[PDF] Distributions Alain Yger Ce cours `a l'interface

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Distributions

Alain Yger

Institut de Math

ematiques, Universite Bordeaux 1, Talence 33405,

France

E-mail address:Alain.Yger@math.u-bordeaux1.fr

R esume.Ce cours, a l'interface des mathematiques fondamentales et appli- quees, correspond a l'enseignement dispense en 2010-2011 dans l'UE option- nelle MHT836 Distributions. Les prerequis sont les cours de master d'Ana- lyse Complexe (MHT734, [Charp]) et d'Analyse fonctionnelle(MHT733), les cours de Licence de

Theorie de l'Integration(MHT512, [Y1]) et d'Ana-

lyse de Fourier et Espaces de Hilbert (MHT613, [Y2]). Les aspects geo- metriques (sous-varietes deRN, espaces de formes dierentielles) sont em- pruntes au bagage de la Geometrie dierentielle (MHT612, MHT615). La trame de l'ouvrage [Y0] (pour sa partiedistributions, Chapitre 3) a ega- lement servi a l'elaboration de ce cours. Les divers points relatifs a la theorie des distributions et gurant depuis 2011 dans le programme de l'agregation de mathematiques ont naturellement ete integres dans son contenu. Le cours redige a Lyon par Cedric Villani [Vil], ainsi que celui redige pour cette UE par Eric Amar, m'ont aussi ete d'une aide precieuse. Le cours de C. Villani presente egalement un panorama de l'approche historique(en m^eme temps que des approches paralleles, abouties ou non) a la theorie des distributions.

Table des matieres

Chapitre 1. Espaces de fonctions-test et notion de distribution 1

1.1. L'evaluation

ponctuelledes fonctions mesurables 1

1.2. Chocs, impulsions, mesures 3

1.3. L'espaceD(

) et lasouplessedu cadreC15

1.4. Distributions dans

Rn: denition, critere, premiers exemples 10

1.5. Courants sur une sous-variete dierentiable deRN18

Chapitre 2. Suites de distributions, regularisation, dierentiation 21

2.1. Convergence faible dansD0(

;K) ouD0q( ;K) 21

2.2. La regularisation des distributions 25

2.3. La multiplication des distributions par des fonctionsC128

2.4. Dierentiation des distributions et des courants 29

2.5. La formule des sauts 34

Chapitre 3. Support et convolution 37

3.1. Support et support singulier d'une distribution ou d'un courant 37

3.2. Distributions (courants) a support compact, distributions causales 39

3.3. Produit tensoriel de distributions ou de courants 42

3.4. Le theoreme des noyaux 47

3.5. Convolution de deux distributions dansRnou (S1)n48

3.6. Les algebres de convolutionE0(Rn;K) etD0+(K) 53

Chapitre 4. Distributions et transformation de Fourier 55

4.1. L'espaceS(Rn;K) (K=RouC) et les distributions temperees 55

4.2. Transformation de Fourier des distributions temperees 65

4.3. Solutions fondamentales d'operateurs dierentiels 78

Bibliographie 91

Index 93

v

CHAPITRE 1

Espaces de fonctions-test et notion de distribution Le concept dedistributionpuise ses origines dans la modelisation des pheno- menes physiques (en particulier des chocs et impulsions) initiee par des physi- ciens tels les anglais Oliver Heaviside (1850-1925) (equations de Maxwell) puis Paul Dirac (1902-1984) dans la premiere moitie du XX-ieme siecle. La formali- sation mathematique de ce concept s'est ensuite elaboree tout au long du siecle, au travers des travaux de l'ecole sovietique et en particulier de Serguei Sobolev (1908-1989), ainsi que du mathematicien francais Laurent Schwartz (1915-2002). Laurent Schwartz, membre du groupe Bourbaki, fut, precisement pour ses ses travaux en relation avec la theorie des distributions (on disait aussi fonctions generalisees dans l'ecole de Saint Petersbourg), le premier mathematicien francais en 1950 a recevoir la medaille Fields

1. La notion dedistribution, en prise avec l'im-

portant concept mathematique dedualite, puis celle decourant, son pendant dans le contexte geometrique, seront introduites dans ce premier chapitre.

1.1. L'evaluation

ponctuelledes fonctions mesurables Soit un ouvert deRn, ou, plus generalement, un ouvert d'une sous-variete dierentiableXde dimensionndeRN.

Six0est un point xe dans

et sifest une fonction !K(K=RouC) mesurable (par rapport a la tribu de Lebesgue a la source et au but), il est clair que la notion d' evaluation defau pointx0(i.e.f(x0)) ne saurait avoir de signi- cation pratique. Il est en eet impossible d'apprehender avec exactitudele point x

0car ceci presuppose connaitre dans leur totalite les developpements decimaux

des nombres reelsx0j,j= 1;:::;n(coordonnees de ce point dansRnouRN), ce qui est en general hors de portee, car on ne peut connaitre ces developpements que jusqu'a un seuil ni. C'est d'ailleurs la raison pour laquelle un phenomene physique modelisable comme une fonctionmesurablef: !K(K=R ouC) est souvent pense du point de vue mathematique, lorsqu'il est quantiable (en termes de masse locale, d'energie locale,etc.), comme un element de l'espace L p loc( ;B( );dx)2deni comme le quotient duR-espace vectorielLp loc( ;B( );dx)1. Pour une presentation de l'historique du concept de fonction generaliseequi allait devenir celui de distribution(et des r^oles et in uences des ecoles sovietique et francaise), on pourra se reporter a l'article de Jean-Michel Kantor dans la Gazette des Mathematiciens [Kant].

