[PDF] Sur lintégrale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions

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Sur l'int6grale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions abso- lument continues de fonctions absolument continues par M.ne I~INA BARV et M. D. ]~ENCHOFF (h Moscou). Nous nous proposons d'6tudier dans ce M4moire l'int4grale de LEBESGUE- STIELTJEB d'uue fonction mesurable f(x) par rapport ~ une fonetion ~(x) absolument continue. Quand on d4fiuit l'int4grale de LEBESGUE-STIELTJES~ on suppose habituel- lement que la fonction ~(x) est ~ variatioa born~e; on pose alors ~(x) ---- ~,(x) -- ~(x) ehacune des fonctions ~,(x) et ~o~(x) (~tant non d~croissante; on d~finit l'intd- grale de LEBEBGUE-STIELTJE8 d' une fonction f(x) par rapport ~ une fonction non d~croissaute et l'on pose par d6finition b b a ~ a Dans le present M4moire nous imposons ~ la fonction ~(x) la condition d'etre absolument continue, mais la d~finition de l'int6grale que nous eonsi- d6rons (,~ 1) est telle que l'int~grale b (l)),~. :RADON dans son Mdmoire Theorie und Anwendungen der absolut additiven Men. genfwnktionen (Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften~ Band i22, Abt. II a, s. 1205,i438~ ~rien 1913) donne une dgfinition tr~s gdngrale de l'i~tdgrale de b b STIELTJES, mais lui anssi ne consid~re que le cas off chaeune des intdg~'ales ffa~, et ffd~.2 b a a existe et dgfinit l'intggrale ffdq~ eomme leur diffgrence. ~0 M. lie N. B.~R~- et M. D. M:ENC~O~: Sur l'intdgrale de Lebesgue.Stieltjes peut exister sans que les deux int4grales b b a a existent. En ~tudiant l'intggrale ainsi d6flnie, nous voyons (§ 3) qu'il y a des cas b ~ off l'int4grale d4finie .ff(x)d¢? existe, tandis que l' int~grale ind6fiaie .~f(x)d¢? a a n'existe pas quelque soit x, a ~ x <~b. D'ailleurs, m~me quand cette int~- grale est d4termin4e et fl~lie pour tout point x, a ~_x ~b, elle peut repre- senter uue fonction discontinue (§ 4). On pourrait donc croire qu' une telle d6finition de 1' int~grale de LEBES(~UE- STIELTJES ne pr4sente aucun int~ret. Mais il y a une classe remarquable de ces int~grales, ce sont les int~grales de Ia forme

L. S.jf [¢;(x)]d¢~

elIes pr(~sentent u~m g(!n~ralisatiou tr6s naturelle des int6grales de M. LEBESGUE. On d6montre (§ 6) que si l' intdgrale inddfinie .t'f[~(x)]d ~ existe pore" tout X~ a a ~ x ~ b, elle reprdsente une fonction absolument continue de fonction absolument continue et reCiproquement, toute fonction absolument continue de fonction absolument continue est (~t une constante additive pros) une IB intdgrale de Lebesgue-Stieltjes de la forme jf[~(x)]d~ (de mSme qu' une int4- grale ind~finie de M. LEBESGUE est une fonction absolument continue et r+ci- proquement). :Nous donnons ensuite (§ 7) une condition ndcessaire et suffisante pour qu'une fonclion continue soit une fonction absolument continue de fonction absolument continue. Oal en d4duit sans peine (§ 9) que toute intdgrale indd- finie de M. Denjoy est une fonction absolument continue de fonction abso- tument continue. L'int4grale ind~finie de M. DENJOY a presque partout une d~riv6e d4- termin~e et finie. Mais parmi les tbnctions absolument continues de fonctions absolument continues, il y a des fonctions qui n'ont pas de d~riv(~e sur uu ensemble de mesure positive (§ 9). et les fonctions absolument continues de fonctions absolument continues ~1 On voit donc que cette classe de fonctions est beaucoup plus vaste que celle des fonctions absolument continues elle-m6mes. On pourrait croire que la classe des fonctions de la forme f~ ~ [~(x)] / f, ~ et ~ 6rant absolument continues, pr6sente une classe encore plus vaste. Nous d6montrons (§ 9)qu'il n'en est pas ainsi: cette classe coYncide avec celles des fonctions absolument continues de fonctions absolument continues. § 1. Ddflnition de l'int~grale de Lebesgue-Stieltjes. -- Soit f(x) une fon- ction mesurable et finie presque partout daus (a. b) et ~(x) une fonction abso- lument continue darts (a, b).

