[PDF] Representations de reflexion de groupes de Coxeter Premiere

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arXiv:2001.09278v1 [math.GR] 25 Jan 2020

Représentations de réflexion de groupes de

Coxeter

Première partie: le cas irréductible

François ZARA

Résumé

Dans ce travail on étudie des représentations de certains groupes de Coxe- ter pour en déduire des propriétés des groupes de réflexions correspondants.

Abstract

In this work we study representations of certain Coxeter groups to obtain some properties of the corresponding reflection groups. 1 2

1 Introduction

Dans ce travail on étudie certaines représentations de groupes de Coxeter de rang fini, irréductibles et2-sphériques : tous lesmst(ordre du produit des réflexions sett) sont finis (conditions H(Cox)). Dans cette généralité, le problème est hors de portée, aussi nous nous restreignons à certaines classes dereprésentations. Soient Kun corps de caractéristique0, (W,S) un système de Coxeter qui satisfait aux conditions précédentes etMunK-espace vectoriel. SoitR:W→GL(M)une représentation deWqui satisfait aux conditions H(R) suivantes :

1.?s?S,R(s)est une réflexion deM;

2. Sis?Set siasest un vecteur directeur deR(s), alorsA:={as|s?S}est

une base deM;

3.?(s,t)?S×S,R(s)R(t)a le même ordre quest.

1. Mathematics Subject Classification.20F55,22E40,51F15.

2. Mots clés et phrases : groupes de Coxeter, groupes de réflexion, construction de représen-

tations de réflexion de groupes de Coxeter. 1 dans ces conditions, on dit queRest unereprésentation de réflexiondeW. On remarque queR(W)est un sous-groupe deGL(M)engendré par des réflexions. Le premier but de ce travail est de construiretoutes(à équivalence près) les repré- sentations de réflexion deW. Pour cela on utilise les outils et résultats suivants :

1) Soientretsdeux réflexions deM, de vecteurs directeursaetbrespective-

ment. Il existeλetμdansKtels que : r(a) =-a, r(b) =b+λaets(a) =a+μb, s(b) =-b. Alorsrsest d"ordre finin?3si et seulement si il existe un entierkpremier àn tel queλμ= 4cos2(kπ n)etrsest d"ordre2si et seulement siλ=μ= 0. L"élément 4cos

2(kπ

n)est racine d"un polynôme unitaire à coefficients entiersun(X)et cette famille de polynômes est une famille de polynômes orthogonaux. On a un facteur irréductible deun(X):vn(X)dont les racines sont celles pour lesquelles(k,n) = 1. Ces polynômes ont été définis d"abord dans [9].

2) A chaque groupe de CoxeterW, on peut associer un grapheΓ(W)dont les

sommets sont les éléments deSet(s,t)est une arête deΓ(W)si l"ordremstdest est?3. On décore chaque arête du symbolemst. SiWest irréductible,Γ(W)est connexe. On appelle aussiΓ(W)un diagramme. Pour construire la représentationRsatisfaisant aux conditions H(R), on choisit un arbre couvrantTets0un sommet (une racine) deΓ(W). On appelleE(Γ(W)) ouE(Γ), l"ensemble des arêtes deΓ(W)etE(T)l"ensemble des arêtes deT, enfin on poseE?(T) :=E(Γ(W))-E(T). On définit sur l"ensemble des sommets deΓ(W)une relation d"ordre, notée?(qui dépend deTet des0) de la manière suivante :s?tsisettsont sur la même branche de l"arbreTet si la distance desàs0(dansT) est?à la distance detà s

0(dansT).

On construit maintenant la représentationR. Pour cela on fait un certain nombre de choix.

1.?e?E(Γ(W)),αeune racine devme(X);

2. soite:= (s,t)?E?(T). On posee?:= (t,s)(notation seulement) et on

choisitleetle?dansKde telle sorte quelele?=αme. On appelleK0un corps de décomposition de l"ensemble des polynômesume(X), eparcourant l"ensemble des arêtes deE(Γ(W)). On peut choisirK0comme sous- corps deR, et alorsK0est un sous-corps réel d"un corps cyclotomique. On choisit alorsKcomme engendré parK0et tous lesle,e?E?(T). a s+at 2 représentation (notée aussiR)R:W→GL(M)qui possède par construction les propriétés H(R). On dit queRest obtenue par laconstruction fondamentale.

