Sur la représentation des fonctions discontinues
dans l'dtude du probl~me suivant: Carac~riser les fonctions discontinues si elle est convergente en tout point de P dgfinit par sa somme une fonc-.
Colle 9 1 Continuité
6 dic. 2018 Montrer que toute fonction continue et injective sur un intervalle ... Une fonction f : R ? R discontinue en tout point telle que
Étude sur la détermination dune fonction discontinue par sa dérivée
8o. TULLIO VIOLA. De plus fÇx) a la dérivée droite nulle en tout point de crb. Démontrons-le en distinguant deux cas :.
Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité dune
On dit aussi que f est continue sur l'intervalle I si elle est continue en tout point de I. 1. Page 2. AP. Approfondissement en Terminale S. Groupe Mathématique
Limites. Continuité en un point
Exercice 6 **IT. Montrer que la fonction caractéristique de Q est discontinue en chacun de ses points. Correction ?. [005387]. Exercice 7 ****. Etudier l'
Sur lintégration des fonctions discontinues
HENRI LEBESGUE. finie n'existera pas en tout point P tel que dans toute hypersphère de centre P
Problèmes aux Limites Discontinus dans la Théorie des Fonctions
Classes de fonctions discontinues définies sur un système d'arcs. Soit limites $*(0 en tout point t d'un arc arbitraire Z
Sur lintégrale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions
grale est d4termin4e et fl~lie pour tout point x a ~_x ~b
2. Continuité des fonctions
Continuité en un point Où les fonctions ci-dessous sont-elles discontinues ? ... est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point.
Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et
Ainsi f est discontinue en a. Exercice 6 : Etudier la continuité de f définies sur R+ par f(x) = sup n?N xn.
[PDF] Fonctions discontinues
Tout énoncé A a une négation A qui est l'énoncé ”opposé” Si un énoncé est vrai sa négation est fausse et vice-versa En particulier la négation de l'énoncé
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d
[PDF] 2 Continuité des fonctions - Apprendre-en-lignenet
On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle Aux extrémités de l'intervalle il faut comprendre
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction définie par morceaux
Exemples de fonctions discontinues On dit aussi que f est continue sur l'intervalle I si elle est continue en tout point de I
[PDF] Mémoire sur les fonctions discontinues - Numdam
à des fonctions discontinues dans tout intervalle et il énonce les con- ditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction continue ou dis-
[PDF] De lutilisation des fonctions discontinues en analyse - Numdam
une fonction tout à fait indéfinie et même de plus discontinue Page 23 Les géomètres qui ont donné des solutions concernant le mouvement vibratoire des cordes
[PDF] Limites et continuité
Nous conviendrons qu'une fonction continue sur [a b] est continue en tout point de ]a b[ et que de plus elle est continue à droite en a et à gauche en b Le
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
`a D Tout point de D est adhérent `a D c'est-`a-dire que D ? D En général et pourtant f n'admet pas de limite en 0 (elle est discontinue en 0)
[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
- est continue sur si est continue en tout point de Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est continue sur cet
[PDF] DES FONCTIONS MONSTRUEUSES MAIS UTILES
En effet il existe une fonction g qui est continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point rationnel Elle saute sans cesse de la continuité à
Comment montrer qu'une fonction est discontinue ?
La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.Quand une fonction est discontinue ?
Intuitivement, une fonction discontinue est une fonction dont on ne peut tracer le graphique sans « lever le crayon du papier ». Dans le graphique ci-contre, vous retrouverez une fonction affine par parties présentant des « sauts ».Comment montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point ?
Comme pour une fonction d'une variable réelle, cette propriété sert souvent à montrer qu'une fonction n'est pas continue. alors un tend vers (0, 0) mais f(un) ne tend pas vers f(0, 0) quand n tend vers +?. pour tout t = 0, ce qui donne une contradiction et prouve par l'absurde que f n'est pas continue en (0,0).Une fonction �� ( �� ) est continue si elle respecte les trois conditions suivantes :
�� doit être défini en �� ( �� appartient à l'ensemble de définition de �� ) ;l i m ? ? ? �� ( �� ) doit exister ;l i m ? ? ? �� ( �� ) et �� ( �� ) doivent avoir la même valeur.
Aux Lazaristes
Sup 2Colle 9
ContinuitéAlexis Marchand
06/12/2018Questions de cours.
1.Énoncer et démontrer la caractérisation séquentielle des limites.
2.Énoncer et démontrer le théorème de composition des limites.
3.Montrer que toute fonction continue et injective sur un intervalle est strictement monotone.
1 Continuité
Exercice 1.1(?).Étudier la continuité en0des applications suivantes :1.?·?2.1Q
3.idR·1Q4.x?-→?
?sin?1x six?= 00six= 0
5.x?-→?
?xsin?1x six?= 00six= 06.x?-→?
?x?1x six?= 00six= 0.
