[PDF] Première STMG - Suites géométriques

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Suites géométriques

I) Définition

et ࢔ sont deux nombres entiers naturels. une suite. On dit qu'elle est géométrique si, partant du

TERME INITIAL ࢛

, pour passer d'un terme au suivant, on MULTIPLIE toujours par le même nombre appelé RAISON Exemple: Une voiture, achetée neuve coûtait 20 000 € (en 2008), perd chaque année 20% de sa valeur. • Au bout d'un an : la voiture coûtait 20% moins cher : ) = 20 000ൈ 0,8 = 16 000. En 2009 la voiture coûtera 16 000 €.

16 000 ൈ 0,8 = 12 800. En 2010 la voiture coûtait 12 800 €.

12 800 ൈ 0,8 = 10 240. En 2011 la voiture coûtait 10 240.€.

Et ainsi de suite ... on multiplie la valeur de la voiture de l'année précédente par 0,8 pour

obtenir celle de l'année suivante.

Soit ݑ

la valeur de la voiture en 2008. ݑ = 20 000 est la valeur de la voiture au bout d'un an c'est-à-dire ݑ ൈ 0,8 = 16 000 est la valeur de la voiture au bout de deux ans c'est-à-dire ݑ ൈ 0,8 = 12 800

Soit ݑ

la valeur de la voiture au bout de ݊ années, ݑ ൈ 0,8 Cette suite est géométrique : On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours pas le même nombre (dans notre cas 0,8)

II) Formule de calculs de termes

une suite géométrique de premier terme ࢛ et de raiso et ࢔൒૙, un entier naturel. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur ࢗ appelée raison:

Exemples :

Exemple 1 : Soit la suite (ݑ

) définie sur Գ par: ݑ ൈ 3 et ݑ = 2

1) Justifier que cette suite est géométrique

2) Calculer ݑ

puis ݑ

Réponse :

1) Pour tout n appartenant à Գ, ݑ

ൈ 3 . On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par 3 , la suite est donc géométrique de raison 3 et de 1 er terme 2

2) ݑ

ൈ 3 = 2 ൈ 3 = 6 ࢛ 6 ൈ 3 = 6 ൈ 3 = 18 ࢛ 18 ൈ 3 = 18 ൈ 3 = 54 ࢛ 54

3) En utilisant un tableur, on calcule u

15 : = 28 697 814

Exemple 2 : Soit la suite (ݑ

) définie sur Գ par: et ݑ = 3

1) Justifier que cette suite est géométrique

2) Calculer ݑ

puis ݑ

Réponse :

1) Pour tout ݊ appartenant à Գ, ݑ

multipliant toujours par .La suite est donc géométrique de raison ଵ er terme 3 .

2) ݑ

1,5 0,75 0,375

3) En utilisant un tableur, on calcule u

30 :
III) Sens de variation d'une suite géométrique Remarque : Les suites géométriques étudiées sont de raiso strictement positive et de terme initial positif, donc tous les termes sont strictement positifs.

Propriété:

une suite géométrique de raison ࢗ (ࢗ > 0) et de 1 er terme ࢛

0 < ݍ< 1 ݍ > 1 ݍ = 1

> 0 (ݑ ) est strictement décroissante. (ݑ ) est strictement croissante. (ݑ ) est constante. = 0 (ݑ ) est une suite nulle

Exemple 1:

Etudier le sens de variation de la suite (

) définie sur Գ par : ൈ 3 et ݑ = 2

Réponse :

Pour tout n appartenant à Գ, ݑ

ൈ 3 la suite ( ) est une suite géométrique de raison 3 > 1

La suite (

) est donc strictement croissante.

Exemple 2 :

Etudier le sens de variation de la suite (

) définie sur Գ par : = 2

Réponse :

Pour tout n appartenant à Գ, ݑ

la suite ( ) est une suite géométrique de raison ଵ

La suite (

) est donc strictement décroissante.

IV) Exemples de graphique

Exemples :

Exemple 1:

Faire le graphique de la suite (

) définie par : ൈ 2 et ݑ = 1 Remarque : on voit sur le graphique que la suite ( ) est strictement croissante (q>1)

Exemple 2:

Faire le graphique de la suite (

) définie par : et ݑ = 8 Remarque : on voit sur le graphique que la suite ( ) est strictement décroissante (0< q< 1)quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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