On poseG:=Im(R).

Si l"on change d"arbre couvrant ou bien si l"on change de racines, on obtient une représentation équivalente. Par contre si l"on change l"undesαeou bien l"un des l eon obtient des représentations inéquivalentes. De plus on obtient ainsi toutes les représentations de réflexion deWqui satisfont à H(R) à équivalence près. Soientσun automorphisme deKetΦl"espace vectoriel des formesσ-sesquilinéaires invariantes parG. AlorsdimΦ?1. Dans la plupart des cas on adimΦ = 0. C"est l"une des raisons pour lesquelles on n"utilisera pas les éléments deΦlorsque celui-ci est?= 0. Avec les hypothèses du théorème, le changement de racine permet de distinguer les systèmes de racines de typeBnetCn.

2 Généralités sur les groupes de réflexion

2.1 Quelques propriétés du produit de deux réflexions

On rappelle ici qu"une réflexion d"un espace vectorielMsur un corpsKde caractéristique?= 2est un élémentrdeGL(M), d"ordre2, tel queH(r) :=Ker(r- Id M)est un hyperplan deM. Un générateur deIm(r-IdM)s"appelle un vecteur directeur der. On aM=H(r)?Im(r-IdM). On pose :< v-r>=Im(r-idM). Dans toute la suite on utilise les résultats et notations de [9]. On fait l"hypothèse H(1) suivante, valable dans toute la suite de ce travail : Hypothèse 1.Kest un corps de caractéristique0etMest unK-espace vectoriel de dimension finie. Soientretsdeux réflexions deM, de vecteurs directeursaetbrespectivement et d"hyperplans de points fixesH(r)etH(s). Si(a,b)est un système libre, on peut

écrire :

r(a) =-a, r(b) =b+c(r,a;s,b)aets(a) =a+c(s,b;r,a)b, s(b) =-b, avecc(r,a;s,b)etc(s,b;r,a)deux éléments deK. Définition 1.On poseC(r,s) :=c(r,a;s,b)c(s,b;r,a)et on appelleC(r,s)le coefficient de Cartandu couple(r,s). Proposition 1.On garde les hypothèses et notations précédentes. On a :

1.C(r,s)ne dépend que deretsetC(r,s) =C(s,r).

3

2.(a)rsest d"ordre fini?3si et seulement si il existe un entierkpremier

àntel queC(r,s) = 4cos2kπ

nsi et seulement siC(r,s)est racine du polynômevn(X). (b)rsest d"ordre2si et seulement sic(r,a;s,b) =c(s,b;r,a) = 0. Démonstration.Pour le 1), on peut remarquer que si l"on remplaceaparλaet bparμbavecλμ?K?(=K- {0})alors on ac(r,λa;s,μb) =λ-1μc(r,a;s,b)et c(s,μb;r,λa) =λμ-1c(s,b;r,a).

Il est clair queC(r,s)=C(s,r).

Le 2) est bien connu. On peut en trouver une démonstration dans [9]. Notation 1.SoientKun corps,MunK-espace vectoriel de dimension finie et gun élément deGL(M). On appellePg(X)le polynôme caractéristique deg. Proposition 2.On garde les hypothèses (H1) et on suppose queMest de dimen- sionm. Soientretsdeux réflexions deMde vecteurs directeursaetbrespecti- vement. On suppose que(a,b)est un système libre. Alors : P rs(X) = (X-1)m-2(X2-(-2 +C(r,s))X+ 1) En particulier la trace dersestTr(rs) =m-4 +C(r,s). Démonstration.Il existe des élémentscideM(1?i?m-2)tels que (a,b,c1···cm-2)soit une base deMetr(ci) =s(ci) =ci?i. Il suffit donc de se placer dans le sous-espace deMengendré paraetb. On a alors : r=?-1c(r,a;b,s) 0 1? ,s=?1 0 c(s,b;r,a)-1? d"où rs=?-1 +C(r,s)-c(r,a;s,b) c(s,b;r,a)-1? doncPrs(X) = (X-1)m-2(X2-(-2 +C(r,s))X+ 1).

2.2 Caractérisation du produit de deux réflexions qui est

unipotent. Proposition 3.On garde les hypothèses H(1) et les notations précédentes. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1.rsest une application unipotente (?=IdM);

2.C(r,s) = 4;

3.H(r)∩H(s)∩< a,b >?= 0;

4

4.H(r)=H(s).