Il faut noter l'in

uence importante des idees de Jacques Hadamard (1865-1963) dans ce long cheminement scientique fait d'echanges croises.

2. Dans le cas ou

designe un ouvert d'une sous-varieteXde dimensionndeRN,dx= dX Xest la mesure induite surXpar la mesure de Lebesgue usuelle sur l'espace ambiantRN (correspondant a la metrique euclidienne sur cet espace,i.e.a la forme volume canoniquedx1^^ dx N); par mesure induitedXX, on entend donc ici la mesure euclidienne denie dans l'Annexe B1 (Denition B.1.1) du cours de MHT734 [Charp]. La forme volume!XsurXcorrespondante est l'uniquen-forme dierentielle surXtelle qu'en tout pointx2 X,!X(1;:::;n) = 1 si (1;:::;n) 1

2 1. ESPACES DE FONCTIONS-TEST ET NOTION DE DISTRIBUTION

des fonctions mesurablesf: !Rmtelles queZ K jf(x)jpdx <1 8Kcompact par la relation d'equivalencefRg,f=g dxp:p. Le premier re exe du physicien consistera a interpreter f(x0)comme (1.1)f(x0)'lim!0Z f(y)'(yx0)dy; ou (x) :=BRn(0;1)(x=) nVn; B Rn(0;1) designant la boule unite deRn,Vn=n=2=(n=2) son volume. Dans le contexte geometrique ouXest parametree de maniereC1au voisinage dex02 parx0: 02Bx0Rn! X, avecx0(0) =x0, l'evaluationf(x0)devient (par exemple) (1.2)f(x0)'lim!0R x0(Bx0)f(y)BRn(0;)(1x

0(y))dyXR

x0(Bx0)BRn(0;)(1x0(y))dyX; dy Xcorrespondant a la mesure de Lebesgue euclidienne surX(voir la note en bas de page precedente). Pour eviter que la discontinuite de la fonctionBRn(0;)ne cree des artefacts (ce qui est de nature a induire un biais dans le rendu def, ce d'autant plus quefest irreguliere3), on prefere dans (1.1) a la fonction'la fonction cette fois beaucoup plus lisse (1.3) :x2Rn7!1 n

BRn(0;1)(x=)exp1=(1 kx=k2)R

B

Rn(0;1)exp1=(1 kyk2)dy;

qui a le merite (par rapport a la fonction') d'^etre une fonctionC1a support com- pact dansRn(de support la boule fermeeB

Rn(0;)), radiale, positive et d'integrale

egale a 1 (voir Exercice 1.1). On interprete alors f(x0)comme (1.4)f(x0)'lim!0Z f(y) (yx0)dy; ou, dans le contexte geometrique, comme (par exemple) (1.5) f(x0)'lim!0R x0(Bx0)f(y)BRn(0;)(1x

0(y))exp(1=(1 k1x

0(y)=k2)dyXR

x0(Bx0)BRn(0;)(1x0(y))exp(1=(1 k1x0(y)=k2)dyX;

en reprenant les notations utilisees dans (1.2).est un systeme orthonorme direct (pour le produit scalaire usuel dansRN) de l'espace tangent

T xX(aXau pointx), une fois choisie une orientation surX(il y a deux orientations possibles). Le casp= 1 correspond a la quantication en termes de masse, le casp= 2 (plus frequent) est particulierement important car correspondant a la quantication en termes du concept physique d'energie. On rappelle que les espaces de MinkowskiLp loc( ;B( );dx) sont emboites en L 1loc( ;B( );dx) Lp loc( ;B( );dx) L2loc( ;B( );dx) L1loc( ;B( );dx) pour lesp2[1;1].

3. Voir par exemple le probleme lie au phenomene de Gibbs en analyse de Fourier,i.e.l'ap-

parition de phenomenes d'aliasinglorsque l'on coupebrutalementles hautes frequences d'un signal ou d'une image analogique (cf. cours de MHT613 [Y2], section 2.3.3).

1.2. CHOCS, IMPULSIONS, MESURES 3

Exercice1.1.Verier que la fonction:R![0;+1[ denie par (t) =]1;1[(t)exp 11t2 est une fonction paire, positive,C1surR, puis que la fonction :Rn![0;1[ denie en (1.3) est une fonction radiale, positive, d'integrale 1, de support la boule B

Rn(0;).

1.2. Chocs, impulsions, mesures

Dans les phenomenes dechocou d'impulsion ponctuelle, le principe physique deconservation de masse(ici supposee egale a 1, entierement concentree en un pointfx0g) est une contrainte majeure.Etant donnee une impulsion ponctuelle (normalisee a 1 en terme de masse), localisee enx02Rn, lafonctionx0censee la modeliser etant positive, de supportfx0get d'integrale 1, il est impossible, puisque la mesure de Lebesgue defx0gest egale a 0 et que la regle 0 1= 0 prime en theorie de l'integration, quex0corresponde a une fonction mesurablef.

