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Statistiques et estimations
Table des matières
1 Intervalle de fluctuation2
1.1 Simulation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Intervalle de fluctuation asymptotique. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Prise de décision. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Estimation6
2.1 Présentation du problème. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
PAUL MILAN1TERMINALE S
TABLE DES MATIÈRES
1 Intervalle de fluctuation
1.1 Simulation
On lance 120 fois un dé à jouer bien
équilibré. On appelleNla variable aléa-
toire qui associe le nombre de fois que le dé affiche la face 6. On voudrait sa- voir la probabilité que la variable aléa- toireNsoit comprise dans l"intervalle [12;28].On écrit le programme ci contre. Ce
programme effectue 100 fois ces 120 lancers. On affiche à chaque expérienceIle point(I,N)ainsi que les droites
d"équationsy=12 ety=28. A la fin de ces 100 expériences, on affiche le nombre de pointsMqui se situe dans l"intervalle [12;28].On trouve alors :M=96. On peut
alors dire qu"à 96 %, le nombre d"appa- ritions de la face 6 se situe dans l"inter- valle [12;28]. On nomme alors cet l"in- tervalle,intervalle de fluctuation deN au seuil de 96 %.Variables:A,B,I,J,M,N,Xentiers
Entrées et initialisation
Effacer dessin
0→M
12→A
28→B
Tracery=A
Tracery=B
Traitement
pourIde 1 à 100faire0→N
pourJde 1 à 120faire randInt(1,6)→X siX=6alorsN+1→N
fin finAfficher le point(I;N)
siN?AetN?BalorsM+1→M
fin finSorties: AfficherM
Sur une calculatrice TI 83 CE, on obtient le graphe suivant :1.2 Définition
Définition 1 :Xest une variable aléatoire qui suit une loi binomialeB(n,p). αest un réel tel que 0<α<1 etaetbsont deux réels. On dit que[a;b]est unintervalle de fluctuation de Xau seuil de 1-α, si, et seulement si :P(a?X?b)?1-αPAUL MILAN2TERMINALE S
1. INTERVALLE DE FLUCTUATION
1.3 Intervalle de fluctuation asymptotique
Théorème 1 :Si la variable aléatoire Xnsuit une loi binomialeB(n,p)alors pour tout réelαde ]0;1[, on a : lim n→+∞P?Xn n?In? =1-αoùIn=? p-uα? p(1-p)⎷n;p+uα? p(1-p)⎷n? u αétant le nombre tel queP(-uα?Zn?uα) =1-αlorsque Znsuit une loi normale centrée réduite. On appellevariable fréquence, la variable aléatoire Fn=Xn nqui à tout échan- tillon de taillenassocie la fréquencefobtenue. Remarque :Lemot asymptotiquevientdupassage àlalimitedel"intervalleIn,la loi binomialeB(n,p)peut alors être assimilé à la loi normaleN(np,np(1-p)). ROCDémonstration :On pose Zn=Xn-np?np(1-p). On pourra utiliser cet intervalle de fluctuation dans les conditions de l"approximation normale de laloi binomiale (n?30,np?5 etn(p-1)?5)D"aprèslethéorèmeMoivre-Laplace: lim
n→+∞P(-uα?Zn?uα) =? uα -uα1 ⎷2πe-t2 2dt c"est à dire que Z nsuit une loi normale centrée réduite. On sait d"après les propriétés de la loi normale centrée réduite que pour toutαde ]0;1[, il existe un unique réel strictement positifuαtel que :P(-uα?Zn?uα) =1-α
De plus :
-uα?Zn?uα -uα? np(1-p)?Xn-np?uα?np(1-p) np-uα? np(1-p)?Xn?np+uα?np(1-p) p-uα? p(1-p)⎷n?Xnn?p+uα? p(1-p)⎷nDonc lim
n→+∞P?Xn n?In? =1-α Propriété :Il faut connaître l"intervalle Indefluctuation au seuil de 95%cor- respondant àα=0,05 et qui donne (voir chapitre précédent p 12)uα=1,96 I n=? p-1,96? p(1-p)⎷n;p+1,96? p(1-p)⎷n?PAUL MILAN3TERMINALE S
TABLE DES MATIÈRES
Exemple :Si on reprend l"exemple sur les 120 lancers de dé à jouer avecN comme variable aléatoire. L"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de95 % (dans les conditions de l"approximation normale) est alors :
p-1,96? p(1-p)⎷n=16-1,96?16×56⎷120?0,100
p+1,96? p(1-p)⎷n=16+1,96?16×56⎷120?0,233
Donc I
n= [0,100;0,233]qui correspond à la variable aléatoire fréquenceN 120.Si on revient à la variableN, l"intervalle de fluctuation est alors : [120×0,100 ; 120×0,233] = [12 ; 28], ce qui confirme notre expérience (on avait trouvé 96 %). Remarque :Cet intervalle peut être simplifié par l"intervalle J n=? p-1 ⎷n;p+1⎷n? En effet la fonctionx?→x(1-x) =x-x2est une fonction du second degré qui s"annule en 0 et 1, elle admet donc un maximum (coefficient négatifdevantx2) en
0,5. On a alorsf(0,5) =0,25. Elle est positive entre 0 et 1. On a alors :
0?p(1-p)?0,25?0??
