Sur la représentation des fonctions discontinues
dans l'dtude du probl~me suivant: Carac~riser les fonctions discontinues si elle est convergente en tout point de P dgfinit par sa somme une fonc-.
Colle 9 1 Continuité
6 dic. 2018 Montrer que toute fonction continue et injective sur un intervalle ... Une fonction f : R ? R discontinue en tout point telle que
Étude sur la détermination dune fonction discontinue par sa dérivée
8o. TULLIO VIOLA. De plus fÇx) a la dérivée droite nulle en tout point de crb. Démontrons-le en distinguant deux cas :.
Exemples de fonctions discontinues Continuité et dérivabilité dune
On dit aussi que f est continue sur l'intervalle I si elle est continue en tout point de I. 1. Page 2. AP. Approfondissement en Terminale S. Groupe Mathématique
Limites. Continuité en un point
Exercice 6 **IT. Montrer que la fonction caractéristique de Q est discontinue en chacun de ses points. Correction ?. [005387]. Exercice 7 ****. Etudier l'
Sur lintégration des fonctions discontinues
HENRI LEBESGUE. finie n'existera pas en tout point P tel que dans toute hypersphère de centre P
Problèmes aux Limites Discontinus dans la Théorie des Fonctions
Classes de fonctions discontinues définies sur un système d'arcs. Soit limites $*(0 en tout point t d'un arc arbitraire Z
Sur lintégrale de Lebesgue-Stieltjes et les fonctions
grale est d4termin4e et fl~lie pour tout point x a ~_x ~b
2. Continuité des fonctions
Continuité en un point Où les fonctions ci-dessous sont-elles discontinues ? ... est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point.
Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et
Ainsi f est discontinue en a. Exercice 6 : Etudier la continuité de f définies sur R+ par f(x) = sup n?N xn.
[PDF] Fonctions discontinues
Tout énoncé A a une négation A qui est l'énoncé ”opposé” Si un énoncé est vrai sa négation est fausse et vice-versa En particulier la négation de l'énoncé
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7 nov 2014 · La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si f est continue en tout point de I Remarque : Graphiquement la continuité d
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On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle Aux extrémités de l'intervalle il faut comprendre
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Exemples de fonctions discontinues On dit aussi que f est continue sur l'intervalle I si elle est continue en tout point de I
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à des fonctions discontinues dans tout intervalle et il énonce les con- ditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction continue ou dis-
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une fonction tout à fait indéfinie et même de plus discontinue Page 23 Les géomètres qui ont donné des solutions concernant le mouvement vibratoire des cordes
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Nous conviendrons qu'une fonction continue sur [a b] est continue en tout point de ]a b[ et que de plus elle est continue à droite en a et à gauche en b Le
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
`a D Tout point de D est adhérent `a D c'est-`a-dire que D ? D En général et pourtant f n'admet pas de limite en 0 (elle est discontinue en 0)
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- est continue sur si est continue en tout point de Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle alors elle est continue sur cet
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En effet il existe une fonction g qui est continue en tout point irrationnel et discontinue en tout point rationnel Elle saute sans cesse de la continuité à
Comment montrer qu'une fonction est discontinue ?
La fonction g est discontinue en x0. Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point.Quand une fonction est discontinue ?
Intuitivement, une fonction discontinue est une fonction dont on ne peut tracer le graphique sans « lever le crayon du papier ». Dans le graphique ci-contre, vous retrouverez une fonction affine par parties présentant des « sauts ».Comment montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point ?
Comme pour une fonction d'une variable réelle, cette propriété sert souvent à montrer qu'une fonction n'est pas continue. alors un tend vers (0, 0) mais f(un) ne tend pas vers f(0, 0) quand n tend vers +?. pour tout t = 0, ce qui donne une contradiction et prouve par l'absurde que f n'est pas continue en (0,0).Une fonction �� ( �� ) est continue si elle respecte les trois conditions suivantes :
�� doit être défini en �� ( �� appartient à l'ensemble de définition de �� ) ;l i m ? ? ? �� ( �� ) doit exister ;l i m ? ? ? �� ( �� ) et �� ( �� ) doivent avoir la même valeur.