Démonstration.D"après la proposition 2 il est clair que 1. et 2. sont équivalents. CommeH(r)est un hyperplan, on a 4.?3.. Le sous-espace propre derscor- respondant à la valeur propre1est un hyperplan deMlorsquersest unipotent (?=IdM), donc il est égal àH(r)et àH(s)d"où 1.?4. Supposons la condition 3. satisfaite et soit x=αa+βb?H(r)∩H(s)∩< a,b >?= 0 On a :r(x) =x=-αa+β(b+c(r,a;s,b)a) =αa+βb s(x) =x=α(a+c(s,b;r,a)b)-βb=αa+βb

On obtient le système suivant :

2α-βc(r,a;s,b) = 0

αc(s,b;r,a)-2β= 0

etx?= 0si et seulement si le déterminant de ce système est nul, c"està dire si -4 +C(r,s) = 0, donc 3.?2. Nous étendons maintenant la définition deC(r,s)au cas où< a >=< b > oùa(resp.b) est un vecteur directeur der(resp.s). Définition 2.Généralisation du coefficient de Cartan. On garde les hypothèses de la proposition 1. Soientretsdeux réflexions deM, de vecteurs directeursaetbrespectivement. On suppose que< a >=< b >: il existeλ?K?tel queb=λa. On a r(b) =-b=b-2b=b-2λaets(a) =-a=a-2a=a-2λ-1b. On pose C(r,s) := (-2λ)(-2λ-1) = 4:coefficient de Cartan du couple(r,s).

On a alors la caractérisation suivante :

Proposition 4.Avec les hypothèses de la proposition 1, soientretsdeux ré- flexions distinctes deM. Alorsrsest une application unipotente si et seulement siC(r,s) = 4. Démonstration.Soientaetbdes vecteurs directeurs deretsrespectivement. On a déjà vu (proposition 1) le résultat lorsque(a,b)est un système libre. On suppose donc que< a >=< b >.H(r)etH(s)sont deux hyperplans distincts etH(r)∩ H(s)est de codimension2dansM. On peut donc supposer queH(r)∩H(s) = 0, c"est à dire queMest de dimension2,H(r)etH(s)étant alors des droites. Si H(r) =< x >etH(s) =< y >, on aM=< a,x >=< a,y >avecy=λx+μaet λμ?= 0. On obtients(y) =y=λs(x)-μa=λx+μadoncs(x) =x+ 2μλ-1a. Dans la base(x,a)deM rs(x) =x-2μλ-1aetrs(a) =a,rsest donc unipotente et d"après ce qui précède,C(r,s) = 4. 5

2.3 Premières propriétés d"un groupe engendré par des ré-

flexions Nous donnons d"abord quelques définitions dont nous aurons besoin dans toute la suite. Définition 3.1. SoitGun groupe engendré par un ensembleSd"involutions. on dit queGest2-sphériquesi?(s,t)?S×S, l"ordremstdestest fini.

2. soientGetG?deux groupes2-sphériques engendrés parSetS?respective-

ment. SoitR:G→G?un morphisme tel queR(S)?S?. On dit queRest unbonmorphisme si?(s,t)?S×S,R(s)R(t)a le même ordre quest. Dans toute la suite de ce travail,Kest un corps de caractéristique0,Mest unK-espace vectoriel de dimension finienetGest un sous-groupe deGL(M) engendré par un ensembleSde réflexions (on parle dans ce cas desystème de réflexion(G,S)). On définit legraphe de Coxeterde(G,S),Γ(G)de la manière suivante : - Les sommets deΓ(G)sont les éléments deS; -(s,t)?S×Sest une arête deΓ(G)simst?3, oùmstest l"ordre dest; - on décore chaque arête deΓ(G)par le symbolemst.

Hypothèse 2.

1. On a|S|=dimM(=n);

2.?(s,t)?S×S, l"ordremstdestest fini;

3. le grapheΓ(G)est connexe;

4. sis?Son appelleasun vecteur directeur des; alorsA:= (as|s?S)est

une base deM Soit(G,S)un système de réflexion. On poseT:={gsg-1|g?G,s?S}ensemble des réflexions du système(G,S). On peut remarquer que toutes les réflexions deGsont de déterminant-1, donc Gcontient un sous-groupe, notéG+, formé des éléments deGde déterminant+1, ou encore qui sont produits d"un nombre pair d"éléments deS:G+=G∩SL(M). Il est clair queG+est d"indice2dansG. On a toujoursD(G)(= [G,G])?G+. CommeG/D(G)est engendré par les images des éléments deS, on voit que c"est un2-groupe commutatif élémentaire d"ordre2ω, oùωest le nombre des classes de conjugaison contenues dansT.

