COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR LINGENIEUR 2 PDF

Th´eorie des distributions

20 nov. 2015 [1] J.M. Bony Cours d'analyse

Distributions analyse de Fourier

http://www.cmls.polytechnique.fr/perso/golse/MAT431-10/POLY431.pdf

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR LINGENIEUR 2

Chapitre 2. La théorie des distributions. 2.1 Introduction. Une distribution est une sorte de “fonction généralisée” et elle est introduite pour mo- déliser

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Elles simplifient considérablement les calculs. Ce cours présente trois distributions discrètes : la distribution binomiale la distribution géométrique et la

Distributions

Les équations différentielles seront discutées ultérieurement dans un autre cours. 4.1 Définitions. On introduit dans ce paragraphe la notion de distribution.

COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L"INGENIEUR 2

Cours de filière MAM, ISTIL deuxième année

Ionel Sorin CIUPERCA

Le but de ce cours est d"introduire un outil très utilisé dans la modélisation mathéma- tique :les distributions.

Le cours s"adresse en principal à des élèves des écoles d"ingénieurs filière modélisation ma-

thématique.

La plupart des résultats sont donnés sans démonstration, les détails des preuves étant

données en classe. 1

Table des matières

1 Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l"intégrale de

Lebesque 3

1.1 La mesure de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 L"intégrale de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Les espaces de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 La théorie des distributions. 9

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 L"espaceD(

)des fonctions test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 La notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Convergence dansD0(

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Produit entre une fonctionC1et une distribution . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Primitives des distributions en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Convolution des distributions et applications à la résolution des équations

différentielles 21

3.1 Support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Support d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Définition du support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 La convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Applications à la résolution des équations différentielles linéaires à coeffi-

cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2 Solution fondamentale du laplacien et applications . . . . . . . . . . 28

Chapitre 1

Une introduction intuitive à la théorie

de la mesure et à l"intégrale de Lebesque

1.1 La mesure de Lebesque

On va introduire d"abord la mesure de Lebesque qui est en fait un nombre réel positif (0) qu"on associe à "tout" ensemble deIRn. En fait on n"associera à tout ensemble deIRnune mesure mais seulement à certains en- sembles qu"on peut grouper dans une collection des ensembles appelléetribu de Lebesque. Mais on evitera les complications mathématiques et on fait comme si on associe une mesure à tout ensemble deIRn. En fait les ensembles auxquelles on n"associe pas de mesure sont des ensembles qui ne sont jamais utilisés dans les applications (des ensembles qui ne sont pas intuitives!). Dans la suite pour tout ensembleXon noteraP(X)l"ensemble des parties deX. Définition 1.1.SoitXun ensemble et soit:P(X)![0;+1]IR+[ f+1g.

On dit queest unemesuresurXsi

a)(;) = 0(ici;est l"ensemble vide) b)Pour toute suite des ensemblesfAngn2INavecAnX;8n2INet avecAndisjointes deux à deux (An\Am=;;8n6=m) on a : [n2INAn=X n2IN(An):

Conséquences :

1)SiA1;A2;AnXavecAi\Aj=;;8i6=jalors

([ni=1Ai) =nX i=1(Ai):

En particulier, pour tousA;BXavecA\B=;on a

(A[B) =(A) +(B): 3

2)SiA;BXavecABalors

(A)(B) (carB=A[(BA)avecA\(BA) =;donc(B) =(A) +(BA). Mais comme (BA)0, on a le résultat.) Dans la suite on va s"intéresser à des mesures définies sur l"espace euclidienIRn. Proposition 1.2.(Résultat admis) Il existe une mesurensur IRntelle que pour tout ensemblePdu type "pavé ouvert" de la forme

P= ]a1;b1[]a2;b2[]an;bn[IRn

avec1< ai< bi<+1; i= 1;n, on a n(P) = (b1a1)(b2a2)(bnan):

Cette mesurens"appellemesure de Lebesquesur IRn.

