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Les nombres complexes

Table des matières

1 Introduction2

1.1 Un problème historique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Création d"un nouvel ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Construction des nombres complexes4

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Représentation des nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Opérations avec les complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4 Conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4.3 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Équation du second degré8

3.1 Résolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Application aux équations de degré supérieur. . . . . . . . . . . . 9

4 Forme trigonométrique et exponentielle10

4.1 Forme trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.2 Propriétés des modules et arguments. . . . . . . . . . . . . 11

4.1.3 Formule de Moivre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2 Forme exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2.2 Formules d"Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Application des complexes à la géométrie14

5.1 Complexes et vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1.2 Affixe d"un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1.3 Somme de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1.4 Angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1.5 Colinéarité et orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.1.6 Barycentre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Complexe et transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5.2.2 Écriture complexe d"une translation. . . . . . . . . . . . . . 16

5.2.3 Écriture complexe d"une homothétie. . . . . . . . . . . . . . 17

5.2.4 Écriture complexe d"une rotation. . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3 Étude d"une transformation quelconque. . . . . . . . . . . . . . . . 18

PAUL MILAN5 janvier 2012 TERMINALES

21 INTRODUCTION

1 Introduction

1.1 Un problème historique

À la fin du XVI

esiècle, on s"est intéressé à la résolution des équations du troi- sième degré. On montra rapidement que à l"aide d"un changement de variable toute équation du troisième degré peut se mettre sous la forme x

3+px+q=0

sous la forme (un peu complexe) : x

0=3????

-q2-? q2

4+p327+3????-q2+?

q2

4+p327

Un mathématicien italien de l"époque, Bombelli, s"intéressa de près à l"équa- tion : x

3-15x-4=0

Qui donne alors comme solution :p=-15 etq=-4

x 0=3?

2-⎷4-125+3?2+⎷4-125

x 0=3?

2-⎷-121+3?2+⎷-121

3?

2-11⎷-1+3?2+11⎷-1

La racine

-1 posait problème.

Cependant il remarqua que s"il posait(⎷

-1)2=-1, on obtenait en develop- pant(2-⎷ -1)3et(2+⎷-1)3:

On rappelle que :

(2-⎷ =8-12⎷ -1+6(-1)-(-1)⎷-1 =2-11⎷ -1 (2+⎷ -1)3=23+3(2)2⎷-1+3(2)(⎷-1)2+ (⎷-1)3 =8+12⎷ -1+6(-1) + (-1)⎷-1 =2+11⎷ -1 donc x

0=2-⎷

-1+2+⎷-1=4

PAUL MILAN5 janvier 2012 TERMINALES

1.2 CRÉATION D"UN NOUVEL ENSEMBLE3

On constate effectivement que 4 est solution de l"équation. En effet : 4

3-15×4-4=64-60-4=0

Conclusion :

-1 n"existe pas, mais permet de trouver la solution d"une équation. Il s"agit d"un intermediaire de calcul. Les nombres complexes étaient nés!!

Au XVII

esiècle ces nombres deviennent des intermédiaires de calcul courant, mais on ne les considèrent pas encore comme des nombres.

Au XVIII

esiècle on montre que tous ces nombres peuvent se mettre sous la formea+b⎷ -1.

Euler propose alors de noter⎷

-1=i.icomme " imaginaire».

Au XIX

esiècle Gauss montre que l"on peut représenter de tels nombres. Ils obtiennent alors le statut de nombres.

1.2 Création d"un nouvel ensemble

Cette découverte est assez fréquente en mathématique. Qu"on se rappelle les solutions des équations suivante.

êRésolution dansNde l"équationx+7=6.

Cette équation n"a pas de solution, mais en créant les entiers relatifs, on obtient alorsx=-1

êRésolution dansZde l"équation 3x=1.

Cette équation n"a pas de solution, mais en créant les nombres rationnels, on obtientx=1 3.

êRésolution dansQde l"équationx2=2.

Cette équation n"a pas de solution, mais en créant les nombres réels, on obtientx=⎷

2 oux=-⎷2.

êRésolution dansRde l"équationx2+1=0.

