Sur la représentation des fonctions discontinues
dans l'dtude du probl~me suivant: Carac~riser les fonctions discontinues si elle est convergente en tout point de P dgfinit par sa somme une fonc-.
Colle 9 1 Continuité
6 dic. 2018 Montrer que toute fonction continue et injective sur un intervalle ... Une fonction f : R ? R discontinue en tout point telle que
Étude sur la détermination dune fonction discontinue par sa dérivée
8o. TULLIO VIOLA. De plus fÇx) a la dérivée droite nulle en tout point de crb. Démontrons-le en distinguant deux cas :.
Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité dune
On dit aussi que f est continue sur l'intervalle I si elle est continue en tout point de I. 1. Page 2. AP. Approfondissement en Terminale S. Groupe Mathématique
Limites. Continuité en un point
Exercice 6 **IT. Montrer que la fonction caractéristique de Q est discontinue en chacun de ses points. Correction ?. [005387]. Exercice 7 ****. Etudier l'
Sur lintégration des fonctions discontinues
HENRI LEBESGUE. finie n'existera pas en tout point P tel que dans toute hypersphère de centre P
Problèmes aux Limites Discontinus dans la Théorie des Fonctions
Classes de fonctions discontinues définies sur un système d'arcs. Soit limites $*(0 en tout point t d'un arc arbitraire Z
Sur lintégrale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions
grale est d4termin4e et fl~lie pour tout point x a ~_x ~b
2. Continuité des fonctions
Continuité en un point Où les fonctions ci-dessous sont-elles discontinues ? ... est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point.
Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et
Ainsi f est discontinue en a. Exercice 6 : Etudier la continuité de f définies sur R+ par f(x) = sup n?N xn.
[PDF] Fonctions discontinues
Tout énoncé A a une négation A qui est l'énoncé ”opposé” Si un énoncé est vrai sa négation est fausse et vice-versa En particulier la négation de l'énoncé
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction - Lycée dAdultes
7 nov 2014 · La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d
[PDF] 2 Continuité des fonctions - Apprendre-en-lignenet
On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle Aux extrémités de l'intervalle il faut comprendre
[PDF] Continuité et dérivabilité dune fonction définie par morceaux
Exemples de fonctions discontinues On dit aussi que f est continue sur l'intervalle I si elle est continue en tout point de I
[PDF] Mémoire sur les fonctions discontinues - Numdam
à des fonctions discontinues dans tout intervalle et il énonce les con- ditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction continue ou dis-
[PDF] De lutilisation des fonctions discontinues en analyse - Numdam
une fonction tout à fait indéfinie et même de plus discontinue Page 23 Les géomètres qui ont donné des solutions concernant le mouvement vibratoire des cordes
[PDF] Limites et continuité
Nous conviendrons qu'une fonction continue sur [a b] est continue en tout point de ]a b[ et que de plus elle est continue à droite en a et à gauche en b Le
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
`a D Tout point de D est adhérent `a D c'est-`a-dire que D ? D En général et pourtant f n'admet pas de limite en 0 (elle est discontinue en 0)
[PDF] CONTINUITÉ DES FONCTIONS - maths et tiques
- est continue sur si est continue en tout point de Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est continue sur cet
[PDF] DES FONCTIONS MONSTRUEUSES MAIS UTILES
En effet il existe une fonction g qui est continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point rationnel Elle saute sans cesse de la continuité à
Comment montrer qu'une fonction est discontinue ?
La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.Quand une fonction est discontinue ?
Intuitivement, une fonction discontinue est une fonction dont on ne peut tracer le graphique sans « lever le crayon du papier ». Dans le graphique ci-contre, vous retrouverez une fonction affine par parties présentant des « sauts ».Comment montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point ?
Comme pour une fonction d'une variable réelle, cette propriété sert souvent à montrer qu'une fonction n'est pas continue. alors un tend vers (0, 0) mais f(un) ne tend pas vers f(0, 0) quand n tend vers +?. pour tout t = 0, ce qui donne une contradiction et prouve par l'absurde que f n'est pas continue en (0,0).Une fonction �� ( �� ) est continue si elle respecte les trois conditions suivantes :
�� doit être défini en �� ( �� appartient à l'ensemble de définition de �� ) ;l i m ? ? ? �� ( �� ) doit exister ;l i m ? ? ? �� ( �� ) et �� ( �� ) doivent avoir la même valeur.
