[PDF] Representations de reflexion de groupes de Coxeter Deuxieme





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3 feb. 2020 arXiv:2002.00923v1 [math.GR] 3 Feb 2020. Représentations de réflexion de groupes de. Coxeter. Deuxième partie: outils pour des exemples.



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15 mai 2020 La convergence simple des suites (u(?k)) et (v(?k)) était très facile à obtenir mais a rarement été justifiée correctement. Généralement



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20 oct. 2010 très attentif à ce que je ressentais et pas seulement aux maths ... Mais il existe des formules de passage simples entre les factorisations.



Orbites dHurwitz des factorisations primitives dunelement de

27 ian. 2010 (appelés les simples) du monoïde de tresses dual de W (cf. ... Dans le cas des réflexions on a une proposition similaire



Representations de reflexion de groupes de Coxeter--Quatrieme

23 feb. 2020 arXiv:2002.09883v1 [math.GR] 23 Feb 2020. Représentations de réflexion de groupes de. Coxeter. Quatrième partie: La représentation R est.



Representations de reflexion de groupes de Coxeter Premiere

25 ian. 2020 arXiv:2001.09278v1 [math.GR] 25 Jan 2020. Représentations de réflexion de groupes de. Coxeter. Première partie: le cas irréductible.

arXiv:2002.00923v1 [math.GR] 3 Feb 2020

Représentations de réflexion de groupes de

Coxeter

Deuxième partie: outils pour des exemples

François ZARA

Résumé

Cette partie est composée de trois sections. Dans la première section, nous étudions la famille de polynômes dont les racines sont4cos2kπ n,(n?3,1? k < n

2). Nous obtenons ainsi une famille de polynômes orthogonaux.Cela

nous permettra d"étudier en détail les exemples qui suivent. Dans la deuxième section nous donnons des formules techniques pour ne pas refaire les calculs à chaque fois. Dans la troisième section nous donnons des applications, d"abord lorsque le corpsKest un sous-corps deR(étude de présentations deW(H3) etW(H4)) et ensuite dans le cas complexe (étude des groupes de réflexion complexesG(p,p,n),G24etG27).

Abstract

This part is made of three sections. In the first section we study the family of polynomials whose roots are4cos2kπ n,(n?3,1?k 1 Une famille de polynômes orthogonaux On donne quelques formules concernant les polynômesun(X)et leurs racines qui nous seront utiles pour étudier les exemples. Mots clés et phrases : groupes de Coxeter, groupes de réflexion, polynômes orthogonaux. Mathematics Subject Classification. 20F55,22E40,51F15,33C45. 1

1.1 Les polynômesun(X).

On commence par rappeler quelques résultats de [9]. On considère la suite (un)n?Nde polynômes à coefficients entiers : u

2n+1(X) :=n?

k=0(-1)k?2n-k k? X n-k(n?0),(1) u

2n+2(X) :=n?

k=0(-1)k?2n+ 1-k k? X n-k(n?0),(2) u

0(X) := 0.(3)

Les premiers polynômes sont :u0(X) = 0,u1(X) =u2(X) = 1,u3(X) =X-1, u

4(X) =X-2,u5(X) =X2-3X+ 1,u6(X) =X2-4X+ 3,u7(X) =X3-

5X2+ 6X-1, etc. ...

Nous définissonsun(X)pourn <0parun(X) =-u-n(X). Proposition 1.1) Nous avons les formules de récurrence : ?n?Z, u2n+2(X)-u2n+1(X) +u2n(X) = 0;(A1) ?n?Z, u2n+1(X)-Xu2n(X) +u2n-1(X) = 0.(A2) ?n?Z, un+2(X)-(X-2)un+1(X) +un(X) = 0.(AR) Les suitesn?→(u2n(X))etn?→(u2n+1(X))forment chacune une base duZ- module des solutions de la récurrence(R).

Proposition 2.1) Nous avons :

?n?Z, u2n+1(4cos2θ) =sin(2n+ 1)θ sinθ,(4) ?n?Z, u2n(4cos2θ) =sin(2n)θ sin2θ,(5)

2) Pour chaque entiern, les racines deu2n+1(X)dansRsont4cos2kπ

2n+1(1?k?

n)et celles deu2n(X)sont4cos2kπ

2n(1?k?n-1).

Nous allons maintenant obtenir une factorisation en facteurs irréductibles de u n(X)dansZ[X].