Cette équation n"a pas de solution donc on va construire un ensemble que l"on appelleC(complexe) dont l"élément principal ajouté est le nombrei tel quei2=-1. On obtient donc comme solutionx=ietx=-i La démarche naturel consiste donc à chercher un ensemble plus grand qui contient l"ancien et qui vérifient les mêmes propriétés et qui puisse se représenter.

PAUL MILAN5 janvier 2012 TERMINALES

42 CONSTRUCTION DES NOMBRES COMPLEXES

2 Construction des nombres complexes

2.1 Définition

Définition 1 :On appelle l"ensemble des nombre complexes, notéC, l"en- semble des nombreszde la forme : z=a+ibavec(a,b)?R2eti2=-1 le nombre réelas"appelle lapartie réelledeznotée : Re(z) Le nombre réelbs"appalle lapartie imaginairedeznoté : Im(z). Cette formez=a+ibest appeléeforme algébrique.

Remarque :

1) Tout nombre réel appartient àC(faireb=0).

2) Sia=0 on dit quezest un imaginaire pur

2.2 Représentation des nombres complexes

Théorème 1 :A tout nombre complexez=a+ib, on peut faire corres- pondre un pointM(a;b)dans un plan orthonormal(O,-→u,-→v)

On dit quezestl"affixedeM. On écrit alorsM(z).

Propriétés :Cette application est réciproque (bijective). A tout pointM(x;y) d"un plan muni d"un repère orthonormal, on peut associer un nombre complexe z=x+iy. Conclusion :On peut représenter alors le nombre complexez=a+ib.

On appelle module dezla distance

OM, c"est la dire la quantité notée|z|tel

que : |z|=? a2+b2

Siz?R, on az=aet|z|=⎷

a2=|a| qui n"est autre que la valeur absolue du réela(même réalité donc même nota- tion. 0 M(z) ab |z| axe des réels↑←axe des imaginaires ?u? v De même on appelle argument dez, une mesure de l"angle(?u;--→OM), c"est à dire la quantité notée arg(z)telle que siθest un argument dezon ait : ?cosθ=a |z| sinθ=b |z|avecθ=arg(z) [2π]

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2.3 OPÉRATIONS AVEC LES COMPLEXES5

Exemples :

1) Déterminer le module des nombres complexes suivants :

z

1=1+i,z2=1-⎷

3i,z3=-4+3i

|z1|=⎷

1+1=⎷2

?cosθ1=1 ⎷2 sinθ1=1 ⎷2

1=π

4|z2|=⎷

1+3=2???????cosθ2=1

2 sinθ2=-⎷ 3 2

2=-π

3 |z3|=⎷

16+9=5?????

cosθ3=-4 5 sinθ3=3 5

3=arccos-4

5 ?143°

2) Dans chacun des cas suivants, déterminer l"ensemble des pointMdont l"affixe

zvérifie l"égalité proposée. a)|z|=3 b) Re(z) =-2 c) Im(z) =1 a)|z|=3 : cercleCde centreOet de rayon 3 b) Re(x) =-2 : Droited1parallèle à l"axe des ordonnées d"abscisse-2 c) Im(z) =1:Droited2parallèleàl"axe des abscisses d"ordonnée 1 123
-1 -2 -3 -41 2 3-1-2-3-4d1 d2 C

2.3 Opérations avec les complexes

Dans l"ensemble des nombres complexes on définit deux opérations :

êL"addition (+):

siz=a+ibetz?=a?+ib?alorsz+z?= (a+a?) +i(b+b?)

êLa multiplication (×):

siz=a+ibetz?=a?+ib?alorsz×z?= (aa?-bb?) +i(ab?+a?b) L"ensemble des nombres complexesCmuni des lois de l"addition et de la mul- tiplication est un corps commutatif. Il possède donc toutes les propriétés de ces deux lois dans l"ensemble des nombres réelR. C"est à dire : la communitativité et associativité de l"addition et de la multiplication, distributivité de la multiplica- tion par rapport à l"addition, .... Pour qu"un nombre complexe soit nul, il faut que sa partie réelle et sapartie imaginaire soient nulles : a+ib=0?a=0 etb=0

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62 CONSTRUCTION DES NOMBRES COMPLEXES

Exemples :Effectuer les opérations suivantes :

z

1=4+7i-(2+4i) =4+7i-2-4i=2+3i

z

2= (2+i)(3-2i) =6-4i+3i+2=8-i

z

3= (4-3i)2=16-24i-9=7-24i

2.4 Conjugué

2.4.1 Définition

Définition 2 :Soitzun nombre complexe dont la forme algébrique est : z=a+ib. On appelle le nombre conjugué dez, le nombre noté ztel que : z=a-ib ConséquenceInterprétation géométrique.