Limites. Continuité en un point
* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le coursExercice 1***ISoitfune fonction réelle d"une variable réelle définie et continue sur un voisinage de+¥. On suppose que
la fonctionf(x+1)f(x)admet dansRune limite`quandxtend vers+¥. Etudier l"existence et la valeur eventuelle de lim x!+¥f(x)x =0. Montrer que lim x!0f(x)x =0. (Indication. Considérerg(x) =f(2x)f(x)x tout point deR. ]0;+¥[parf(x)=0 sixest irrationnel etf(x)=1p+qsixest rationnel égal àpq , la fractionpqétant irréductible.
parf(x) =xE(1x )six6=0 et 1 six=0. Exercice 9**Trouverfbijective de[0;1]sur lui-même et discontinue en chacun de ses points. +¥. Montrer quefest constante. Correction del"exer cice1 NIl existea>0 tel quefest définie et continue sur[a;+¥[.1er cas. Supposons que`est réel. Soite>0.
9A1>a=8X2[a;+¥[;(X>A1)`e2
On aX=xE(xA1)>x(xA1) =A1et doncn(`e2
)1A1+1x
=xA11x 6nx =E(xA1)x 6xA1x =1A1x et comme 1A1+1x et 1A1x tendent vers 1 quandxtend vers+¥, on en déduit quenx tend vers 1 quandxtend vers+¥. Puis, puisquefest continue sur le segment[A1;A1+1],fest bornée sur ce segment. Orn6xA1SoitA=Max(A1;A2;A3)etx>A. On a`e < `+e. On a montré que8e>0;(9A>a=8x> A; `e < `+eet donc limx!+¥=`. 2ème cas. Supposons`= +¥(si`=¥, remplacerfparf).
SoitB>0.9A1>a=8X>A1;f(X+1)f(X)>2B.
PourX>A1etn2N, on a :f(X+n)f(X) =ån1k=0(f(X+k+1)f(X+k))>2nB. Soientx>1+A1,n=E(xA1)etX=xn. On af(x)f(xn)>2nBet donc, f(x)x >f(xn)x +2nBx qui tend vers 2Bquandxtend vers+¥(démarche identique au 1er cas). Donc9A>A1>atel quex>A)f(xn)x
+2nBx >B. Finalement : (8B>0;9A>a=(8x>A;f(x)x
>Bet donc, limx!+¥f(x)x = +¥.Correction del"exer cice2 NPourx6=0, posonsg(x) =f(2x)f(x)x .fest définie sur un voisinage de 0 et donc il existea>0 tel que ]a;a[Df. Mais alors,]a2 ;a2 [nf0g Dg. Soitx2]a2
;a2 [nf0getn2N. f(x) =n1å k=0(f(x2 k)f(x2 k+1))+f(x2 n) =n1å k=0x2 k+1g(x2 k+1)+f(x2 n): Par suite, pourx2]a2
;a2 [nf0getn2N, on a : 3 f(x)x 6n1å
k=012 k+1g(x2 k+1)+f(x=2n)x Soite>0. Puisque par hypothèse,gtend vers 0 quandxtend vers 0, 9a2]0;a2
[=8X2]a;a[;jg(X)jOr, pourx2]a;a[nf0get pourkdansN,x2
kest dans]a;a[nf0get par suite, n1å k=012 k+1g(x2 k+1)6e2 n1å k=012 k+1=e2 12 112
n112 =e2 (112 n)8x2]a;a[nf0g;8n2N;f(x)x
6e2
+f(x=2n)x Mais, àxfixé,f(x=2n)x
tend vers 0 quandntend vers+¥. Donc, on peut choisirntel quef(x=2n)x 8e>0;9a>0=(8x2Df;0 généraux.Correction del"exer cice4 NSoit(x;y)2R2etz2A.jxzj6jxyj+jyzj. Or,forallz2A;jxzj>d(x;A)et doncd(x;A)jxyj est un minorant defjyzj;z2Ag. Par suite,d(x;A)jxyj6d(y;A). On a montré que 8(x;y)2R2;d(x;A)d(y;A)6jyxj:
En échangeant les roles dexety, on a aussi montré que8(x;y)2R2;d(y;A)d(x;A)6jyxj. Finalement,8(x;y)2R2;kf(y)f(x)j6jyxj. Ainsi,fest donc 1-Lipschitzienne et en particulier continue surR.Correction del"exer cice5 NSoitx02Rnf5g. Pourx6=5, jf(x)f(x0)j=3x1x53x01x 05 =14jxx0jjx5j:jx05j: Puis, pourx2]x0jx05j2
