[PDF] Mathématiques statistiques et probabilités - BUT « Techniques de

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Chapitre1

Évolutions

Ceq ueditl eProgramm eNat ional

Pourcentages,tauxde vari ation, indices,élastici té Danscec hapit re,lesgrandeursé tudiées seronttoutespositive s.

1.1V ariationd"unegran deur

Définitions1

Lavariationabsolueestune val eurpermettantde mesurerl"écart d"unegrandeur entre deuxpério des. Elleestdonnéeparla relation: =valeurfinal evaleurini tiale. Letauxdev aria tionestune val eurpermettantde mesurerl"évoluti on d"unegrandeur entre deuxpério des. Ilestdonnéparlarelat ion: valeurfinale valeurinitiale 1. Lecoefficientmultip licateurestl erapportd" unegrandeurentre deux périodes.Ilestdonné parlarel ation:= valeurfinale valeurinitiale L"indicesimpl eévaluele rapportd"une grandeuràunev aleurderé- férence(app eléebase),corresp ondantgénéralem entàl"indi ce100.Dans ce cas,il estdonnépar larelati on: = valeurfinale valeurinitiale 100.

10CHAPITRE1.ÉVOL UTIONS

Remarques2:

•un tauxde vari ationn"apasd"unité (ilest parex emplelem êmep our unemas sepassan tde5kgà10kgetp ouru np rixp as sant de5eà 10e). • pourexpri merletauxdevari ationsous la form ed"unpourcentage,i l suffitdem ulti plierlerésultatobtenupar100. Exemple3:lepri xd"unarti cleest passéde120eà 180e: lav ariationabsolueest de180120 =60 e; letaux dev ariati onestde 180
vel

1=05soitune hausse de50%;

leco efficientmultiplicateur est 180
vel =15; l"indicedunouveaupri x, base100,es t 180
vel

100 =150 .

Ainsi,unehausse de50% correspondàunco effici ent multiplic ateurde 1,5 et

à uni ndicede150.

Propriétés4

On déduitdesdéfi niti onslesrelationssui vantes: •=1ou encore=+1, •=100ou encore= 100

Remarques5:

siun tauxde vari ation estexprimésous laform ed"unpourcentage,il faudrabi enveil leràreveniràsaf orme décimale(c"es t-à-di reàle diviser par 100)a vantd"utilis erlarelation=+1; sil "évolutiond"unegrandeurestàl ahausse, alors 0, 1et

100(indicebase 100);

sil "évolutiond"unegrandeurestàl abaiss e,al ors0, 1et

100(indicebase 100).

Propriété6

volutionssuccess ives

Soient

1 2 3 lesv aleursd"unegrandeurs urtroisp ério des.Notons 12 leco efficientmultiplicateur de 1 2 (onad on c 12 2 1 )et

1.1.VAR IATIOND"UNEGRANDEU R11

23
le coefficientmultipli cateurde 2 3 (onad on c 23
3 2

Alors,leco efficient multiplicateurde

1 3 est 12 23

Exemple7:un prixabai ss éde25%,puisaug-

mentéde25% .A lors,l ecoefficientmul tiplicateur globalest: (1025)? ale 25%
(1 +0 25)? ale 25%
=075025 =0 9375ce quicorresp ondàun taux dev ariationglobalde093751=00625soitàune bais se de6,25% du prix.Contrai rementauxidéesreçues,unehausse de25% "n"ann ulepas» une précédentebais sede25%!

Propriété8

volutionrécipro que

Soient

1 et 2 lesv aleursd"unegrandeurs urdeuxpéri odes .Notons 12 leco efficientmultiplicateur de 1 2 (onad on c 12 2 1

Alors,leco efficient multiplicateurde

2 1 est 1 12 Exemple9:un ticketdecaiss ene contenantquedesprodui tsal imen- tairesaffi cheuntotalde89, 03eTTC. Onc hercheàretrouv er leprixHTetle montantdeTV Ade ceticket(s achan tq uelaTVAsur l"essentiel desproduits alimentairesestde55%). Let auxdeTVAé tant de55%, lecoeffi cientmultiplicateurdu prixHT au prixTT Cest1,055.O nendéduit quele coefficien tm ultipli cateurdupri x

TTC aupr ixHTest

1 l055

Ainsi,leprix HTest :8903

1 l055

8439esoitunmo ntan tdeTVAsur

ce ticketde89038439 =4 64e.

