

0246810

0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Probabilités (X100)

0.10.20.30.40.5

0 5 10 15

Binomiale/1000 (n=1000, p=0.3)

Probabilités (X10000)

0.240.260.280.300.320.340.36

0 50
100
150
200
?? ?S=n!p???

X???S=n??

S=n= (X1++Xn)=n?

E(S=n) =p?

V(S=n) =p(1p)=n?

E(S=n) =E(X) =m?

V(S=n) =V(X)=n=2=n?

?? ???????S=n????? ?? ????? ?????? ?? ?? ??????? ?? ??p? pn Xm

L! N(0;1);

X= (X1++Xn)=n=S=n?

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Densité originale et loi normale associée

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Densité ''moyennisée'' par 2 et loi normale associée 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 Densité ''moyennisée'' par 5 et loi normale associée 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Densité ''moyennisée'' par 30 et loi normale associée U=pn

S=nppp(1p)! N(0;1);

U N(0;1):

U=pn

S=nppp(1p)! N(0;1):

???? ?n??????

S=n N(p;p(1p)=n);

S N(np;np(1p)):

np >5??np(1p)>5? ?? ??? ??????? ? ??????? ???S >5??

S(1S=n)>5?

jP(Uu)P(N(0;1)u)j (1p)2+p22 pnp(1p); ??U=pn

S=nppp(1p)?

10 10 102
1022
1024
102
1 101
10 10 102
103
104
10 13 101
101
101
101
101
101
101
101
11 ??X N(m;2)????? I

Xm N(0;2)?

X= N(m=;1)?

I (Xm)= N(0;1)? I

X+Y N(m1+m2;21+22)?

XY N(m1m2;21+22)?

??X1;;Xd???? ?????? N(0;1)????? I

T=X21++X2d2d?

I XpT=d

Studentd?

U=kV=p

Fisherk;p?

?? ???????X1;;Xn?????? ?? ???B(p)? I I X

1;;Xn?

S=nppp(1p)! N(0;1) (en loi);

S=n!p(en probabilite);

T=pn

S=nppS=n(1S=n) N(0;1):

P(u N(0;1)u) = 0:95

?n??????? P(upn

S=nppS=n(1S=n)u) = 0:95

P Sn

1:96qS

n (1Sn )pn pSn + 1:96qS n (1Sn )pn = 0:95j |{z} j|{z} |{z} j

1:96qS

n (1Sn )pn Sn +1:96qS n (1Sn )pn ?n??????? P(upn

S=nppS=n(1S=n)u) = 0:95

P Sn

1:96qS

n (1Sn )pn pSn + 1:96qS n (1Sn )pn = 0:95j |{z} j|{z} |{z} j

1:96qS

n (1Sn )pn Sn +1:96qS n (1Sn )pn I IqS n (1Sn )pn I

IC(p;0:95) = [S=n1:96pS=n(1S=n)pn

I I

IC(p;0:95)[S=n1pn

I I H

0:p=p0= 1=2 (malade)V S H1:p=p1= 1=4 (sain)

I I H H H H

P(S= 0;1;2)'0:055?? ???????H0?????S????0;1??2?

I I ????H1?P(S= 3;4;;10)'0:71 ????H1?P(S= 3;4;;10)'0:71

P(erreur) =P(erreur\H0) +P(erreur\H1)

=P(erreurjH0)P(H0) +P(erreurjH1)P(H1) = 0:055q+ 0:71(1q) =8 :0:64q= 0:1

0:38q= 0:5

0:07q= 0:9

?n= 1?? I I

P(pile\H1[face\H0) = (1=4q+1=2(1q)) = 1=2q=4

I I ?????? ??????? ? P(T\H0[T\H1) = 1=2 +q=4

5101520253035

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Avec 50 observations

Density|{z} |{z}

????H1????H0

5101520253035

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Avec 50 observations

Density|{z} |{z}

????H1????H0 ???????N(0;1)???

Z(t) =Eexp(itZ)= exp(t2=2);

??Z N(0;1)? exp(t2=2)????? ?? ??? ??S=n???? ???? ?? ??? ??????? ??????? Xtpn ='Xpn (t);

X1+X2(t) ='X1(t)'X2(t);

X1+X2(t) ='X(t)2

0X(0) =iE(X)

00X(0) =E(X2):

?????? ?????? ????? ?????? ?? ?????? ???Xi? U=pn S=nm =S=pn:

U(t) ='Spn

(t) ='Stpn ='X1++Xntpn ='X1tpn 'Xntpn ='Xtpn nquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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Comment définir la fonction de répartition ?

Comment expliquer la loi de Bernoulli ?

Comment montrer que deux variables suivent la même loi ?

1p=P(X= 0):

P(X=x) =px(1p)1x????x2 f0;1g?

P(X=x) =px(1p)1x(x)?

Probabilités

35404550556065

P(S=s) =n!(ns)!s!px(1p)ns;

E(S) =np;V(S) =np(1p):

P(S= 0) = (1p1)(1p2j0) = 15=24;

P(S= 1) =p1(1p2j1) + (1p1)p2j0= 1=4;

P(S= 2) =p1p2j1= 1=8;

Probabilités

0246810

Binomiale n=100, p=0.3

Probabilités

1020304050

0.15?? ?S! 1???

0246810

Probabilités (X100)

0.10.20.30.40.5

Binomiale/1000 (n=1000, p=0.3)

Probabilités (X10000)

0.240.260.280.300.320.340.36

X???S=n??

S=n= (X1++Xn)=n?

E(S=n) =p?

V(S=n) =p(1p)=n?

E(S=n) =E(X) =m?

V(S=n) =V(X)=n=2=n?

L! N(0;1);

X= (X1++Xn)=n=S=n?

Densité originale et loi normale associée

S=nppp(1p)! N(0;1);

U N(0;1):

S=nppp(1p)! N(0;1):

S=n N(p;p(1p)=n);

S N(np;np(1p)):

S(1S=n)>5?

S=nppp(1p)?

Xm N(0;2)?

X= N(m=;1)?

X+Y N(m1+m2;21+22)?

XY N(m1m2;21+22)?

T=X21++X2d2d?

Studentd?

U=kV=p

Fisherk;p?

1;;Xn?

S=nppp(1p)! N(0;1) (en loi);

S=n!p(en probabilite);

S=nppS=n(1S=n) N(0;1):

P(u N(0;1)u) = 0:95

S=nppS=n(1S=n)u) = 0:95

1:96qS

1:96qS

S=nppS=n(1S=n)u) = 0:95

1:96qS

1:96qS

IC(p;0:95) = [S=n1:96pS=n(1S=n)pn

IC(p;0:95)[S=n1pn

0:p=p0= 1=2 (malade)V S H1:p=p1= 1=4 (sain)

P(S= 0;1;2)'0:055?? ???????H0?????S????0;1??2?

P(S= 0;1;2)'0:055?? ???????H0?????S????0;1??2?

P(S= 0;1;2)'0:055?? ???????H0?????S????0;1??2?

P(erreur) =P(erreur\H0) +P(erreur\H1)

0:38q= 0:5

0:07q= 0:9

P(pile\H1[face\H0) = (1=4q+1=2(1q)) = 1=2q=4

5101520253035

Avec 50 observations

Density|{z} |{z}

5101520253035

Avec 50 observations

Density|{z} |{z}

Z(t) =Eexp(itZ)= exp(t2=2);

X1+X2(t) ='X1(t)'X2(t);

X1+X2(t) ='X(t)2