;x0+jx05j2 [, on ajx5j>jx05j2 [(>0), et donc, 8x2]x0jx05j2
;x0+jx05j2 [;jf(x)f(x0)j=28(x05)2jxx0j: Soiente>0 puisa=Minfjx05j2
;(x05)2e28 g(>0). jxx0j0;9a>0=(8x2Rnf5g;jxx0jRnf5g.Correction del"exer cice6 NSoitcla fonction caractéristique deQ. Soitx0un réel. On note que x 02Q, 8n2N;x0+1n
2QQ, 8n2N;x0+pn
=2Q: Donc, lim
n!+¥c(x0+1n )existe, limn!+¥c(x0+pn )existe etlimn!+¥c(x0+1n )6=limn!+¥c(x0+pn )(bien que lim n!+¥x0+1n =limn!+¥x0+pn =x0. Ainsi, pour tout réelx02R, la fonction caractéristique deQn"a pas de limite enx0et est donc discontinue enx0.Correction del"exer cice7 NSoitaun réel strcitement positif. On peut déjà noter que limx!a;x2RnQf(x) =0. Donc, sifa une limite quand
xtend versa, ce ne peut être que 0 etfest donc discontinue en tout rationnel strictement positif. adésigne toujours un réel strictement positif fixé. Soite>0. Soit x un réel strictement positif tel quef(x)>e. xest nécessairement rationnel, de la formepq oùpetqsont des entiers naturels non nuls premiers entre eux vérifiant 1p+q>eet donc
26p+q61e
Mais il n"y a qu"un nombre fini de couples d"entiers naturels non nuls(p;q)vérifiant ces inégalités et donc, il
n"y a qu"un nombre fini de réels strictement positifsxtels quef(x)>e. Par suite,9a>0 tel que aucun des réelsxde]x0a;x0+a[ne vérifief(x)>e. Donc, 8a>0;8e>0;9a>0=8x>0;(0 ou encore 8a>0;limx!a;x6=af(x) =0:
Ainsi,fest continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.Correction del"exer cice8 NDonnons tout d"abord une expression plus explicite def(x)pour chaque réelx.
Six>1, alors1x
2]0;1[et donc,f(x) =0.
Si9p2N=x2]1p+1;1p
];f(x) =px. f(0) =1 (et plus généralement,8p2Z;f(1p ) =1). Six61, alors1x
2[1;0[et donc,f(x) =x.
Enfin, si9p2Znf1gtel quex2]1p+1;1p
], alors1p+1Etude en 0.8x2R;1x
A; `e < `+eet donc limx!+¥=`. 2ème cas. Supposons`= +¥(si`=¥, remplacerfparf).
SoitB>0.9A1>a=8X>A1;f(X+1)f(X)>2B.
PourX>A1etn2N, on a :f(X+n)f(X) =ån1k=0(f(X+k+1)f(X+k))>2nB. Soientx>1+A1,n=E(xA1)etX=xn. On af(x)f(xn)>2nBet donc, f(x)x >f(xn)x +2nBx qui tend vers 2Bquandxtend vers+¥(démarche identique au 1er cas). Donc9A>A1>atel quex>A)f(xn)x
+2nBx >B. Finalement : (8B>0;9A>a=(8x>A;f(x)x
>Bet donc, limx!+¥f(x)x = +¥.Correction del"exer cice2 NPourx6=0, posonsg(x) =f(2x)f(x)x .fest définie sur un voisinage de 0 et donc il existea>0 tel que ]a;a[Df. Mais alors,]a2 ;a2 [nf0g Dg. Soitx2]a2
;a2 [nf0getn2N. f(x) =n1å k=0(f(x2 k)f(x2 k+1))+f(x2 n) =n1å k=0x2 k+1g(x2 k+1)+f(x2 n): Par suite, pourx2]a2
;a2 [nf0getn2N, on a : 3 f(x)x 6n1å
k=012 k+1g(x2 k+1)+f(x=2n)x Soite>0. Puisque par hypothèse,gtend vers 0 quandxtend vers 0, 9a2]0;a2
[=8X2]a;a[;jg(X)jOr, pourx2]a;a[nf0get pourkdansN,x2
kest dans]a;a[nf0get par suite, n1å k=012 k+1g(x2 k+1)6e2 n1å k=012 k+1=e2 12 1122ème cas. Supposons`= +¥(si`=¥, remplacerfparf).
SoitB>0.9A1>a=8X>A1;f(X+1)f(X)>2B.