p(1-p)?⎷0,25=0,5On en déduit alors que : 0?1,96?
p(1-p)?1On a alors 0?1,96?
p(1-p)⎷n?1⎷nOn a ainsi I
n?Jn. On a alors dans la plupart des casP(Fn?Jn)?0,951.4 Prise de décision
Propriété 1 :Soitfobsla fréquence observée d"un caractère sur un échan- tillon de taillenissu d"une population donnée. On suppose que les conditions de l"approximation normale de la loi binomiale sont remplies :n?30,np?5 et n(1-p)?5. Test d"hypothèse :On fait une conjecture sur la valeur de la proportionpdu caractère étudié dans la population toute entière. SoitInl"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Sifobs?In; on ne peut rejeter l"hypothèse faite surp. Sifobs/?In; on rejete l"hypothèse faite surp. Exemple :Pour créer ses propres colliers, on peut acheter un kit contenant des perles de cinq couleurs différentes (marrons, jaunes, rouges, vertes et bleues), dans des proportions affichées sur le paquet.PAUL MILAN4TERMINALE S
1. INTERVALLE DE FLUCTUATION
Ainsi les perles marron et les perles jaunes sont annoncées comme représentant chacunes 20 % de l"ensemble des perles tandis que les perles rouges sont annon- cées à 10 %. On veut vérifier cette information. Pour cela, on choisit d"observer un échantillon aléatoire de perles et de construire un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % pour la proportion de perles marron. On constitue donc un échantillon, que l"on considère aléatoire, de 690 perles. On a dénombré 140 perles marron. Laprise de décisionest la suivante : si la proportion de perles marron dans l"échantillon n"appartient pas à intervalle de fluctuation, on rejette l"hypothèse selon laquelle les perles marron représentent 20 % des perles a) Déterminer l"intervalle de fluctuation asymptotique I au seuil de 95 %pour la proportion de perles marron. b) Calculer la proportion de perles marron dans l"échantillon.Que peut-on en conclure? c) Dans le même échantillon, il y avait 152 perles jaunes et 125 perles rouges. Que peut-on conclure de ces résultats? a) En ce qui concerne les perles marron, on a :n=690 etp=0,2, donc : n?30np=138?5 etn(1-p) =552?5 Nous sommes bien dans les hypothèses du théorème de Moivre-Laplace.On calcule ensuite
p-1,96? p(1-p)⎷n=0,2-1,96⎷0,2×0,8⎷690?0,1702
p+1,96? p(1-p)⎷n=0,2+1,96⎷0,2×0,8⎷690?0,2298
On a donc : I= [0,17;0,23]
b) On calcule la fréquencefm=140690?0,203
Commefm?I,on ne peut pas rejeterl"hypothèse selon laquelle les perles marron représentent 20 % des perles. c) On calcule la fréquence des perles jaunes :fj=152690?0,220
Commefj?I,on ne peut pas rejeterl"hypothèse selon laquelle les perles jaunes représentent 20 % des perles. Pour les perles rouges, il faut calculer un nouvel intervalle de fluctuation : p-1,96? p(1-p)⎷n=0,1-1,96⎷0,1×0,9⎷690?0,0776
p+1,96? p(1-p)⎷n=0,1+1,96⎷0,1×0,9⎷690?0,1224
PAUL MILAN5TERMINALE S
TABLE DES MATIÈRES
On a donc : I"= [0,07;0,13](on prend l"intervalle par excès) On calcule la fréquence des perles rouges :fr=125690?0,18
Commefr/?I",on doit rejeterl"hypothèse selon laquelle les perles rouges représentent 10 % des perles.2 Estimation
2.1 Présentation du problème
Pour des raisons de coût et de faisabilité, on ne peut étudier un certain carac- tère sur l"ensemble d"une population. La proportionpde ce caractère est donc inconnue. On cherche alors à estimerpà partir d"un échantillon de taillen. On calcule alors la fréquencefobsdes individus de cet échantillon ayant ce caractère. Estimation :On estime la proportionppar un intervalle de confiance déterminé à partir de la fréquencefobset de la taillende l"échantillon. Remarque :La fréquencefobscalculée varie d"un échantillon à l"autre du fait de la fluctuation d"échantillonnage. Il est donc nécessaire d"apprécier l"incertitude en donnant une estimation par un intervalle.2.2 Intervalle de confiance
On suppose les trois conditions d"approximations remplies : n?30,np?5 etn(1-p)?5 Théorème 2 :Soit Fnla variable aléatoire qui à chacun des échantillons de taillenassocie la fréquence du caractère dans cet échantillon.La proportion inconnuepest telle que :
P F n-1 ⎷n?p?Fn+1⎷n? ?0,95 ROCDémonstration :On a vu que l"intervalle de fluctuation au seuil de 95% peutêtre simplifié par :?
p-1 ⎷n;p+1⎷n?On a donc :
p-1 ⎷n?Fn?p+1⎷n 1 ⎷n?Fn-p?1⎷n -Fn-1 ⎷n?-p?-Fn+1⎷n F n-1 ⎷n?p?Fn+1⎷nPAUL MILAN6TERMINALE S
2. ESTIMATION
Ainsi :P?
F n-1⎷n?p?Fn+1⎷n? ?0,95 Définition 2 :On observe la fréquencefobssur un échantillon de taillenetquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] lycée aristide briand gap internat
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