Soitnun entier?1. Nous définissons

- sinest impairPn(X) :=Xn-1 X-1, - sinest pairPn(X) :=Xn-1 X2-1. Alors lesPn(X)sont des polynômes symétriques et 2 - sinest impair,n= 2m+ 1,1XmPn(X)est un polynôme enX+X-1, - sinest pair,n= 2m,1

Xm-1Pn(X)est un polynôme enX+X-1.

et les autres racines deun(X)sont obtenues en prenant les autres racines n-ièmes de l"unité (?=±1). Proposition 3.Avec les hypothèses et notations précédentes, nous avons : racines dePn(X)et l"ensemble des racines deun(X)(on définitP0(X) := 0).

2.δinduit une bijectionΔentre l"ensemble des facteurs unitaires dePn(X)

dansZ[X]et l"ensemble des facteurs unitaires deun(X)dansZ[X].

3. SoitΦn(X)le n-ième polynôme cyclotomique. On posevn(X) := Δ(Φn(X)).

Alors :

P n(X) =? d|n,n?3Φ d(X)etun(X) =? d|n,n?3v d(X).

On appellevn(X)lefacteur primitifdeun(X).

On définit une applicationn?→n?:N→Nde la manière suivante :n?= 2nsin est impair;n?=n

2sin≡2 (mod 4);n?=nsin≡0 (mod 4).

Siαest une racine devn(X), alorsα?= 4-αest une racine devn?(X)et l"ap- plicationα?→α?établit une bijection entre l"ensemble des racines devn(X)et l"ensemble des racines devn?(X). On donne maintenant des propriétés de la suite(un(X))n?Zdont on aura be- soin dans la suite.

Proposition 4.On a les formules :?(n,m)?Z2,

u n+2m(X) +un-2m(X) = (u2m+1(X)-u2m-1(X))un(X);(6) u n+2m+1(X) +un-(2m+1)(X) =X(u2m+2(X)-u2m(X))un(X)sinest pair(7) u n+2m+1(X) +un-(2m+1)(X) = (u2m+2(X)-u2m(X))un(X)sinest impair.(8) 3

Corollaire 1.On a les formules?n?Z:

u

2n(X) = (un+1(X)-un(X))un(X);(9)

u

2n(X) =un+1(X)(un(X)-un-2(X))-1(10)

=un-1(X)(un+2(X)-un(X)) + 1;(11) sinest pair u

2n+1(X) =un+1(X)(un+1(X)-un-1(X))-1(12)

=Xun(X)(un+2(X)-un(X)) + 1(13) sinest impair u

2n+1(X) =Xun+1(X)(un+1(X)-un-1(X))-1(14)

=un(X)(un+2(X)-un(X)) + 1.(15)

Démonstration.

Les résultats qui suivent seront utilisés dans différentes parties du travail.

Proposition 5.On a la formule :

?n?Z, u2n(X) = (-1)n-1u2n(4-X).(16) Démonstration.On procède par récurrence surnsinest positif, la formule pourn négatif se déduisant immédiatement de celle pournpositif caru-n(X) =-un(X). Sin= 0, le résultat est vrai caru0(X) = 0. Sin= 1, le résultat est vrai car u

2(X) = 1. On suppose le résultat vrai pour toutp, (0?p?n).

On a la relation(R):u2n+2(X) = (X-2)u2n(X)-u2n-2(X). Nous transformons de deux manières le deuxième membre de cette égalité.

PosonsY:= 4-X. Nous obtenons

u

2n+2(4-Y) = (2-Y)u2n(4-Y)-u2n-2(4-Y),

d"où : u

2n+2(4-X) = (2-X)u2n(X)-u2n-2(4-X).

D"un autre coté, d"après l"hypothèse de récurrence, nous avons : u

2n+2(X) = (X-2)(-1)n-1u2n(4-X) + (-1)n-1u2n-2(4-X)

u

2n+2(X) = (-1)n-1((X-2)u2n(4-X) +u2n-2(4-X))

u

2n+2(X) = (-1)n((2-X)u2n(4-X)-u2n-2(4-X))

u

2n+2(X) = (-1)nu2n+2(4-X).

Le résultat est donc vrai pour toutn.