Soit aun nombre positif et

...~l_,,..., l_~, lo, 1~,...~ ln,,.. une 6chelle de hombres croissant de --~ ~t + c~ par degr6s < ~. D6signons par l,, l'ensemble des points pour lesquels on a et par ).,~ un nombre tel que et formons la s6rie var ¢¢(x) d6signant err l,_~ ~ fix) < l,, l,_~ ~ ).~ < l,~

S = Z ),,, var ~(x),

l~ variation algdbrique de ~(x) sur l'ensemble e,, (~); Q) Rappelons la dgfinition de la variation algdb~gque (Ch. de la ~¢-ALLt~,E.I:}oussIN, COU~'$ d'Analyse Infinitdsimale, t. 1, 3 ° ddition~ pag. 267): Salt F(x) une fonetion continue et E un ensemble mesurable. Enfermons E en une infinitd dgnombrable d'intervalles (a,~ b,,) sans points communs deux h deux et considdrons oo

la somme ~ [//'(bn) --F(am)]. Si cette sdrie est absolument convergente~ sa valeur est la varia- nt--1 tion de F(x) dans l'ensemble des intervalles (an, b~). Si cette variation tend vers une limiie

toujours la m~me quand on fait tendre la somme V.(b,- a,,) des longueurs des intervalles vers la mesure de E~ cette limite est la variation algdbrique de F(x) dans l'ensemble E. I1 est important de remarquer que dans le cas qne nous dtudions, ]a variation de ~(x) sur un ensemble peut ~tre positise ou negative, puisqu'on ne suppose gu~re que la fonction ~(x)soit toujours croissante on tou.jours ddcroissante. C'est par cette raison clue b b

1' int~grale de "[JEBESGUE-STIELTJES ff(~)d¢~ peut exister sans que les deux intdgrales ff(x)d¢~

b tt a

et ff(x)d~e existent~ off 1' on a pos6 ~(x) ---- ~l(x) ~ ~(x), ~i(x) et ¢~(x) grant non dgcroissantes.

t~

22 M. n° N. BAR~ ~ et M. D. MENOHOFF: Sur l'intdgrale de Le~esgue-Stieltjes

supposons que cette sdrie converge absolumeut et que sa somme S tende vers ane limite fiuie quand ~ tend vers zdro, cette limite 4~tant toujours la meme quel que soit le choix des nombres l,~ et ~,,,; nous dirons alors que la fonc- tion f(x) est sommable par rapport & ?(x) et nous donnerons ~ cette limite le nom d'intdgrale de Lebesgue-Stieltjes de la fonction f(x) par rapport la fonction ?(x) b lira S=: L. S.~'f(x)d% 6~ On sait (~) que la variation d'une fonction absolument continue ~(x) sur un ensemble mesurable e est dgale var~ ~(x) -----~qo'(x)dx e l'intdgrale de cette formule dtant une intdgrale de M. LEBESGUE. La somme S qui sert h ddfinir l'intdgrale de LEBESGUE-STIELTJES devient alors

S-- ~ X X.

On voit qu'en posant ¢~(x)--x on rdduit la somme S ~t la somme ;q, mes en dont la limite (si elle existe) est l'intdgrale de M. LEBESaUE de la fonction f(x). La variation de ~(x) joue doric dons t" intdgrate de Lebesgue-Stiettjes le mdme rSle que la mesure darts l'i~tdgrale de Lebesgue. On sait, que la valeur de l'intdgrale de LEBESGUE n'est pas changde quand on modifie arbitrairement la fonction f(x) sous le signe d' intdgrale sur un ensemble de mesure nulle.

Soit E un ensemble off l'on a presque partout

~'(x) = o. La variation de ~(x) est donc nulle sur E et sur chaque ensemble E'c-E. Il suit de la ddfinition m~me qu'en modifiant arbitrairement la fonction f(x) b sur E on ne change pas la valour de l' intdgrale de LEBESGUE-STIELTJES jf(x)d% (I) CH. DE LA VALL~E-PousSIN, Cou~.'s d'Anatyse, t. 1, 3 ~ ddition, pag. 267. et les fonctions absoIument continues de fonctions absoIument continues 23 Ainsi les ensembles o~ l'on a presque partout ¢~'(x)---0 jouent dans l'dtude de l" intdgrale de Lebesgue-Stieltjes le mdme role que les ensev,bles de me- sure nulle dans l'intdgrale de Lebesgue : il sent ndgligeables. Cela pos~, passons ~ 1' 4tude de l' int6grale de LEBESGUE-STIELTJES. § 2. (~0mparaison avec l'intdgrale de )I. Lebesgue. -- Nous allons d~- montrer d'abord le th~or~me suivant. TH~OR:~ME 1. Si le produit f(x)+'(x) est sommable dans (a, b), la fon- ction f(x) est sommable par rapport d +(x) et l'on a I

