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Les symboles somme et produit
Table des matières
1 Le symbole sommeΣ2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Linéarité et changement d"indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Sommes télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Sommes à connaître. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5 Sommes doubles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Le symbole produitΠ9
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Relation produit - somme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Produits télescopiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1 Le symbole sommeΣ
1.1 Définition
Définition 1 :Soit(ai)une suite de nombres réels ou complexes. Soit deux entiers naturelsnetptels quep?n, on définit la somme suivante par : n∑ k=pa k=ap+ap+1+···+an Soit I un sous-ensemble fini deN, la somme de tous les termesai,idécrivant I sera notée∑ i?Ia iRemarque :
La variablekest une variable muette, c"est à dire qu"une fois la somme calculée, le résultat ne dépend plus dek. On peut donc lui donner le nom qu"on veut :i, j,k, etc. à exception des bornes de la somme, icipetn:n∑ k=pa k=n∑ i=pa i=n∑ j=pa jOn retrouve cette variable muette, lorsque l"on veut calculer une somme àl"aide d"un algorithme. (boucle Pour)
Lorsque les termes de la somme ne dépendent pas de la variable, on somme des termes constants donc : n∑ k=03=3+3···+3? n+1 termes=3(n+1)Si I={2;4;6}alors∑
i?Ia i=a2+a4+a6.Exemples :
1+2+···+n=n∑
k=1k.1+2+22+···+2n=n∑
k=02k. 1 n+1+1n+2+···+12n=n∑ k=11n+k.1+3+5+···+(2n-1) =n∑
k=1(2k-1). ?Ne pas confondre : n∑ k=1(k+1) =n∑ k=1k+navecn∑ k=1k+1 les parenthèses font toute la différence. n∑ k=022k(n+1 termes) et2n∑ k=02k(2n+1 termes) Propriété 1 :Relation de Chasles et linéarité :Relation de Chasles :
n∑ k=pa k= m∑ k=pa k+n∑ k= m+1 akL"opérateur somme est linéaire :
n∑ k=p(αak+βbk) =αn∑ k=pa k+βn∑ k=pb k.PAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
Exemple :n∑
k=0a k=2∑
k=0a k+n∑ k= 3 aketn∑ k=0(3k+4k) =n∑ k=03k+4n∑ k=0k1.2 Linéarité et changement d"indice
Propriété 2 :Changement d"indice.
L"expression à l"aide du symbole
∑n"est pas unique. On peut écrire une somme avec des indices différents. Les changements d"indicesk→k+p(translation)k→p-k(symétrie) sont les plus fréquents :n∑ k=1a k=n+p k=p+1a k-p=p-1 k=p-na p-kExemples :Calculer la somme :Sn=n∑
k=1?1k-1k+1?
On utilise la linéarité :Sn=n∑
k=11k-n∑ k=11k+1 On effectue un changement d"indice sur la deuxième somme :k→k+1 : S n=n∑ k=11 k-n+1∑ k=21k. k=21k-n∑ k=21k-k=n+1? ???1 n+1=1-1n+1Pourn?2, on considère la sommeSn=n+1∑
k=2k22k-1. Faire une translation d"indice pour que la nouvelle variable varieentre 0 et(n-1) et une symétrie d"indice pour que la nouvelle variable varie entre 2et(n+1). Pour la translation, il suffit de faire :k→k-2, on a alors : S n=n-1∑ k=0(k+2)22(k+2)-1=n-1∑ k=0(k+2)22k+3 Pour la symétrie, il faut déterminer le milieu :2+ (n+1)2=n+32. On effectue alors la symétriek→n+3-k, on a alors : S n=n+1∑ k=2(n+3-k)22(n+3-k)-1=n+1∑ k=2(n+3-k)22n+5-2kPAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1.3 Sommes télescopiques
Théorème 1 :Sommes télescopiques
Soit une suite(an)une suite de nombres réels ou complexes, on a : ?n,p?N,p?n,n∑ k=p(ak+1-ak) =an+1-apRemarque :n∑
k=0(ak+1-ak) =an+1-a0etn∑ k=0(bk-bk+1) =b0-bn+1Démonstration :On pose :Sn=n∑
k=p(ak+1-ak)On utilise la linéarité :Sn=n∑
k=pa k+1-n∑ k=pa k On effectue un changement d"indice sur la première somme :k→k+1 S n=n+1∑ k=p+1a k-n∑ k=pa k On sépare les termes différents :Sn=an+1+n∑ k=p+1a k-n∑ k=p+1a k-ap=an+1-ap Exemples :Lessommestélescopiquessontuneméthodetrèsefficacepourcalcu- ler la somme des termes d"une suite(un). Il s"agit de trouver une suite(vn)pour queun=vn+1-vn. Ce n"est bien sûr pas toujours possible malheureusement.Calculer les sommes suivantes :
Sn=n∑
k=11k(k+1): on décompose1k(k+1)en1k-1k+1 S n=n∑ k=11 k(k+1)=n∑ k=1?1k-1k+1?
=1-1n+1.Rn=n∑
k=1k×k! : on décomposek×k! en(k+1)k!-k!= (k+1)!-k! R n=n∑ k=1k×k!=n∑ k=1[ (k+1)!-k!]= (n+1)!-1Tn=n∑
k=11k(k+1)(k+2) a k(k+1)-a(k+1)(k+2)=a(k+2)-akk(k+1)(k+2)=2ak(k+1)(k+2), on aa=12 T n=n∑ k=11 k(k+1)(k+2)=12n∑ k=1?1k(k+1)-1(k+1)(k+2)?