Remarque 1.3.Cette proposition nous donne :

Sin= 1etP= ]a;b[, alors1(P) =ba. Dans ce cas la mesure est lalongueurdu segment]a;b[. Sin= 2etP=]a1;b1[]a2;b2[, alors2(P) = (b1a1)(b2a2)et la mesure estl"airedu rectangle]a1;b1[]a2;b2[. Sin= 3etP=]a1;b1[]a2;b2[]a3;b3[, alors3(P) = (b1a1)(b2a2)(b3a3)et la mesure est levolumedu parallelipipède]a1;b1[]a2;b2[]a3;b3[. Alors la mesure de Lebesque généralise respectivement la longueur, l"aire, le volume des ensemble en IR;IR2;IR3respectivement. Remarque 1.4.Pour calculer la mesure de Lebesque d"un ensemble quelconque en IRn il faut décomposer cet ensemble en une union (éventuellement infinie) des pavés et faire la somme des mesures de chaque pavé. Pour un ensemble arbitraire ceci peut être assez complique (par exemple pour un disque dans le plan). On verra plus loin une méthode plus simple pour calculer la mesure de Lebesque d"un ensemble arbitraire. Le résultat suivant dit que la mesure de Lebesque de tout singleton est égale à zero :

Proposition 1.5.Pour toutx2IRnon a

n(fxg) = 0: Démonstration.voir cours.On déduit alors que pour tousa;b2IRaveca < bon a

1(]a; b]) =1([a; b[) =1([a; b]) =1(]a; b[) =ba

(car par exemple]a; b] =]a;b[[fbgdonc1(]a; b]) =1(]a; b[)+1(fbg)et on a le résultat en utilisant le fait que1(fbg) = 0.)

On a aussi :

4 Proposition 1.6.SiAIRnest au plus dénombrable (c"est à dire finie ou dénombrable) alorsn(A) = 0.

Démonstration.voir cours.Exemples :

1. L"ensemblef1;2gest un ensemble de mesure de Lebesque 0 enIR.

2. L"ensembleQdes nombres rationels est un ensemble de mesure de Lebesque 0 enIR.

De mêmeQnest de mesure de Lebesque 0 enIRn.

Question :Y-a-t"il des ensembles de mesure nulle qui ne soient pas au plus dénombrable? La réponse est OUI, au moins enIRnavecn2, comme il résulte de la proposition suivante : Proposition 1.7.SoitAest un segment en IR2, par exemple de la forme : A= [a;b] fcgaveca;b;c2IR; a < b. Alors la mesure de Lebesque deAen IR2est nulle (c"est à dire2(A) = 0).

Démonstration.voir cours.Ce résultat peut se généraliser au cas d"une courbe arbitraire enIR2, ayant une certaine

régularité (par exemple de classeC1par morceaux). En fait on a le résultat général suivant

(preuve assez difficile) : Proposition 1.8.Toute variété (avec une certaine régularité) de dimensionm < ndans IR nest de mesure de Lebesque 0 en IRn.

Conséquence :Soit

IRnun ensemble ouvert et régulier et@

sa frontière. Alors on an(@ ) = 0(car@ est une variété de dimensionn1enIRn). Ceci implique immédiatement :n( ) =n( ), où est l"adhérence de enIRn. Définition 1.9.SoitAIRn. On dira qu"une propriété surAa lieupresque pour tous x2A(on va noter :p.p.x2A) si l"ensemble desx2Asur lequel la propriété n"a pas lieu est un ensemble de mesure de Lebesque nulle.

Exemple :Soitf:IR!IRavec

f(x) =8 :1six= 1

2six= 3

0six6= 1etx6= 3

Alorsf(x) = 0; p:p: x2IR(car l"ensemble desxtels quef(x)6= 0estf1;3gqui est un ensemble de mesure nulle). 5

1.2 L"intégrale de Lebesque

On ne donnera pas la définition exacte de l"intégrale de Lebesque, car ceci demande un

appareil mathématique assez élaboré. On donnera en fait de manière intuitive cette notion,

en donnant ses propriétés, car elle ressemble à l"intégrale de Rieman. Dans la suite on va noterIR=IR[ f1g [1;+1]. On utilise les conventions :

0(1) = 0et1 1n"est pas définie.

"Définition" : SoitAIRnetf:A!IR. L"intégrale de Lebesque defsurA(quand elle existe) est un

élément2IRnotéR

Af(x)dnou aussiR

Af(x)dx, qui satisfait les propriétés (L1)-(L10) données ci-dessus. Les propriétés de l"intégrale de Lebesque sont les suivantes : (L1) Pour toute constantec2IRon aR

Acdx=cn(A).