PourX>A1etn2N, on a :f(X+n)f(X) =ån1k=0(f(X+k+1)f(X+k))>2nB. Soientx>1+A1,n=E(xA1)etX=xn. On af(x)f(xn)>2nBet donc, f(x)x >f(xn)x +2nBx qui tend vers 2Bquandxtend vers+¥(démarche identique au 1er cas).Donc9A>A1>atel quex>A)f(xn)x
+2nBx >B.Finalement : (8B>0;9A>a=(8x>A;f(x)x
>Bet donc, limx!+¥f(x)x = +¥.Correction del"exer cice2 NPourx6=0, posonsg(x) =f(2x)f(x)x .fest définie sur un voisinage de 0 et donc il existea>0 tel que ]a;a[Df. Mais alors,]a2 ;a2 [nf0g Dg.Soitx2]a2
;a2 [nf0getn2N. f(x) =n1å k=0(f(x2 k)f(x2 k+1))+f(x2 n) =n1å k=0x2 k+1g(x2 k+1)+f(x2 n):Par suite, pourx2]a2
;a2 [nf0getn2N, on a : 3 f(x)x6n1å
k=012 k+1g(x2 k+1)+f(x=2n)x Soite>0. Puisque par hypothèse,gtend vers 0 quandxtend vers 0,9a2]0;a2
[=8X2]a;a[;jg(X)jn112 =e2 (112 n)
8x2]a;a[nf0g;8n2N;f(x)x
6e2+f(x=2n)x
Mais, àxfixé,f(x=2n)x
tend vers 0 quandntend vers+¥. Donc, on peut choisirntel quef(x=2n)x8(x;y)2R2;d(x;A)d(y;A)6jyxj:
En échangeant les roles dexety, on a aussi montré que8(x;y)2R2;d(y;A)d(x;A)6jyxj. Finalement,8(x;y)2R2;kf(y)f(x)j6jyxj. Ainsi,fest donc 1-Lipschitzienne et en particulier continue surR.Correction del"exer cice5 NSoitx02Rnf5g. Pourx6=5, jf(x)f(x0)j=3x1x53x01x 05 =14jxx0jjx5j:jx05j:Puis, pourx2]x0jx05j2
;x0+jx05j2 [, on ajx5j>jx05j2 [(>0), et donc,8x2]x0jx05j2
;x0+jx05j2 [;jf(x)f(x0)j=28(x05)2jxx0j:Soiente>0 puisa=Minfjx05j2
;(x05)2e28 g(>0). jxx0j02Q, 8n2N;x0+1n
2QQ, 8n2N;x0+pn
=2Q:Donc, lim
n!+¥c(x0+1n )existe, limn!+¥c(x0+pn )existe etlimn!+¥c(x0+1n )6=limn!+¥c(x0+pn )(bien que lim n!+¥x0+1n =limn!+¥x0+pn =x0. Ainsi, pour tout réelx02R, la fonction caractéristique deQn"apas de limite enx0et est donc discontinue enx0.Correction del"exer cice7 NSoitaun réel strcitement positif. On peut déjà noter que limx!a;x2RnQf(x) =0. Donc, sifa une limite quand
xtend versa, ce ne peut être que 0 etfest donc discontinue en tout rationnel strictement positif. adésigne toujours un réel strictement positif fixé. Soite>0. Soit x un réel strictement positif tel quef(x)>e. xest nécessairement rationnel, de la formepq oùpetqsont des entiers naturels non nuls premiers entre eux vérifiant1p+q>eet donc
26p+q61e
Mais il n"y a qu"un nombre fini de couples d"entiers naturels non nuls(p;q)vérifiant ces inégalités et donc, il
n"y a qu"un nombre fini de réels strictement positifsxtels quef(x)>e. Par suite,9a>0 tel que aucun des réelsxde]x0a;x0+a[ne vérifief(x)>e. Donc,8a>0;8e>0;9a>0=8x>0;(0 ou encore 8a>0;limx!a;x6=af(x) =0:
Ainsi,fest continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.Correction del"exer cice8 NDonnons tout d"abord une expression plus explicite def(x)pour chaque réelx.
Six>1, alors1x
2]0;1[et donc,f(x) =0.
Si9p2N=x2]1p+1;1p
];f(x) =px. f(0) =1 (et plus généralement,8p2Z;f(1p ) =1). Six61, alors1x
2[1;0[et donc,f(x) =x.
Enfin, si9p2Znf1gtel quex2]1p+1;1p
], alors1p+1Etude en 0.8x2R;1x
8a>0;limx!a;x6=af(x) =0:
Ainsi,fest continue en tout irrationnel et discontinue en tout rationnel.Correction del"exer cice8 NDonnons tout d"abord une expression plus explicite def(x)pour chaque réelx.
Six>1, alors1x
2]0;1[et donc,f(x) =0.