80 / POUR LA SCIENCE N° 517 / NOVEMBRE 2020
P.80 Logique & calcul
P.88 Idées de physique
P.92 Chroniques de l'évolution
P.96 Science & gastronomie
P.98 À picorer
Jean-Paul Delahaye
a notamment publié :Les Mathématiciens
se plient au jeu, une sélection de ses chroniques parues dans Pour la Science (Belin, 2017).>L'AUTEUR
JEANPAUL DELAHAYE
professeur émériteà l'université de Lille
et chercheur au laboratoire Cristal (Centre de recherche en informatique, signal et automatique de Lille)DES FONCTIONS
MONSTRUEUSES
MAIS UTILES
En imaginant des fonctions bizarres et au comportement inhabituel, les mathématiciens me t ent à l'épreuve leurs intuitions. Ces fonctions se révèlent aussi pertinentes pour modéliser certains phénomènes naturels. L es mathématiciens ont longtemps associé l'idée de continuité d'une fonction (et de son graphe) et l'exis- tence de tangentes aux points de son graphe, et ils pensaient que ces tan- gentes existaient partout hormis en quelques points isolés quand la fonction est continue. André-Marie Ampère tenta en1806 de
le démontrer, mais échoua. En fait, l'hypothèseétait fausse
: il existe des fonctions continues dont le graphe n'a de tangente en aucun pointAu début, ces fonctions "
monstrueuses» ont
gêné les mathématiciens. Ainsi, en 1893, ThomasStieltjes écrivait à Charles Hermite
Je me détourne avec e ff roi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui sont sans dérivée.» Henri Poincaré lui-même n'aimait pas
ces fonctions tératologiques et les considérait comme un jeu stérile et irrespectueux des tradi- tionsLa logiqu e parfois engendre des
monstres. On a vu surgir toute une foule de fonc- tions bizarres qui semblaient s'e ff orcer de res- sembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées. [...] Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique ; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela.Le jugement des mathématiciens a bien
changé ! Ils considèrent aujourd'hui que ces fonctions inattendues sont des garde-fous utiles, car non seulement connaître leur existence nous évite de tenter des démonstrations impossibles, mais elles a ffi nent notre compréhension des concepts de continuité et de dérivabilité.De plus, ces fonctions monstrueuses sont à
l'origine de la géométrie fractale, qui sert à modéliser toutes sortes de phénomènes natu- rels, le mouvement brownien par exemple.Finalement nous savons maintenant que ces
monstres» sont présents dans l'univers phy-
sique et ne sont en rien artificiels. Nous allons en présenter quelques-uns pour le plaisir de l'étonnement.DISCONTINUITÉ MAXIMALE
La notion de continuité s'envisageait d'abord
globalement. Par exemple, les fonctions x → x 2 ou x → sin(x) sont continues partout où elles sont définies, c'est-à-dire sur l'ensemble ℝ des nombres réels. Pourtant, en approfondissant notre compréhension, on a découvert que la continuité était une notion ponctuelle : on peut définir la continuité en un point, et en chaque point de son ensemble de définition une fonc- tion peut être continue ou non.Nous nous limiterons aux fonctions de
dans ℝ et distinguerons parmi les nombres réels les nombres rationnels, de la forme p/q où p et q sont des entiers, comme 0,4"="2/5, et les nombres irrationnels qui ne peuvent se repré- senter sous cette forme, comme2. La façon la
plus simple de définir la continuité est de dire que f est continue au point x si, à chaque fois queLOGIQUE & CALCUL
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POUR LA SCIENCE N° 517 / NOVEMBRE 2020 / 81
L a fonction pop-corn g du mathématicien allemand CarlThomae est définie pour tout
nombre réel x par": (1) g(x)"="0 si x est irrationnel"; (2) si x est rationnel, c'est-à-dire si x!="p/q avec p et#q entiers sans diviseur commun autre que1, alors g(x)"="1/q.
Cette fonction saute sans cesse
de valeurs positives à des valeurs nulles et inversement. Cependant, quand x#est proche d'un nombre irrationnel, les fractions p/q ne peuvent pas avoir un petit dénominateur, et donc 1/q est de plus en plus petit. En e et, près d'un irrationnel #x, arrive un moment où un rationnel ne peut avoir un dénominateur2, car x#se trouve à la
fois éloigné de 0, 1/2, 1, 3/2, etc.De même, arrive un moment où un
rationnel ne peut avoir pour dénominateur 3, etc. Donc quand une suite de rationnels s'approche d'un irrationnel, les dénominateurs augmentent.La conséquence est que g est
continue en"x si x est irrationnel.La fonction#g passe donc sans cesse
de points où elle est continue (les irrationnels) à des points où elle est discontinue (les rationnels) et inversement.On rencontre cette fonction en
physique et en géométrie. Le verger d'Euclide» est un plan
infini couvert d'arbres (des segments de longueur1) placés
verticalement aux points de coordonnées (p,"q) du plan z!="0.Projetons chaque segment-arbre
SS' sur le plan vertical d'équation x !+!y!=!1 par une homothétie de centre (0,0) et de rapport p!+!q.
La longueur de la projection
TT' de l'arbreSS' est 1/(p!+!q).
Tout couple d'entiers positifs
(p,"q) peut s'écrire sous la forme (n, m!-!n), n et m positifs, en prenant n"="p et m"="p!+!q. Donc, en considérant tous les arbres du verger d'Euclide en position (n, m!-!n), on a bien tous les arbres et la projection de tous ces arbres sur le plan x!+!y!=!1 donne tous les points du graphe de la fonction g(x), la hauteur 1/m de l'arbre étant la valeur de la fonction#g pour lesquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26[PDF] exemple fonction discontinue
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