Conséquence :n(A) =R

A1dx. (L2) (linéarité) : Sif1;f2:A!IRet1;22IRalorsZ A [1f1(x) +2f2(x)]dx=1Z A f

1(x)dx+2Z

A f

2(x)dx:

(L3) (relation de Chasles) SiA1\A2=;alorsZ A

1[A2f dx=Z

1f dx+Z

2f dx:

(L4) SiBIRnavecn(B) = 0etf:B!IRalorsZ B f(x)dx= 0: (L5) Sifest intégrable surAetf(x) =g(x)p:p: x2Aalorsgest intégrable surAetR

Af(x)dx=R

Ag(x)dx.

Conséquence :Sif(x) = 0p:p: x2AalorsR

Af(x)dx= 0.

(L6) (intégration des inégalités) Sif(x)g(x)p:p: x2AalorsR

Af(x)dxR

Ag(x)dx.

(L7) Sif(x)0p:p: x2AetR

Af(x)dx= 0alorsf(x) = 0p:p: x2A.

(L8) (inégalité triangulaire)R

Af(x)dxR

Ajf(x)jdx.

(L9) Soit

IRnouvert etf:

!IRune fonction continue par morceaux (c"est à dire : il existe une partitionA1;A2Amde telle quefsoit continue à l"intérieurA i de chaqueAi). Alorsfest intégrable Lebesque sur si et seulement sifest intégrable

Riemann sur

et en plus on aZ f(x)dn=Z f(x)dx où la deuxième intégrale désigne l"intégrale de Riemann sur et cette intégrale s"écrit encorequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L"INGENIEUR 2

Ionel Sorin CIUPERCA

Table des matières

1 Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et à l"intégrale de

Lebesque 3

1.1 La mesure de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 L"intégrale de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Les espaces de Lebesque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 La théorie des distributions. 9

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 L"espaceD(

2.3 La notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Convergence dansD0(

2.5 Dérivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6 Produit entre une fonctionC1et une distribution . . . . . . . . . . . . . . 19

2.7 Primitives des distributions en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Convolution des distributions et applications à la résolution des équations

3.1 Support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Support d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Définition du support d"une distribution . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 La convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Applications à la résolution des équations différentielles linéaires à coeffi-

3.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3.2 Solution fondamentale du laplacien et applications . . . . . . . . . . 28

Chapitre 1

Une introduction intuitive à la théorie

1.1 La mesure de Lebesque

On dit queest unemesuresurXsi

Conséquences :

1)SiA1;A2;AnXavecAi\Aj=;;8i6=jalors

En particulier, pour tousA;BXavecA\B=;on a

2)SiA;BXavecABalors

P= ]a1;b1[]a2;b2[]an;bn[IRn

Cette mesurens"appellemesure de Lebesquesur IRn.

Remarque 1.3.Cette proposition nous donne :

Proposition 1.5.Pour toutx2IRnon a

1(]a; b]) =1([a; b[) =1([a; b]) =1(]a; b[) =ba

On a aussi :

Démonstration.voir cours.Exemples :

1. L"ensemblef1;2gest un ensemble de mesure de Lebesque 0 enIR.

2. L"ensembleQdes nombres rationels est un ensemble de mesure de Lebesque 0 enIR.

De mêmeQnest de mesure de Lebesque 0 enIRn.

Conséquence :Soit

IRnun ensemble ouvert et régulier et@

Exemple :Soitf:IR!IRavec

2six= 3

0six6= 1etx6= 3

1.2 L"intégrale de Lebesque

0(1) = 0et1 1n"est pas définie.

élément2IRnotéR

Af(x)dnou aussiR

Acdx=cn(A).

Conséquence :n(A) =R

1(x)dx+2Z

2(x)dx:

1[A2f dx=Z

1f dx+Z

2f dx:

Af(x)dx=R

Ag(x)dx.

Conséquence :Sif(x) = 0p:p: x2AalorsR

Af(x)dx= 0.

Af(x)dxR

Ag(x)dx.

Af(x)dx= 0alorsf(x) = 0p:p: x2A.

Af(x)dxR

Ajf(x)jdx.

IRnouvert etf:

Riemann sur