Si9p2N=x2]1p+1;1p
];f(x) =px. f(0) =1 (et plus généralement,8p2Z;f(1p ) =1).Six61, alors1x
2[1;0[et donc,f(x) =x.
Enfin, si9p2Znf1gtel quex2]1p+1;1p
], alors1p+11 )61x et donc 1x0 et 16f(x)<1xsix<0. Par suite, 8x2R;jf(x)16jxj;
et lim x!0f(x) =1.fest donc continue en 0. fest affine sur chaque intervalle de la forme]1p+1;1p ]pourpélément deZnf1;0get donc est continue sur ces intervalles et en particulier continue à gauche en chaque 1p .fest affine sur]¥;1]et aussi sur]1;+¥[ et est donc continue sur ces intervalles. Il reste donc à analyser la continuité à droite en
1p , pourpentier relatif non nul donné. Mais, 5 f(1p ) =lim x!1p ;x>1p (x(p1)) =11p 6=1=f(1p
fest donc discontinue à droite en tout1p oùpest un entier relatif non nul donné. Graphe def:1-1-2
1 ?Correction del"exer cice9 NSoitf(x) =8 :xsix2(Q\[0;1])nf0;12 g 1xsix2(RnQ)\[0;1]
0 six=12
et12 six=0.fest bien une application définie sur[0;1]à valeurs dans[0;1]. De plus, six2(Q\[0;1])nf0;12
g, alorsf(f(x)) =f(x) =x. Six2(RnQ)\[0;1], alors 1x2(RnQ)\[0;1]et doncf(f(x)) =f(1x) =1(1x) =x. Enfin,f(f(0)) =f(12
) =0 etf(f(12 )) =f(0) =12 Finalement,ff=Id[0;1]etf, étant une involution de[0;1], est une permutation de[0;1]. Soitaun réel de[0;1]. On note que limx!a;x2(RnQ)f(x)=1aet limx!a;x2Qf(x)=a. Donc, sifa une limite ena, nécessairement 1a=aet donca=12 . Mais, sia=12 , limx!a;x2Q;x6=af(x) =a=12 6=0=f(12
)et donc fest discontinue en tout point de[0;1].Correction del"exer cice10 NSoitTune période strictement positive def. On note`la limite defen+¥.
Soitxun réel.8n2N;f(x) =f(x+nT)et quandntend vers+¥, on obtient : f(x) =limn!+¥f(x+nT) =`: Ainsi,8x2R;f(x) =`et donc,fest constante surR.6
quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25
8x2R;jf(x)16jxj;
et lim x!0f(x) =1.fest donc continue en 0. fest affine sur chaque intervalle de la forme]1p+1;1p ]pourpélément deZnf1;0get donc est continue sur ces intervalles et en particulier continue à gauche en chaque 1p .fest affine sur]¥;1]et aussi sur]1;+¥[et est donc continue sur ces intervalles. Il reste donc à analyser la continuité à droite en
1p , pourpentier relatif non nul donné. Mais, 5 f(1p ) =lim x!1p ;x>1p (x(p1)) =11p6=1=f(1p
fest donc discontinue à droite en tout1p oùpest un entier relatif non nul donné.Graphe def:1-1-2
1 ?Correction del"exer cice9 NSoitf(x) =8 :xsix2(Q\[0;1])nf0;12 g1xsix2(RnQ)\[0;1]
0 six=12
et12 six=0.fest bien une application définie sur[0;1]à valeurs dans[0;1].De plus, six2(Q\[0;1])nf0;12
g, alorsf(f(x)) =f(x) =x. Six2(RnQ)\[0;1], alors 1x2(RnQ)\[0;1]et doncf(f(x)) =f(1x) =1(1x) =x.Enfin,f(f(0)) =f(12
) =0 etf(f(12 )) =f(0) =12 Finalement,ff=Id[0;1]etf, étant une involution de[0;1], est une permutation de[0;1]. Soitaun réel de[0;1]. On note que limx!a;x2(RnQ)f(x)=1aet limx!a;x2Qf(x)=a. Donc, sifa une limite ena, nécessairement 1a=aet donca=12 . Mais, sia=12 , limx!a;x2Q;x6=af(x) =a=126=0=f(12
)et doncfest discontinue en tout point de[0;1].Correction del"exer cice10 NSoitTune période strictement positive def. On note`la limite defen+¥.
Soitxun réel.8n2N;f(x) =f(x+nT)et quandntend vers+¥, on obtient : f(x) =limn!+¥f(x+nT) =`:Ainsi,8x2R;f(x) =`et donc,fest constante surR.6
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