Th´eorie des distributions
20 nov. 2015 [1] J.M. Bony Cours d'analyse
Distributions analyse de Fourier
http://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf
COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR LINGENIEUR 2
Chapitre 2. La théorie des distributions. 2.1 Introduction. Une distribution est une sorte de “fonction généralisée” et elle est introduite pour mo- déliser
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´ee Ann´ee scolaire 2015-2016
Formation Ing
´enieurs MACS / M1 Math´ematiquesTh´eorie des distributionsH. Boumaza
Le 20 novembre 2015
page iiBibliographie
[1] J.M. Bony ,Cours d"analyse, Th´eorie des distributions et analyse de Fourier, Les´editions de l"Ecole Polytechnique, Ellipses. [2] G. Carlier ,Notes de cours : Analyse fonctionnelle, https ://www.ceremade.dauphine.fr/ carlier/poly2010.pdf [3] L. H ¨ormander,The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (256), Springer. [4] J.P .Mar coet autr es,Math´ematiques L3, Analyse, Pearson Education France. [5] B. Simon et M. Reed, Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self- adjointness, Academic Press, New York-London, 1975. [6]C. Zuily ,
´El´ements de distributions et d"´equations aux d´eriv´ees partielles, Sciences Sup,Dunod.
iii page ivTable des mati`eres
I Notions de bases 1
1 Rappels de th´eorie de l"int´egration 3
1.1 Mesure de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . .
31.1.2 Espaces mesur
´es et applications mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2 Int
´egrale de Lebesgue surRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.1 Construction de l"int
´egrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.2 Th
´eor`eme de convergence domin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2.3 Int
´egrales`a param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.2.4 Les espacesLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.2.5 Th
´eor`eme de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.6 Th
´eor`eme du changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 Introduction `a la th´eorie des distributions 13
2.1 Autour du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.1.1 De la "d
´efinition" du Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132.1.2 Mesure de Dirac en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132.1.3 Notion d"int
´egrale d"action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142.2 Notion de d
´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.3 Le peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162.4 Le Dirac en
´electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .173 Fonctions test19
3.1 Notations multi-indicielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193.2 Formule de Taylor avec reste int
´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193.3 Fonctions de classeC¥`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
3.3.1 Support d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203.3.2 Espace des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203.3.3 Topologie deC¥0(W). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
3.3.4 Fonctions "pic" et "plateau" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
223.4 Densit
´e par troncature et r´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .243.4.1 Troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243.4.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253.4.3 R
´egularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263.5 Application : Lemme de Dubois-Reymond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274 Distributions sur un ouvert deRd29
4.1 D ´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294.1.1 D
´efinition fonctionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .304.1.2 D
´efinition par l"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 v4.1.3 Ordre d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
4.2 Premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314.2.1 Distribution associ
´ee`a une fonctionL1loc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .314.2.2 Distribution de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314.2.3 Distribution de Dirac d
´eriv´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324.2.4 Mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334.2.5 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334.2.6 La valeur principale de
1x 334.2.7 Partie finie dexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
4.2.8 Un exemple de distribution d"ordre infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
364.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
365 Op´erations sur les distributions 39
5.1 Multiplication par une fonctionC¥. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
5.2 Les
´equationsxT=0,xT=1 etxT=S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 5.3 D ´erivation d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425.4 Les
5.5 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466 Convolution des distributions I 49
6.1 Produit de convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
496.2 Propri
´et´es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .506.3 Interpr
´etation physique de la convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .516.4 Comment calculer un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
516.4.1 Convolution de deux fonctions dansL1loc(Rd). . . . . . . . . . . . . . . .51
6.4.2 Convolution d"une distribution et d"une fonction dansC¥0(Rd). . . . . .51
6.4.3 Utilisation des propri
´et´es de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . .517 Solutions ´el´ementaires d"EDPs I 53
7.1 Th
´eor`emes d"existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537.1.1 D
´efinitions et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .537.1.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
547.2 Th
´eor`eme de r´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55
7.3 Exemples de solutions
´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557.3.1 Probl
`eme du laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557.3.2 L"
´equation des ondes en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57II Notions avanc´ees 59
8 Support d"une distribution 61
8.1 Partitions de l"unit
´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .618.2 Restriction
`a un ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .628.3 Support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
628.4 Distributions
`a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .648.5 Distributions
`a support ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 page vi9 Convolution des distributions II 67
9.1 D ´erivation et int´egration sous le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .679.2 Produit tensoriel de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
699.3 Produit de convolution de deux distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
719.3.1 D
´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .729.3.2 Propri
´et´es de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .729.3.3 Convolution et support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
739.3.4 Convolution et translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
749.3.5 Comment calculer un produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . .
759.3.6 G
´en´eralisation aux paires convolutives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .769.4 Applications du produit tensoriel et de la convolution . . . . . . . . . . . . . . . .