Proposition 5.

1.CGL(M)(G)est formé d"applications scalaires;

6

2. soitz?Z(G). Sidetz= 1, l"ordre dezest un diviseur den; sidetz=-1,

l"ordre dezest un diviseur de2n;

3. siCM(G)?= 0, on aZ(G) = 1.

Démonstration.1) Soitz?CGL(M)(G). Pour toutt?T, sibest un vecteur directeur det,z(b) =λtbavecλt?K?. Soite= (s,t)?E(Γ(G)). On as(at) = a t+μsas,t(as) =as+μtatetsts(as) =as-μt(at+μsas)avecμsμt?= 0. On obtientz(as) =λsas,z(at) =λtatetz(at+μsas) =λsts(at+μsas); mais z(at+μsas) =λtat+μsλsas. Comme(as,at)est un système libre et commeμs?= 0, on obtientλsts=λs=λt. CommeΓ(G)est connexe, on a le résultat :?λ?K? tel que?m?M,z(m) =λmpuisque l"ensemble(as|s?S)est une base deM:z est une application scalaire.

2) On a alorsdetz=λn. Sidetz= 1,λn= 1et l"ordre dezest un diviseur den;

sidetz=-1, l"ordre dezest un diviseur de2n.

3) Sim?CM(G)-0, on az(m) =m=λmdoncλ= 1etz= 1:Z(G) = 1.

On définit maintenant la matrice de Cartan. On garde les hypothèses et nota- tions précédentes. On suppose queS={s1,s2,···,sn}et que pour touti,aiest un vecteur direc- teur desi. On a?(i,j)(1?i,j?n),si(aj) =aj-λijaioùλij=-C(si,sj)et ij=λji= 0sisisj=sjsi?= 1. Définition 4.On appellematrice de CartandeG(par rapport à la baseAde

M) la matrice

Car(G) = (λij)1?i,j?n.

3 La construction fondamentale

Dans toute la suite de ce travail on fait les hypothèses suivantes H(Cox) sur le système de Coxeter(W,S):(W,S)est de rang fini,2-sphérique et irréduc- tible. Soit(W,S)un système de Coxeter. Le but de cette section est de construire des représentationsR→GL(M)avecM K-espace vectoriel deW, qui sont telles que les élémentsR(s)soient des réflexions deMet?(s,t)?S×S,R(s)R(t)a le même ordre quest.

Notation 2.On poseG:=ImR.

On désignera par la même lettreg?WetR(g)lorsqu"il n"y aura pas de confusion. On appelleK0un corps de décomposition de l"ensemble des polynômesvme(X)(si 7 e= (s,t),me=mst). On peut remarquer que l"on peut choisirK0?Ret alorsK0 est un sous-corps réel d"un corps cyclotomique.Dans la suite, on fera toujours ce choix pourK0.

3.1 Quelque résultats de la théorie des graphes

Proposition 6.SoitΓun graphe fini simple (sans boucle ni arête multiple) connexe et soient T unarbre couvrantdeΓets0un sommet deΓ(appeléracine de T). On appelleE(Γ)l"ensemble des arêtes deΓ,E(T)l"ensemble des arêtes de

T et on poseE?(T) :=E(Γ)-E(T).

1) On définit sur l"ensemble des sommets deΓune relation d"ordre, notée?(qui

dépend de T et des0) de la manière suivante :s?tsisettsont sur la même branche de l"arbre T et si la distance desàs0(dans T) est?à la distance det

às0(dans T).

2) Soite:= (s,t)?E?(T). Lorsque l"on adjoint cette arête à T, on obtient un

unique circuit

C(=C(e)) :={s1=s,s2,···,sn-1,sn=t}

avec(si,si+1)?E(T)(1?i?n-1). Alors il existe un uniquep(1?p?n)tel que?i(1?p?n)on aitsp?si. On dit quespestl"entréedans le circuitC.

Démonstration.