L. S. t: r(x)d~ -- L.Jf(x)~'(x)dx._ a ~ X b.

a ¢~ En reprenant les hombres l,~, )~,, et e,~ du § 1 et en d4signant par e,(x) la partie de l'ensemble e,, sit@e dans l'intervalle (a, x), on voit que la dSfinir l'int~grale de LEBESGUE-STIELTJES peut ~tre somme S qui sert

6crite sous la forme

D'autre part, l'int6grale de LEB~SOUE du produit f(x)~'(x) qui existe, d'apr~s l'hypoth~se fMte, peut se presenter dans la forme d' une s~rie

S,(x) ~'=_~:j'f(x)~'(x)dx

e,,(00 car les ensembles e,(x) n'ont pas de points communs et leur somme coincide avec l'intervalle (a, x). Le produit f(m)+'(w) 6rant sommable, cette s~rie est absolument convergente. La difference des termes g~n~raux de la s6rie absolument convergente Sl(x ) et de la s6rie S(x) est ~gale S [f(x) -- X,]~'(x)dx. Mais les valeurs de la fonction f(x) dans l'ensemble e,, done ~k fortiori dans en(x), appartiennent ~t rintervalle (l~_~, l~) de l'axe des Y ainsi que la valeur ),,,; donc la diff6rence f(x)- ~-, ne surpasse pas en valeur absolue la longueur de cet intervalte, mais cette derni~re est inf~rieure ~t un nombre "24 M. n~ N. BAnY et M. D. ME~CtmFF: Sur l'intdgrale de Lebesgue.Stieltjes positif donu~ ~. Par suite, la diff6rence des termes g6n6raux des s~ries S~(x) et S(x) no surpasse pas la valeur mais cette valeur est le terme g6n4ral d'une s4rie absolument convergente dont ta somme est 4gale f$ Il s'en suit que la s4rie consid~r6e S(x) est aussi absolument convergente et que sa somme a pout" limite l'int~grale de LEBESGUE du produit f(x)cp'(x) dans (a,x) quand ~ tend vers z4ro. Iqous avons donc d4montr4 l'identit~

L.S. f(x)d~ L. f(x)~ (x)~ x (e. q. fi d.).

Remarque. Si la fonction f(x) est bornde, le produit f(x)~'(x) est sore- rouble quelque soit la fonction absolument continue ¢p(x). I1 en suit qu'une fonction bornde f(x) est sommable par rapport 5 une fonction ~(x) abso- lument continue avbitraire et son intdgrale de Lebesgue-Stieltjes est dgale t" intdgrale de Lebesgue du produit f(x)~'(x). § 3. Duns le cas off le produit f(x)~'(x) est sommable duns (a, b), l" exi- stence de l'int4grale d6finie j'f(x)d~ n' est qu' un cas particulier de l' existence de l' int4grale ind4finie .l'f(x)d ~ pour tout point x, a ~ x ~ b. MMs dans le cas off le produit f(x)'~'(x) n' est pas sommable, il peut arriver que l'int4grale d~fiuie existe tandis que l'int~grale ind~flnie n'existe pas, et cette circon- stance peut se presenter mOne pour une fonction f(x) sommable. Nous allons construire une fonclion sommable f(x) et une fonction abso- lument continue ~(x) telles que l'intdgrale 1 ~ fl x)d~ b et Ies foncbions absolument coutinue~ de fonctio~s absolument continues 25 existe, tandis que l' intdgrale iuddfinie j'f(x)d~ n" existe pas quelque soit x, O

0

Posons

Soit

1 n+.t a,, --- -- b,, -- -- (n -=-- 0~ !, 2~ 3, ...). n + 2 ' n+2

fvx)---'Vn+2 sur (a,,+~, a,,) et (b,,, b,+i ) (n=0,1,2,3,...). On voit sans peine que la fonction f(x) est sommable. En effet,,la longueur d~ chacun des intervalles (a,,+~, a,) et (b,,, b,,+~) est 6gale /t

On a donc (n -4- 2)(n + 3)"

oo f(x)dx -= (n +21(n + 3) ,=o( n + 2) ~ ~n-t- t et la derni6re s6rie converge. Oa a la m6me in6galit6 pour la somme des int6grales de f(x) sur les intervalles (b,, b,,+i). Donc

1 L. f(x)dx

0 existe.