Exercice 1.2(?).Étudier la continuité dex?[0,2]?-→ ?x?+?x- ?x?. Exercice 1.3(?).Soitf:R→Rune fonction continue non constante. Montrer que l"ensemblef(R)est infini. Exercice 1.4(?).Des fonctions vérifiant les propriétés suivantes existent-elles?1.Une fonctionf:R→Rdiscontinue en tout point telle que|f|soit continue en tout point.
2.Une fonctionf: [0,1]→[0,1]bijective et discontinue en tout point.
3.Une fonctionf:R→Rpériodique non constante n"admettant pas de plus petite période strictement
positive.4.Une fonctionf:R→Rpériodique non bornée.
5.Une fonctionf:R→Rbornée surRqui n"atteint ses bornes sur aucun segment.
6.Une fonctionf:R→Rpériodique non constante et admettant une limite en+∞.
7.Une fonctionf:R→Rcontinue t.q.f(Q)?R\Qetf(R\Q)?Q.
8.Une fonctionf:R→Rinjective et non strictement monotone.
Exercice 1.5(?).Soitf:R+→Rcontinue t.q.f(x)----→x→+∞??R. Montrer quef(R+)?[f(0),?[.
Exercice 1.6(?).Un marcheur parcourt dix kilomètres en deux heures. Montrer qu"il existe un intervalle
d"une heure pendant lequel il parcourt exactement cinq kilomètres. Exercice 1.7(?).Soitf:R+→Rune fonction continue t.q. ?x?R+, f? x2? =f(x).Montrer quefest constante.
Exercice 1.8(?).Soitf:R→Rune fonction continue et décroissante. Montrer quefpossède un unique
point fixe. Exercice 1.9(?).SoitIun intervalle ouvert deRcontenant un pointa. Soitf,g:I→Rdeux fonctions continues ena. Montrer quemax(f,g)est continue ena. Exercice 1.10(?).Déterminer l"image def:x?R?-→xcosx.Exercice 1.11(?).Soita < bdeux réels. Soitf: [a,b]→Rune fonction croissante telle quef([a,b]) =
[f(a),f(b)]. Montrer quefest continue. 1Exercice 1.12(?).Une fonction vérifiant la propriété des valeurs intermédiaires est-elle nécessairement
continue? Exercice 1.13(?).Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. Le but est de démontrer quesup[a,b]f= sup ]a,b[f.1.Quelle inégalité est immédiate?
2.En utilisant le fait que la borne supérieure defsur[a,b]est atteinte en un pointx0, montrer l"égalité
(on pourra distinguer les casx0?]a,b[etx0? {a,b}).Exercice 1.14(?).
1.Montrer qu"il n"existe pas de surjection continue[0,1]→]0,1[.
2.Construire une sujection continue]0,1[→[0,1].
Exercice 1.15(?).Soitf:R+→Rune fonction continue. On pose : g:x?R+?-→sup t?[0,x]f(t).Montrer quegest continue.
Exercice 1.16(?).Soitf,g:R→Rdeux fonctions continues.1.On suppose que?x?Q, f(x)< g(x).
a.Montrer que?x?R, f(x)6g(x). b.Donner un exemple où?x?R, f(x) =g(x).2.On suppose quef|Qest strictement croissante. Montrer quefest strictement croissante.
Exercice 1.17(?).Soitf:]a,b[→Rune fonction continue t.q.limaf= limbf. Montrer quefn"est pas injective.Exercice 1.18(ENSI "85,?).Soitf:R→Rune fonction continue. Montrer quefest affine si et seulement
si?(x,y)?R2, f?x+y2 =f(x)+f(y)2Exercice 1.19(?).Montrer que l"ensemble des points de discontinuité d"une fonctionfstrictement crois-
sante est au plus dénombrable.Exercice 1.20(?).Soitf,g: [a,b]→[a,b]deux applications continues telles quef◦g=g◦f. On cherche
à prouver l"existence dec?[a,b]t.q.f(c) =g(c). On notefnetgnlesn-ièmes itérées respectives defetg.
1.Montrer quef > gentraîne?n?N?, fn> gn.
2.Montrer quef > gentraîne?K >0,?n?N,?x?[a,b], fn(x)>Kn+gn(x).
3.Conclure.
Exercice 1.21(?).Soitf:R→Rtelle quef(x+ 1)-f(x)----→x→+∞?. Montrer que f(x)x ----→x→+∞?. Exercice 1.22(?).Soitf:R→R. On noteAl"ensemble des pointsxtels quefa un maximum local en x.1.Montrer quef(A)est dénombrable.
2.On supposefcontinue etA=R. Que dire def?
Exercice 1.23(Mines "02,?).Soitf:R→Rcontinue. On suppose qu"il existea?Rt.q.f◦f(a) =a.1.fadmet-elle un point fixe?
2.Généraliser.
2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] exemple fonction discontinue
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