Proposition 7(Öre).Soient T et T" deux arbres couvrants d"un graphe fini, simple, connexeΓ. Alors on peut passer de T à T" par une suite finie d"opérations de la forme : On ajoute une arête à T pour obtenir un cycle, puis on enlève unautre arête de ce cycle pour obtenir un arbre couvrant. On obtient T" après une suite finie de ces opérations. (voir [8], théorème 6.4.4).

3.2 La construction fondamentale

On considère le grapheΓ(G).

SoientK?un sur-corps deK0etM?unK?-espace vectoriel. On va construire des représentationsR→GL(M?)qui satisfont aux conditions H(R) suivantes :

1.?s?S,R(s)est une réflexion deM;

2. Sis?Set siasest un vecteur directeur deR(s), alorsA:={as|s?S}est

une base deM;

3.?(s,t)?S×S,R(s)R(t)a le même ordre quest.

Pour cela, nous allons faire une série de choix. On choisit un arbre couvrantTets0un sommet (une racine) deΓ(G). On appelle 8 E(Γ(G))l"ensemble des arêtes deΓ(G)etE(T)l"ensemble des arêtes deT, enfin on poseE?(T) :=E(Γ(G))-E(T). On définit sur l"ensemble des sommets deΓ(G)une relation d"ordre, notée? comme dans la proposition 6. a s+at; Notation 3.On appelleK:=K0(le|e?E?(T))le sous-corps deK?engendré par K

0et tous lesle(e?E?(T)) et on poseM:=M??K0K.

aussiR)R:W→GL(M)qui possède par construction les propriétés H(R). On dit queRest obtenue par laconstruction fondamentale. On dit queA:={as|s?S}est unebase adaptéeà la construction fonda- mentale, toute autre base s"obtient en multipliant chaque élément deApar un scalaire non nul, toutes les autres bases adaptées s"obtiennent en multipliant tous les éléments deApar un même scalaire. Définition 5.On poseP(G)=P((αe|e?E(T))?(le|e?E?T))et on appelleP(G) lesystème de paramètresdeG. On peut remarquer que siGetG?ont le même système de paramètres alors ils sont isomorphes; de plus tous les éléments des matrices des éléments deImR s"écrivent dans l"anneauO(K)sous-anneau deKengendré par les éléments du système de paramètres. Théorème 2(Théorème fondamental).SoitRune représentation de réflexion du groupe de CoxeterW. Alors :

1. Si l"on change d"arbre couvrant ou bien si l"on change de racines, on obtient

une représentation équivalente.

2. Si l"on change de système de paramètres, on obtient une représentation

inéquivalente. La démonstration va occuper le reste de cette section. Proposition 8.Si dans la construction fondamentale, on change la racine de l"arbre, on obtient une représentation équivalente. 9 Démonstration.Comme le grapheΓ(G)est connexe, on peut choisirs1?Stel quee:= (s0,s1)?E(T). On pose pour simplifier la notationα:=αme. On pose a s:=λsasavecλs?K?(s?S)etλ1= 1. On aa?1=a1. On appelleR?la représentation deWainsi obtenue.

On définitΓi(i= 1,2)par :

-Γ1:={s|s?S}, la distance desàs0dansTest?à la distance desàs1 dansT, -Γ2:=S-Γ1. D"après la construction fondamentale avecs1comme racine on a : s

0(a1) =a1+a?0

s

1(a?0) =a?0+αa1

maisa?0=λ0a0ets0(a1)=a1+αa0, doncλ0=α. - Soitt?Γ1- {s1}tel que(t,s0)?E(T), alorsa?t=t(a?0)-a?0=α(t(a0)- a

0) =αat=λtat, doncλt=α. En parcourant la partie de l"arbre qui est

dansΓ1, on voit que?s?Γ1,λs=α. - Soitt?Γ2tel que(t,s1)?E(T). On aa?t=t(a1)-a1=at, donc t= 1. En parcourant la partie de l"arbre qui est dansΓ2, on voit que ?s?Γ2,λs= 1. Soit maintenantg?GL(M)défini de la manière suivante : sis?Γ1on pose g(as) :=αas, sis?Γ2on poseg(as) =as. Alorsgest un opérateur d"entrelacement entre les représentationsRetR?. En répétant ce raisonnement avec tous les éléments deS, on obtient le résultat.