Soit maintenant

~(x)--+Vn-4-2 sur (a,,+t , a,) ~(x)--- Vn+2 sur (b,,, b,,+i ) (n=O, 1, 2, 3, ...) (n -- O, 1, 2, 3, ...).

La fonction ~(x) est sommable puisque

et f(x) est sommable. Soit I +(x)! = f(x) j '~( )d r(x) =- L. x x, 0

Annati d~ Matematioa, 8erie IV, Tomo V, 4

26 M. ne :N. BARY et M. D. M:~o::ovF: Sur l'i~tdgrale de Lebesque.Stieltjes

La fonction ?(x) est absolument continue. II est clair que

O~ ¢Y> ,

..... t ( ~ ~?~xl~:~ v,~ + ~(~ (~ ~ + L k'(~ ) =:~,,' ~(S+(~,~ +~1 +/~)~x):

0 an+l bn a,,+t b.,

Y~o~ q- 2) l 4- t __ 1 ] (n (n + 2)(n + 3) (n + 2)(n + 3) O. Z7..2 'n:-| t d6finie L. S. [f(x)d? existe done et elle est 6gale h O. L' int6grale 0 Soit maiutenant x un point quelconque, 0 < x < 1. Supposons d'abord qu'on air pour un certain n ~ n o a,o+ ~ ~_ x ~ a.o a o ~ ~ , done x

On a alors

an a~

0 n=n o I-1 an+t ~no+ t

,, :.00~ ~ 2)(,~ + 3) a,~ +l a.o + i la sdrie 6rant divergente on Dans le cas off l'on a pour un certain n---~ no volt que L. S. ff(x)d~ n'existe pas. o ( 1 1) b,, o .<_ x ~ b,,o+ l b o ~ ~ , donc x~>,~ on divise l'int6grale en deux parties: I 0 0 1 La premi6re de ces intSgrales n'existe pas, car on peut lui appliquer le

1 raisonnement pr6c6dent, .~- x 6tant n6cessairement contenu dans un certain

et les [onctions absolument continues de fonctions absolument continues 27 (a,+~, a,); quant ~% la seconde int~grale, elle est 6gale h z6ro; la dOnon- stration est tout h fait analogue h la d6monstration de l'6galit6

On voit ainsi

soit x, 0~x~.l. que 1 f(x)d¢~ = O. 0 j 'f(xldcp n' l'int6grale ind~finie existe pas quel que 0 (c. q. f. d.). § 4. On peut se poser la question suivante: en supposant que .l'int~grale ind6finie de LEBESGUE-STIELTJES est d6termiu6e et finie en chaque point de l'intervalle (a, b)i peut-on affirmer qu'elle repr~sente une fonction continue? Nous allons rSpondre ndgativemeut h cette question en d6finissant une fonclion sommable f(x) et une fonction ~(x) absolument continue telles que r intdgrale inddfinie ~i(x) -- L. s.i'f(x)d ~ r.# 0 existe pour tout point x, 0 ~ x ~ 1 et sa valeur est parlour finie, mais ~(x) est discontinue au poi~t x--1.

Posons

1 a,,--- 1 -- n---- ~ (n ~ 1, 2, 3, ...).

Soit 3 f(x)--=-n ~- sur (a,,, an.t-,) (n-- 1, 2, 3,...).

O~l voit que f(x) est sommable puisque la s6rie

oo t~n+l oo 3 - ~=l n~(n -i- 1)7 tclbll. converge. Soit ~(x)----+n ~ sur a,,,

3 (a,, + a,+t ~(x)------n~ sur \ '2 , a,,+, / (n -- 1, 2, 3, ...).

28 M. n° N. B~tRY et M. D. MEZ~C~OVF: Sur l'intdgrale de Lebesgue-Stieltjes

Puisque [+(x)[ ~ fix), la tbnction +(x) est sommable. Posons ~(x) -"- L.~(x)dx, U ~(x) est donc absolument continue. I1 est gvident que L.S. f(x)d~--~u;,=~ (x)dx+ (x)dx:za=[,k~n,(n+l), 2n,(n+i),---0.