Le pointM?(

z)est le symétrique du pointM(z)par rapport à l"axe des abs- cisses.

On a alors :

z z=|z|2=a2+b2

En effet :

(a+ib)(a-ib) =a2-iab+iab+b2

Cela permet de rendre réel un déno-

minateur. M(z)b |z| -bM(z) |z|a?u? v

2.4.2 Applications

1) Trouver la forme algébrique du quotient

Exemple :Trouver la forme algébrique du complexe suivant :z=2-i 3+2i On multiplie la fraction en haut et en bas par le complexe conjugué dudéno- minateur : z=(2-i)(3-2i)

2) Résoudre une équation du premier degré

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2.4 CONJUGUÉ7

Exemple :Résoudre l"équation suivante :z= (2-i)z+3 z= (2-i)z+3 z-(2-i)z=3 z(1-2+i) =3 z=3 -1+i=-31-i z=-3(1+i) (1-i)(1+i) z=-3 2-12i

2.4.3 Propriétés

Propriété 1 :Soitzun nombre complexe etzson conjugué. On a : z+z?=2Re(z)zest un imaginaire pur alors :z+ z=0 z-z?=2Im(z)zest réel alors :z= z

Règle 1 :Pour tous complexeszetz?, on a :

z+z?=z+z?,z×z?=z×z??z z?? z z?,zn= (z)n

Exemples :

1) Donner la forme algébrique du conjugué

zdu complexe suivant :z=3-i1+i z= ?3-i 1+i? 3-i 1+i 3+i 1-i (3+i)(1+i) 1+1

3+3i+i-1

2 =1+2i

2) Dans le plan complexe,Mest point d"affixez=x+iy,xetyréels. À tout

complexez,z?=1, on associe :Z=5z-2 z-1

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83 ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

a) ExprimerZ+Zen fonction dezetz. b) Démontrer que "Zest un imaginaire pur » est équivaut à "Mest un point d"un cercle privé d"un point ». a) On calculeZ+Z Z+

Z=5z-2z-1+

?5z-2 z-1? 5z-2 z-1+5 z-2 z-1 (5z-2)( z-1) + (5z-2)(z-1) (z-1)(z-1) 5z z-5z-2z+2+5zz-5z-2z+2 (z-1)(z-1) 10z z-7(z+z) +4 (z-1)(z-1) b) SiZest un imaginaire pur alorsZ+

Z=0. On en déduit donc que :

10z z-7(z+z) +4=0

10|z|2-14Re(z) +4=0

10(x2+y2)-14x+4=0

x

2+y2-7

5+25=0

x-7 10? 2 -49100+y2+25=0 x-7 10? 2 +y2-9100=0 x-7 10? 2 +y2=?310? 2 On en déduit que le pointM(z)est le cercle de centreΩ?7 10? et de rayon 3

10privé du pointA(1)

3 Équation du second degré

3.1 Résolution

Les nombres complexes ont été créés pour que l"équation du second degré ait toujours des solutions.

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3.2 APPLICATION AUX ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR9

Théorème 2 :Toute équation du second degré dansCadmet toujours 2 solutions distinctes ou confondues. Si cette équation est à coefficients réels, c"est à dire, ax

2+bx+c=0 aveca?R,b?Retc?R

Elle admet comme solutions dansC.

1) SiΔ>0 , deux solutions réelles :

z

1=-b+⎷

2aetz2=-b-⎷

2a

2) SiΔ=0, une solution réelle double :

z 0=-b 2a

3) SiΔ<0, deux solutions complexes conjuguée avecΔ=i2|Δ|

z

1=-b+i?

2aetz2=-b-i?

2a

Exemple :Résoudre l"équationz2-2z+2=0

On calculeΔ=4-8=-4= (2i)2. On obtient donc les solutions complexes suivantes : zquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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