3.3 Changement d"arbres

Proposition 9.Si dans la construction fondamentale on change d"arbre couvrant, on obtient une représentation équivalente. Démonstration.D"après la proposition 8 on peut choisir la racine de l"arbrecomme l"on veut. On suppose queC:={s1,s2,···,sn}est un circuit deΓ(G)avecs1 racine deT, les arêtes(si,si+1) (1?i?n-1)sont dansE(T)et(s1,sn)?E?(T). On enlève l"arêteem:= (sm,sm+1)pour obtenir un autre arbre couvrantT", et on obtient ainsi la représentationR?deW. Correspondant àTon a la base deM:A= (a1,a2,···,an)?···et correspondant àT"on a la base deM:A"= (a?1,a?2,···,a?n)? ···aveca?s=λsas(s?S)et

1= 1:a?1=a1. On al1nln1=α1n(=αn1)etl?m,m+1l?m+1,m=αm,m+1(=αm+1,m).

Les branchesT?jdeT"qui passent parsj(1?j?m)sont les mêmes que les branchesTjdeTqui passent parsj.

Pour1?j?m, on aλj= 1et?s?T?j,a?s=as.

10 Démonstration.On procède par récurrence surj. le résultat es vrai par hypothèse pourj= 1. Soitj?2et le résultat supposé vrai pourj-1. Alors s j(a?j-1) =sj(aj-1) =a?j-1+a?j=aj-1+λaj=aj-1+aj doncλj= 1et l"on a le résultat. Soits?T?j(1?j?m), alors par le même raisonnement, on voit quea?s=as. Pourm+ 1?j?n, on aλn=ln,1etλj=αj,j+1αj+1,j+2···αn-1,nln,1et ?s?T?j(m+ 1?j?n), on aa?s=λjas. Démonstration.On procède par récurrence descendante surj. On a s n(a?1) =sn(a1) =a1+ln,1an=a?1+a?n=a1+λnan, doncλn=ln,1. Soitj < n. On suppose le résultat vrai pourj+ 1:λj+1=αj+1,j+2···αn-1,nln,1, alors s j(a?j+1) =λj+1αj,j+1aj+λj+1aj+1=λjaj+λj+1aj+1, doncλj=αj,j+1λj+1, d"où le résultat. Sis?T?j,(m+ 1?j?n), alors par le même raisonnement, on voit quea?1=λja1.

Fin de la démonstration.

On définitg?GL(M)de la manière suivante :

- pour1?j?m,g(aj) =ajet?s?Tj,g(as) =as; - pourm+ 1?j?n,g(aj) =λjajet?s?Tj,g(as) =λjas. Alorsgest un opérateur d"entrelacement entre les représentationsR(T)etR(T?) deW. SiT"est un arbre couvrant quelconque deΓ(G), on utilise la proposition 7. Proposition 10.Soit(W,S)un système de Coxeter qui satisfait aux hypothèses H(Cox) et soitRetR?deux représentations de réflexion deWobtenues grâce à la construction fondamentale. On poseG:=ImRetG?:=ImR?. Si les systèmes de paramètres sont distincts, alorsRetR?ne sont pas équivalentes. Démonstration.On peut supposer que l"on a les mêmes arbres couvrants et racines pourRetR?. Pour montrer que ces deux représentations ne sont pas équivalentes, on montre que leurs caractères sont distincts. Soite:= (s,t)une arête deT. D"après la proposition 2, on atr(st) =|S|-4+ C(s,t)avecC(s,t) =αe. Siαe?=αe?, les traces sont distinctes et on a le résultat dans ce cas. Soit maintenante:= (s1,sm)?E?(T). On ale=l1,metle?=lm,1. Si l"on ajoute cette arête àT, on obtient un circuitC:={s1,s2,···,sm}avec pour1?i?m-1, 11 (si,si+1)?E(T). On poseu:=s1s2···smet on montre quetr(u)est un polynôme du premier degré enle?à coefficients dansK0ouK, ce qui donne le résultat. Comme on ne cherche que la trace deu, on n"écrira en général dans les calculs qui suivent que le coefficient deas(s?S)dansu(as). On distingue deux cas suivant que dansC, sous-graphe deΓ(G), il y a des cordes ou pas. Premier cas: DansCil n"y a pas de cordes : les seules arêtes deCcontenant s isont(si-1,si)et(si,si+1) (2?i?mavecsm+1=s1). On montre que dans ces conditions,tr(u)est un polynôme du premier degré enle?à coefficients dansK0. Nous pouvons déjà remarquer (et cela sera aussi valable dansle deuxième cas) que sis?S-C, alorsu(as) =as+···, donc en faisant ceci pour tous les éléments de S-C, on voit qu"ils contribuent|S| -mà la trace deu.