0 an an+an+t

9~ L'int4grale d~finie ~f(x)dx existe donc et elle est 4gale /~ 0. o Soit maintenant x un point quelconque 0 ~ x ~. 1. L'int~grale ind4finie f(x)d~ 0 existe puisque f(x) est born6e sur le segment (0, x) et nous avons vu (§ 2) qu'une fonctiou born~e est sommable par rapport /t une tbnction ~(x) abso- lument continue arbitraire. Mais on a quelque soit n an 4- a~ .4. t aa + a~, -t- t an 2 = L = L s. r(x)a + L. s. -

0 0 an

ak+ak+t n--1 3 '2 (~k,~- I k=O ~k (~k+ak4- 1 2 n-1 [1 2h-!-1 k----O an ,+. Cl~l, .4-1 3 ~2 + n ~ ~(x)dx--- an

1 2k+l ] 81 2n+l n(2n.-t-1) 2 h~(h + 1)~] + n ~ n~(n + 1)* -- 2(n + 1) ~"

Quand n tend vers l'infini, on a

lira an w a. + t --1 et les fonctions absolument continues de fonctions absolument continues 29 et ( -~ ) ,. n(2n-t-1) lira ~ a. a.+~ _~. llm ' , 1. ~ := 1 mais ~(1)---0, ~(x) est donc discontinue au point x~---1 (c. q. f. d.). § 5. Nous avons vu au § 4 que r intdgrale inddfinie de LEBESGUE-STIELTJES (supposde ddterminde et finie en chaque point d' un intervalle)peut avoir des points de discontinuit6. Nous allons ddmontrer maintenant que si l'intdgrale inddfinie de Lebesgue.Stieltjes existe en chaque point x, a ~ x ~ b, elle est ou bien continue, on bien une limite de fonctions continues (c' est ~ dire une fonction de classe 1 au plus d'apr6s la classification de M. BAmE). Sans restreindre la gdndralit6 des considdrations on peut supposer que la fonction f(x) ne prend que des ~aleur~ entib~'es. Eu effet, en ddsignant par E[A] le plus grand entier contenu dans le hombre rdel A, nous voyons qu'on peut diviser f(x) en une somme de deux fonctions fix) ---- Elf(x)] + e(x) dont la premi6re est une fonction mesurable qui n'a que des valeurs enti6res et la seconde est une fonction mesurable et bornde, puigque 0 ~ 0(x)< I. D'apr6s la remarque faite /~ la fin du § 2, la fonction 0(x) est doom som- mable par rapport h une fonction absolument continue ~(x) absolument quel- conque et son int4grale inddfinie de LEBESGUE-STIELTJES coincide avec r int6- grale de LEBESGUE du produit O(x)cf(x), il repr6sente donc une fonction absolument continue. D'autre part il est evident que le th6or6me • l'intdgrale d' une somme est 6gale t~ la somme des int6grales • subsiste pour les intdgrales de LEBESGUE-STIELTJES. Donc il nous suffit de considdrer des fonctions qui ne prenneat que des valeurs enti6res.

Soit e, l'ensemble des points off 1'on a

f(96) --- n~ (n --- O, =t= 1, =t= 2, ...) et tp,(x) une fonction 6gale h ~'(x) dans en et h zdro en dehors de e,,

On a alors (n -- O, "4- 1, --I- 2, ...).

L.S.~f~x)d~0 ~=+oo ==~_ nJ,,,(x)dx

a

30 M, lle N. B/~RY e~ M. I). MENCHOFF: Sur l'intdgrale de Lebesgue.Stieltjes

la derni~re s4rie 4taut absolument convergente quel que soit x, puisque nous avons suppos~ que l'int~grale ind4finie de LEBESGUE-STIELTJES est d4termia4e et time partout darts (a, b). Le terme g6n4ral de cette s~rie, ~tant une int~grale iud~fiuie de ~I. LEBESGU~ multipli~e par n, est done uue fonctiou continue et l'ou -¢0it ainsi que i' int~grale ind4finie de LEBESGUE-STIELTJES est la limite de fonctions continues, ce qui prouve la proposition ~nonc~e. (c. q. f. d.). § 6. Un cas remarquable d'int6grabilitd au sens de Lebesgue-Stieltjes. a~ j. Nous avons vu aux para,graphes pr6c6dents que 1' int6grale indgflnie L. S. f(x)d~ n'est pas n6ce~sairement d~termin~e daus a ~.~x ~b si l'int~grale d~fiuie b j 'f(x)d~0 existe, et quand elle est d~termin~e et fiuie, elle est g6n~ralement discontinue. Considgrons maintenant le eas oit la tbnction sous le signed' iut~grale est une fonction de la fonction ~0(x), c' est-~-dire eonsidgrons les int6grales de la forme

L. S.~f[~(x)] d%

a Nous verrons que si les extremes absolus de ~(x) sont nux bornes dequotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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