On constate donc que l'idee d'

evaluation approcheed'une fonction mesurable f: !K(K=RouC) en un pointx0de (en latestant, comme dans (1.1) ou (1.4), contre des fonctions'localisees pres ce point) nous invite a depasser le cadre des fonctions. Mais plut^ot que de ne retenir que les limites (lorsquetend vers

0) dans (1.1) ou (1.4) pour tous les pointsx0, on enregistre l'information fournie

par la liste de tous les testshf;'ilorsque'est une fonction-test ajustee a la zone d'inter^et ou vit le phenomene physique etudief, ces fonctions-test etant assujetties a ^etre prises au moins continues, voire m^emeC1, sur le modele des fonctions . Ce nouveau cadre (ou l'on peut rendre compte des chocs et des impulsions ponctuelles) est celui de la theorie de la mesure, vue sous l'angle fonctionnel4 D efinition1.2.Soit un ouvert deRnou d'une sous-varieteXde dimension ndeRN. On noteK( ;R) (resp.K( ;C)) leR(resp.C) -espace vectoriel des fonctions continues sur , a valeurs reelles (resp.complexes), eta support compact dans (i.e.l'ensemble des pointsx2 ou'(x)6= 0 est relativement compact5 dans ). On noteKK( ;R) (resp.KK( ;C)) l'ensemble des fonctions continues dans , a valeurs reelles (resp.complexes) et a support compact inclus dansK. On equipe ce sous-espace de la norme uniformek'kK= supx2Kj'(x)j. On appelle mesure de Radon reelle(resp.complexe) sur toute application lineairede K( ;R) dansR(resp.deK( ;C) dansC) continue au sens suivant : si ('k)k0 est une suite d'elements deK( ;R) (resp.K( ;C)) dont les supports sont, pourk assez grand, tous dans le m^eme compactK0, alors limk!+1k'kkK0= 0 =)limk!+1h;'ki= 0: Le critere quantitatif suivant permet de caracteriser les mesures de Radon reelles ou complexes.

Proposition1.1.Une applicationK-lineaire:K(

;R)!R(resp.une applicationK-lineaire:K(

;C)!C) est une mesure de Radon reelle (resp.4. Et non plus ensembliste, comme vous l'avez approche dans les cours de Licence, en theorie

de l'integration (MHT512) ou en probabilites (MHT601).

5. L'adherence de cet ensemble dans

est appelesupport de'relativement a

4 1. ESPACES DE FONCTIONS-TEST ET NOTION DE DISTRIBUTION

complexe) si et seulement si, pour chaque compactK , il existe une constante positiveC(K)telle que

8'2 KK(

;RouC);jh;'ij C(K)k'kK Le pontentre les points de vue ensembliste et fonctionnel concernant la theorie de l'integration est assure par le theoreme tres important suivant. Theor eme1.3 (Theoreme de representation de F. Riesz [Rud]).Soit un ouvert deRnetune mesure de Radon reelle sur ayant la propriete de positivite suivante : (1.6)8'2 K( ;R); '(x)08x2 =) h;'i 0 (on dit queest une mesure de Radon positive sur ). Il existe une tribuM contenant la tribuB( )et une unique mesure positive (notee aussipar souci de simplication) sur( ;M)telle que | pour toutK compact ,(K)<+1; | pour tout'2 K( ;R),h;'i=R 'd; | pour toutE2M, on ait (E) = inff(U);U ouvert; EUg; | pour toutE2Mtel que(E)<+1, on ait (E) = supf(K);K compact; KEg:

Inversement, si:B(

)![0;1]est une mesure positive telle que(K)<1 pour tout compactK '2 K( ;R)7! h;'i:=Z K 'd denit une mesure de Radon positive sur Remarque1.4.Ce qu'implique le theoreme de representation de F. Riesz est que, siKest un compact de , leR-espaceM(K;R) des dierences de deux mesures positives sur la tribu borelienne et de masse nie sur les compacts

6s'iden-

tie au dual duR-espace de Banach (C(K;R);k kK) des fonctions continues deK dansR. LeC-espaceM(K;C) des combinaisons complexes++i(+) de quatre telles mesures positives s'identie, lui, au dual duC-espace de Banach (C(K;C);k kK). Une mesure de Radon reelle (resp.une mesure de Radon complexe) est la dierence+(resp.la combinaison lineaire++i(+)) de deux (resp.quatre) mesures positives sur la tribu borelienne de masse nie sur tout compact. L'espaceM( ;R) des combinaisons+de mesures de Borel sur telles que+( )<+1s'identie au dual de l'espace de Banach C 0( ;R) des fonctions continues de dansRtendant vers 0 a l'inni dans (considere dansX RN), equipe de la norme uniforme. L'espaceM( ;C) des combinaisons++i(+) de mesures de Borel sur telles que lamasse totalequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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