779.4.1 Th
´eor`eme de densit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .779.4.2 Structure locale des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
789.4.3 Le th
´eor`eme du noyau de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7810 Solutions ´el´ementaires d"EDPs II 81
10.1 Th
´eor`emes d"existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8110.1.1 D
´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8110.1.2 Existence de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8110.2 Th
´eor`eme de r´egularit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82
10.3 Exemples de solutions
´el´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8310.3.1
´Equation de la chaleur et mod`ele de Black-Scholes-Merton . . . . . . . . .8310.3.2 Op
10.4 Support singulier d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8611 Formule des sauts 89
11.1 Formule des sauts en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8911.2 Formule des sauts pour un demi-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9011.3 Ouverts r
´eguliers dansRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9111.3.1 D
´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9111.3.2 Vecteur normal unitaire sortant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9111.3.3 Mesure de surface, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9211.4 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9511.4.1 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9511.4.2 Int
´egration par parties multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . .9711.4.3 Formule de Green pour le laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9711.4.4 Formule des sauts multidimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9711.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9811.5.1 Les relations de Rankine-Hugoniot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9811.5.2
´Equation des ondes en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99 page vii page viiiPremi`ere partie
Notions de bases
1Chapitre 1
Rappels de th´eorie de l"int´egration
1.1 Mesure de Lebesgue surRd
Quelles sont les propri
´et´es fondamentales que partagent la longueur d"une partie deR, l"aire d"une partie deR2, le volume d"une partie deR3et plus g´en´eralement le volume d"une de longueur, d"aire et de volume d"avoir en commun la positivit´e et la propri´et´e d"additivit´e
qui est que, si deux partiesAetBdeRdsont disjointes, le volume de leur r´eunion est´egal a la somme de leurs volumes : vol(A[B) =vol(A) +vol(B)lorsqueA\B=AE. Une autre propri ´et´e attendue du volume est l"invariance par translation. Six2RdetAest une partiedeRd, vol(x+A) =vol(A). Au d´ebut du XXesi`ecle,´Emile Borel introduit une id´ee cl´e, celle
qu"une notion de volume doit v ´erifier une propri´et´e plus forte, l"additivit´e d´enombrable, pour pouvoir s"int ´egrer utilement dans les th´eories modernes d"analyse. Unebonnenotion de volume devra donc v ´erifier que, pour toute famille d´enombrable(Ap)p2Nde parties deRd deux `a deux disjointes, vol0 p2NA p1 A p2Nvol(Ap).Mais, une telle notion de volume qui associerait
`atoutepartie deRdun r´eel positif v´erifiant l"additivit ´e d´enombrable et l"invariance par translation n"existe pas. C"est Henri Lebesgue qui en 1902 sera le premier `a construire un exemple demesuresurRqui soit d´enombrablement additive et invariante par translation. Cette mesure correspond `a la notion de volume re- cherch ´ee. Pour cela, Lebesgue introduit la notion de mesure ext´erieure qui approchepar au- dessus la mesure de toute partie deR. Puis il d´efinit les parties deRqui seront suffisament peu irr ´eguli`eres pour que l"on puisse leur associer une mesure. Ce sont les parties Lebesgue- mesurables deR.1.1.1 Ensembles mesurables et mesure de Lebesgue
Nous commencons par d
´efinir les pav´es deRdet leur volume. Un pav´ePdansRdest un produit cart ´esien dedintervalles deRborn´es (ouverts, ferm´es, semi-ouverts ou semi-ferm´es)P= (a1,b1) (ad,bd),
o `uajbjsont des nombres r´eels,j=1,...,d. Pour un tel sous-ensemble deRd, la notion naturelle de volume associ ´ee est le produit des longueurs des cˆot´es. On appellevolumed"un pav ´ePle r´eel positif not´ejPjd´efini par jPj= (b1a1)(bdad). 3Chapitre 1. Rappels de th
´eorie de l"int´egrationUne union de pav
´es est ditequasi disjointesi les int´erieurs des pav´es de l"union sont disjoints. Enfin, uncubeest un pav´e pour lequelb1a1==bdad. L"int´erˆet de ces cubes et pav´es provient du fait qu"ils approchent bien les ouverts deRd. Proposition 1.1.1.Tout ouvertOdeRdpeut s"´ecrire comme union d´enombrable de cubes quasi dis- joints. Pourd une fonction qui `a toute partie deRdassocie un volume qui g´en´eralise le volume des pav´es. L"id ´ee est d"approcherpar au-dessustout sous-ensemble deRdpar des cubes. SoitEune partie deRd. On appelle mesure ext´erieure deEle r´eel positif d´efini par l d(E) =infn j=1jCjj8j1,Cjest un cube ferm´e etE¥[ j=1C jo Pour les parties simples comme l"ensemble vide, un point ou un cube, la mesure ext´erieure