1 2?12-1(n+1)(n+2)?
n(n+3)4(n+1)(n+2)
PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
1.4 Sommes à connaître
Théorème 2 :Somme des entiers, des carrés, des cubes Pour tout entier naturelnnon nul, on a les relations suivantes :S1(n) =n∑
k=1k=1+2+···+n=n(n+1)2S2(n) =n∑
k=1k2=1+4+···+n2=n(n+1)(2n+1)6S3(n) =n∑
k=1k3=1+8+···+n3=n2(n+1)24 Démonstration :La première formule a été démontré en première en ordon- nant la somme dans l"ordre croissant puis dans l"ordre décroissant. Les deux der- nières formules ont été démontré en terminale par récurrence. Mais les démons- trations directes sont possibles à l"aide de sommes télescopiques. On pourrait généraliser ces démonstration aux somme des puissancespième des entiers na- turels.S1(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)2-k2] = (n+1)2-1 n∑ k=1[(k+1)2-k2] =n∑ k=1(k2+2k+1-k2) =n∑ k=1(2k+1) =2n∑ k=1k+n∑ k=11=2S1(n) +nOn en déduit que :
2S1(n) +n= (n+1)2-1?S1(n) =(n+1)2-(n+1)
2=n(n+1)2
S2(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)3-k3] = (n+1)3-1 n∑ k=1[(k+1)3-k3] =n∑ k=1(k3+3k2+3k+1-k3) =n∑ k=1(3k2+3k+1) =3n∑ k=1k2+3n∑ k=1k+n∑ k=11=3S2(n) +3S1(n) +nOn en déduit que :
3S2(n)+3S1(n)+n= (n+1)3-1?3S2(n) =?(n+1)3-1-3S1(n)-n??
S 2=1 3? (n+1)3-3n(n+1)2-(n+1)? =2(n+1)3-3n(n+1)-2(n+1)6 (n+1)(2n2+4n+2-3n-2)6=(n+1)(2n2+n)6=n(n+1)(2n+1)6
PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
S3(n), on utilise la sommen∑
k=1[(k+1)4-k4] = (n+1)4-1 n∑ k=1[(k+1)4-k4] =n∑ k=1(k4+4k3+6k2+4k+1-k4) =n∑ k=1(4k3+6k2+4k+1) =4n∑ k=1k3+6n∑ k=1k2+4n∑ k=1k+n∑ k=11=4S3(n) +6S2(n) +4S1(n)+nOn en déduit que :
4S3(n) +6S2(n) +4S1(n) +n= (n+1)4-1?
4S2(n) = (n+1)4-1-6S2(n)-4S1(n)-n
= (n+1)4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1) = (n+1)? (n+1)3-n(2n+1)-2n-1? = (n+1)(n3+3n2+3n+1-2n2-n-2n-1) = (n+1)(n3+n2) =n2(n+1)2Théorème 3 :Somme géométrique
Pour tous naturelspetntels quep?n
et pour tout réel ou complexextel quex?=1, on a : n∑ k=pxk=xp×1-xn+1-p1-x=premier terme×1-xNbre de termes1-x
Démonstration :PosonsSn=n∑
k=pxk.On utilise une somme télescopique :
S n-xSn=n∑ k=pxk-n∑ k=pxk+1=n∑ k=p(xk-xk+1) =xp-xn+1 On factorise :Sn(1-x) =xp(1-xn+1-p)x?=1?Sn=xp×1-xn+1-p1-xExemple :S=n∑
k=32k=23×1-2n-21-2=23(2n-2-1) =2n+1-8
Théorème 4 :Factorisation standard
Pour tout naturelnet pour tous réels ou complexesaetb, on a : a n-bn= (a-b) n-1∑ k=0an-k-1bk= (a-b)(an-1+an-2b+···+abn-2+bn-1)PAUL MILAN6VERS LE SUPÉRIEUR
1. LE SYMBOLE SOMMEΣ
Démonstration :On pose :Sn=n-1∑
k=0an-k-1bk, on a alors :aSn=n-1∑
k=0an-kbk=an+n-1∑ k=1an-kbkk→k+1=an+n-2∑ k=0an-k-1bk+1bSn=n-1∑
k=0an-k-1bk+1=n-2∑ k=0an-k-1bk+1+bn k=0an-k-1bk+1-n-2∑ k=0an-k-1bk+1-bn=an-bn1.5 Sommes doubles
Définition 2 :Lorsqu"on somme sur deux indices, on parle de somme double. Soit(aij)une suite double de nombres réels ou complexes et soit deux entiers naturelsnetp, on note :1?i?n1?j?pa
ij=n∑ i=1p j=1a ij=p j=1n∑ i=1a ijsomme des termes d"un tableaun×p. 1?i ?j?na ij=n∑ j=1 j i=1a ij=n∑ i=1n∑ j=i aijsomme triangulaire d"un tableaun2. 1?i1?i,j?na
ij=∑1?i?n1?j?na
ij On peut schématiser ces sommes double par un tableau double entrée.1?i?n1?j?pa
ij? ij12...pTotal1a11a12...a1p
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