12CHAPITRE1.ÉVOL UTIONS

1.2Va riationmoyenned"unegrande ur

Définition10

Le tauxde crois sancemoyen(TC M)permetdecalcul eruntauxd"évo- lutionmo yensurpériodes. Si 1 estl avaleur d"unegrandeuret lav aleurdecettemêm e grandeurpériodesplustard, alorsle tauxde croissance moyen surun epério de(pendantcespériodes)estdonnépar larelati on: valeurfinale valeurinitiale 1=? valeurfinale valeurinitiale 1 1. Exemple11:lap opulationdelavi ll edePari sestpasséede2125246 habitantsen1999 à2 206488 en2015 (c"es t-à-dire en16 ans). Letaux d"év olutionannuelmoyende lapopul ationdelavil le deParis entre

1999 et2015 est donc:

16

2 206488

100023soit0,23% .

Enm oyenne,lapopulati ondela villedePari sa doncaugmenté de0,23% par ande 1999à 2015.

Propriété12

Soitleco efficientmultiplicateur globald"unegrandeursurpériodes. Leco efficientmultiplicateur moyen(CMM)surunep ériode(pendantces périodes)estalors := 1

Exemple13:au 1

mars2008, l" Euros"échangeaitcon tre1,51890Dollar et au1 mars2015, il s"échangeai tcontre1,11819Dollar(c" est-à-dire en7 ans). Leco efficientmultiplicateur globaldelavaleurduDoll aren2008à la va- leurdu Dol laren2015estégalà

111819

v51890

074et lecoeffi cientmultiplicateur

annuelm oyenestalorségal à 7

074096.

Enm oyenne,lavaleur d"échangeE uro/Dollaradonc étémultipli éepar

0,96par andu 1

mars2008 au1 mars2015. Remarque14:on déduitdetout cela que =1ou encore =+1.

1.3.ÉLA STICITÉ13

1.3É lasticité

Définitions15

•L"élasticitéestun nombre mesurant l"impactdela variationd"une grandeursurunea utregr andeur . • Lademandeestl aquanti téd"unproduitdonnéq uelescons om- mateurss ontprêtsàacheter. • L"élasticitédelademan demesurelade mande d"unproduit lorsquesonpri xvarie. Elle estégaleauq uotientdutauxdevari a- tionde la demandeparl etauxdev ariati onduprix . • L"offreestl aquanti téd"unproduitdonnéq uelesen treprisessont prêtes àv endre. • L"élasticitédel"offremesurel" offred"unproduitl orsques onprix varie.El leestégaleauq uotientdu tauxdevari ation del"offrepar letaux dev ariati onduprix.

Remarques16:

• lorsquel"élas ticitédelademandeestégaleà0, cela signifi equel avaria- tionde la demanden"es tpassens ibleàla vari ationduprix.Ondit alors quel ademandees tinélas tiqueau prix. • lorsquel"élas ticitédelademandeestcomprise entre 1et1, celasi gnifie quel avariati ondelademandeest (très) peusens ibleà lavar iationdu prix.On ditalors quela demandeest (très)fai blement élasti queaupri x. • lorsquel"élas ticitédelademandeestsupérieure à1 ouinféri eureà1, celas ignifiequelavari ationdel ademandees t(très)sensibl eà lavari a- tiondu prix .Ondital orsquel ademandees t(très)f ortementél astique par rapportaupri x. • lorsquel"élas ticitédelademandeestpositi ve, celasi gnifie quela variation du prixetl av ariationde lademandesonts oit touteslesdeux positi ves (haussedupri xet haussede la demande),soittoutes les deuxnégatives (baisseduprix etbai ssede la demande). • lorsquel"élas ticitédelademandeestnégative,cel as ignifi equel avaria- tiondu prix etlav ariati ondela demandesontdesi gnecon traire(haus se du prixetbai ss edelademandeoui nv ersement).

14CHAPITRE1.ÉVOL UTIONS

Exemples17:

• lademande d"unprodui tbaiss ede15%lorsq uesonprixaugmen te de 10%.L" élasticitédelademandedeceprodui tes tdoncégale à 15 vl =15.Danscet exem ple,lademandeest élastiq ueauprix . • l"offred"unprodui taugmente de5%lorsque sonprixaugmen te de20% . L"élasticitédel"offrede cepro duitestdoncégaleà 005 l20 =025. Danscet exemple,l"off reestinélastiq ueauprix .