On a :

u(a1) =s1s2···sm-1(a1+le?am) =s1s2(a1) +le?s1s2···sm-1(am)

On a :

s

1s2···sm-1(am) =s1s2···sm-2(αm-1,mam-1+am)

=αm-1,ms1s2···sm-2(am-1) +s1(am) maiss1(am) =lea1+am,s1s2(a1) = (α1,2-1)a1+···, puis par une récurrence facile, on trouve : u(a1) = ((α1,2-1) +α1,m+α1,2α2,3···αm-1,mlm-1,1)a1+··· pour2?k?m-1, on a :u(ak) = (αk,k-1-1)ak+···;u(am) =-am+···.

Il en résulte que l"on a :

tr(u) =|S| -m+m? k=1(αk,k+1-1) + (m-1? k=1α k,k+1)le? tr(u) =|S| -2m+m? k=1α k,k+1+ (m-1?k=1α k,k+1)le? (les indices (modm)) et le résultat dans ce cas. Deuxième cas: DansCil y a des cordes : il existepetqtels que1?p < q?m et(sp,sq)?E?(T). Nous choisissonspetqde telle sorte que le circuit C n"ait pas de cordes avec des variantes sip= 1ou siq=m. Cela est toujours possible car le grapheΓ(W)est fini. Nous faisons le même calcul que dans le premier cas et nous voyons que si 12 alorstr(v)est un polynôme du premier degré enle?à coefficients dansKet le résultat dans ce cas. Démonstration.Ceci termine la démonstration du théorème fondamental.

3.4 La représentation géométrique

Nous calculons maintenant les paramètres de la représentation géométrique. Soit(W,S)un système de Coxeter satisfaisant aux hypothèses H(Cox). Dans la construction fondamentale, on a le corpsK, pour chaque arêteedeΓ(W),αe une racine deve(X)et enfin pour chaque arête deE?(T)un élémentledeKet

K=K0(le|e?E?(T)).

La représentation géométrique est dans la baseB:= (bs=λsas|s?S,λs? K ?)oùK=K0(cosπ mst|(s,t)?S2)et l"on a, si(s,t)?S2, t?=s: -t(bs) =bssist=ts; -t(bt) =-bt; - simst?3t(bs) =bs+ 2cosπ mstbtets(bt) =bt+ 2cosπmstbs. Dans ce qui suit, nous allons déterminer lesλs,(s?S),αe,(e?E(Γ(W)))et lesle,(e?E?(T)). Dans la construction fondamentale, nous avons un arbre couvrantTet une racines0de cet arbre.

1) Soit(s,t)?E(T)avecs?t. Alors on a

t(bs) =λsas+λt2cosπ msta t=t(λsas) =λs(as+at) doncλs=λt2cosπ mst; s(bt) =λtat+λs2cosπ mst=s(λtat) =λtat+λtαstas doncαstλt=λs2cosπ mst. Il en résulte queαst= 4cos2πmst.

2) Soit(s,t)?E?(T). On a :

t(bs) =λsas+λt2cosπ msta t=t(λsas) =λsas+λsltsat doncλt2cosπ mst=λtlts. Nous obtenonsαst=lstlts= 4cos2πmst. Lesαstsont donc entièrement déterminés indépendamment deTet des0. Il nous reste à déterminer lesλs, (s?S) et lesle, (e?E?(T)).

3) Si l"on ajoute l"arêtee?E?(T)àTon obtient un circuit

C:= (s1(=s),s2,···,sn-1(=t)).

13 On appellepl"entrée dansC. On étudie d"abord le cas où2?p?n-1, puis nous ferons les modifications nécessaires lorsquep= 1oup=n.

Pour simplifier les notations on pose

B ?:=?n-1 k=12cosπ mk,k+1etB:=B?2cosπmn,n+1et aussiαk:=αk,k+1, les indices

étant pris(modn).

Soitq? {1,2,···n}.

- Siq?palorssq?sq+1donc on a, d"après le 1),λq= 2cosπ mq,q+1λq+1et onquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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