correspond bien `a notre id´ee intuitive de volume. La mesure ext´erieure deRdest infinie.Toutefois, la mesure ext
´erieure ne v´erifie pas l"additivit´e d´enombrable voulue pour d´efinir une bonne notion de volume. Nous avons seulement l"in´egalit´e suivante : siE=S¥j=1Ej, alors
l d(E)¥å j=1ld(Ej).On a tout de m
ˆeme que siE=E1[E2avecd(E1,E2)>0, alorsld(E) =ld(E1) +ld(E2). Malgr´e ces deux propri´et´es, on ne peut pas conclure en g´en´eral que, siE1[E2est une union
disjointe de sous-ensembles deRd,ld(E1[E2) =ld(E1) +ld(E2). Cette´egalit´e n"aura lieu que pour des ensembles qui ne sont pas trop pathologiques, les ensembles mesurables. D´efinition 1.1.2.Un sous-ensemble ERdest dit Lebesgue-mesurable, ou plus simplement mesu- rable, si pour tout#>0il existe un ouvertOcontenant E tel que l d(O nE)#. On a alors que tout ouvert deRdest mesurable, qu"une union d´enombrable d"ensembles me- surables est mesurable et que le compl ´ementaire d"un ensemble mesurable est mesurable.Nous pouvons maintenant d
´efinir la notion de mesure pour un ensemble mesurable. SiE R dest mesurable, on d´efinit sa mesure de Lebesgue parld(E) =ld(E). Alors, la mesure deLebesgue v
´erifie bien la propri´et´e d"additivit´e d´enombrable. Soit(Ej)j1une famille d´enombrable d"ensembles mesurables et disjoints dansRd. Alors leur r´eunionE=S¥j=1Ejest mesurable et
l d(E) =¥å j=1l d(Ej). On a aussi l"invariance par translation : siEun ensemble mesurable deRd, alors pour tout x2Rd, le translat´ex+E=fx+yjy2Egest mesurable etld(x+E) =ld(E). On note souvent aussi la mesure de Lebesgue par le symbole dxau lieu deld.page 4 Th´eorie des Distributions
1.1 Mesure de Lebesgue surRd1.1.2 Espaces mesur´es et applications mesurables
On g ´en´eralise la notion de mesure`a un ensemble quelconque en demandant`a ce que les prin- cipales propri ´et´es de stabilit´e des ensembles mesurables et de la mesure de Lebesgue soient conserv´ees.
D´efinition 1.1.3.Soit X un ensemble. Une tribu sur X est un sous-ensembleMdeP(X)qui v´erifie les conditions suivantes : 1.X 2 M;
2. si A 2 M, son compl´ementaire Acest dansM; 3. si (An)n2Nest une suite d"´el´ements deM,[n2NAn2 M.Les ´el´ements deMsont appel´es ensembles mesurables. Un espace mesurable est un couple(X,M)o`u
X est un ensemble etMune tribu sur X.
Exemple 1.1.4.(Tribu de Lebesgue surRd).L"ensemble des parties deRdLebesgue-mesurables forme une tribu surRdque nous noteronsML(Rd). Exemple 1.1.5.On appelle tribu bor´elienne deRdla tribuB(Rd)engendr´ee par les ouverts deRd, c"est-`a-dire, la plus petite tribu deRdcontenant tous les ouverts deRd(pour la topologie usuelle).Une mesure est une fonction d
´efinie sur une tribu,`a valeurs positives, v´erifiant une condition d"additivit ´e d´enombrable. Nous axiomatisons donc la propri´et´e des-additivit´e obtenue pour la mesure de Lebesgue surRd. D´efinition 1.1.6.Soit(X,M)un espace mesurable. Une mesure sur(X,M)est une application de Mdans[0,+¥], telle quem(AE) =0et, si(An)n2Nest une suite de parties mesurables deux `a deux disjointes, m[ n2NA n n2Nm(An),(sadditivit´e). Simest une mesure sur(X,M), le triplet(X,M,m)est appel´e un espace mesur´e. Exemple 1.1.7.La mesure de Lebesgue est une mesure sur(Rd,ML(Rd)). Exemple 1.1.8.Les mesures `a poids, de la formedm(x) =h(x)dx avec h>0et qui v´erifient :8f mesurable,Z
R df(x)dm(x) =Z R df(x)h(x)dx. Exemple 1.1.9.Les mesures discr`etes not´eesdm=åajdajet qui v´erifient :8f mesurable,Z
R df(x)dm(x) =åajf(ai). D´efinition 1.1.10.On appelle mesure de Radon positive sur un ouvertWdeRdune mesure positivem sur la tribu bor´elienneB(W)qui est finie sur les compacts :8KWcompact,m(K)<+¥.
On appelle mesure de Radon tout combinaison lin´eairem1m2+i(m3m4)o`u lesmjsont des mesures de Radon positives.Les trois exemples pr
´ec´edents sont des mesures de Radon positives.Concluons par un point de terminologie.Th
´eorie des Distributions page 5
Chapitre 1. Rappels de th
´eorie de l"int´egrationD´efinition 1.1.11.Soit(X,M,m)un espace mesur´e et soit P une propri´et´e d´efinie sur X. On dit que
P est vraiem-presque partout si elle est vraie hors d"un ensemble mesurable de mesure nulle. On ´ecrit
aussi P vraiem-pp. On dit encore que P est vraie pourm-presque tout x dans X.On termine par la notion de mesurabilit
´e d"une application entre espaces mesurables qui estquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] cours sur les fibres textiles
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