Ceq u"ilfautreten ir

Variationabsolue :=valeurfinal evaleurini tiale

Tauxdev aria tion:=

valeurfinale valeurinitiale 1

Coefficientmult iplicateur:=

valeurfinale valeurinitiale

Indice(base100) :=

valeurfinale valeurinitiale 100

Relationsentreces grandeurs:

=1ou=+1 =100ou= 100

Évolutionssucces sives:

13 12 23

Évolutionrécipr oque:

21
1 12

Tauxde croi ssancemoyen:

valeurfinale valeurinitiale 1=? valeurfinale valeurinitiale ?1 1

Coefficientmult iplicateurmoyen:=

1

Relationsentrec esgrandeurs :=1ou

=+1

Élasticité:=

tauxde variat iondelademande (oude l"offr e) taue varia tinu ri

1.4.EXE RCICES15

1.4Exe rcices

Exercice1

"Lienen tretauxdev ariation,c oeffic ientsmultiplicateurs et indices»

Compléterlesphras essuiv antes:

1. Unehauss ede5%correspond àun coeffi cientmulti pli cateurde ...

et àun indi cebase100de. ...

2. Unebais sede75%correspondà unco effici entmultipl icateu rde ...

et àun indi cebase100de. ...

3. Unehauss ede300%correspond àun coeffi cientmulti pli cateur de

...età uni ndice base 100de....

4. Uncoeffi cientmultiplicateurde 0,955correspondàuntauxde

variationde.. .et àunindicebas e100 de. .. .

5. Uncoeffi cientmultiplicateurde 1,3correspondàuntauxdeva-

riationde. .. etàunindice base 100de .. ..

6. Uncoeffi cientmultiplicateurde 2correspondàuntauxdevaria-

tionde .. .etàunindi cebas e100 de. ...

7. Unindi cebase100de250 correspondà untaux dev ariati onde...

et àun coeffi cientmultiplicateurde ....

8. Unindi cebase100de120 correspondà untaux dev ariati onde...

et àun coeffi cientmultiplicateurde ....

9. Unindi cebase100de95 correspondà untaux dev ariati onde...

et àun coeffi cientmultiplicateurde ....

Exercice2

"Lep rixdupai n» Lepri xdupain est passéde 0,56een 1993à 0,87 e(en moyenne)en 2016.

1. Calculerlavari ationabsol ue,letauxdevariati onetleco efficient

multiplicateurduprixdupai nde 1993à2016.

16CHAPITRE1.ÉVOL UTIONS

fi l v va l v ... va fi

Exercice3

"Lep rixduca rnet deticketsdemét ro» Lepri xducarnetde 10ti ck etsde métro àParisétaitde14, 90eau 1 août 2017et l" indicedeceprixbase100 au1 juillet2001est160, 2. Déterminerlepri xducarnetde 10tick etsde métro au1 juillet2001.

Exercice4

"Offresspéc iales» Lesq uestionsdecetexerc ices ontind épendantes.

1. Pendantless oldes,l eprixd"unpantalon passede 85eà 65e.

Queles tlep ourcentagederéducti on?

2. Uneensei gneaffichela promotionsuiv ante:" Troispaquetsde café

pourl eprixde deux!».Q ueles tlep ourcentage deréduction?

3. Uneensei gneaffichela promotionsuiv ante:" Pour50ed"achats,

bénéficiezde50%de remi se sur votreprochainachat d"uneval eur de5 0e! ». Lorraineaeff ectuéun premierac hatde 50e. Quelest lepourcen- tage deréducti onmini maleàl"issuedeces deuxac hats?

4. Unsi tedeventeen li gneproposedesf rais delivrais onà3,90

eet iloff recesfrai sp ourunachatd"une valeurm ini malede 25e.

Queles tlep ourcentagederem isemaxi mal e?

5. Pendantunecampagne promoti onnelle,un commerçantsouhaite

fairedes" prix ronds»etvendretous les articl esd" unrayon à10 e. Dansce ray on,ilyades articlesà 12,99 e, à14, 99eet à17, 99e. (a) Quelest lepourcen tagederemi sesurchacun desarti cles?quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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