Corollaire 2.Sipest impair, on a :

u

2p(X) = (-1)p-1

2up(X)up(4-X).(17)

4 Démonstration.On au2p(X) =up(X)(up+1(X)-up-1(X))(formule (A5)). Si p= 2q+1, alorsup+1(X) =u2q+2(X) = (-1)qu2q+2(4-X)etup-1(X) =u2q(X) = (-1)q-1u2q(4-X)doncup+1(X)-up-1(X) = (-1)q(u2q+2)(4-X)+u2q(4-X)) = (-1)qu2q+1(4-X)d"après (A1).

Finalement,u2p(X) = (-1)p-1

2up(X)up(4-X)

Corollaire 3.Siαest une racine devn(X), alors4-αest une racine devn?(X) Démonstration.C"est clair d"après la proposition 5 et les corollaires 1 et 2.

Proposition 6.On a les formules :?(n,p)?Z2,

u

2n(X) =up(X)u2n+1-p(X)-up-1(X)u2n-p(X).(18)

u

2n+1(X) =u2p+1(X)u2n+1-2p(X)-Xu2p(X)u2n-2p(X)

u

2n-1(X) =u2p-1(X)u2n+1-2p(X)-Xu2p-2(X)u2n-2p(X)

Démonstration.1) On pose, pour cette démonstration seulement, u

2n,p(X) :=up(X)u2n+1-p(X)-up-1(X)u2n-p(X)

et on montre queu2n,p(X)ne dépend pas dep. Nous distinguons deux cas suivant la parité dep. - Sipest pair, on aup(X) =up-1(X)-up-2(X)d"après (A1) donc u

2n,p(X) = (up-1(X)-up-2(X))u2n+1-p(X)-up-1(X)u2n-p(X)

=up-1(X)u2n+2-p(X)-up-2(X)u2n+1-p(X) =u2n,p-1(X) en utilisant (A1). - Sipest impair, on aup(X) =Xup-1(X)-up-2(X)d"après (A2) donc u

2n,p(X) = (Xup-1(X)-up-2(X))u2n+1-p(X)up-1(X)u2n-p(X)

=up-1(X)u2n+2-p(X)-up-2(X)u2n+1-p(X) =u2n,p-1(X) en utilisant (A2). 5 Il en résulte queu2n,p(X)ne dépend pas dep. Commeu2n,0(X) =u0(X)u2n+1(X)- u -1(X)u2n(X) =u2n(X)caru0(X) = 0et-u-1(X) =u1(X) = 1, nous avons le résultat.

2) On pose, pour cette démonstration seulement,

u

2n+1,2q(X) :=u2q+1(X)u2n+1-2q(X)-Xu2q(X)u2n-2q(X)

et u

2n+1,2q-1(X) :=Xu2q(X)u2n+2-2q(X)-u2q-1(X)u2n+1-2q(X).

Commeu2q+1(X) =Xu2q(X)-u2q-1(X), nous obtenons

u

2n+1,2q(X) =Xu2q(X)(u2n+1-2q(X)-u2n-2q(X))-u2q-1(X)u2n+1-2q(X)

=Xu2q(X)u2n+2-2q(X)-u2q-1(X)u2n+1-2q(X) =u2n,2q-1.

Commeu2q(X) =u2q-1(X)-u2q-2(X), nous obtenons

u

2n+1,2q-1(X) =X(u2q-1(X)-u2q-2(X))u2n+2-2q(X)-u2q-1(X)u2n+1-2q(X)

=u2n+1,2(q-1)(X). Il en résulte queu2n+1,p(X)(ppair ou impair) ne dépend pas dep. Nous avons u

2n+1,0(X) =u1(X)u2n+1(X)-Xu0(X)u2n(X) =u2n+1(X)

d"où le résultat.

3) A partir des formules (19), on changenenn-1etpenp-2pour obtenir les

formules (20).

Corollaire 4.On a les formules :?n?Z,

u

4n+1(X) =u22n+1(X)-Xu22n(X)

=Xu2n+2(X)u2n(X)-u2n+1(X)u2n-1(X)(21) u

4n-1(X) =Xu22n(X)-u22n-1(X)

=u2n+1(X)u2n-1(X)-Xu2n(X)u2n-2(X).(22) Démonstration.Pour (21), on prendn= 2pdans (19). La formule (22) s"obtient

à partir de (21) en changeantnen-n.

Proposition 7.On a les formules :?n?Z,

u 2

2n+1(X)-1 =Xu2n(X)u2n+2(X)(23)

Xu 2

2n(X)-1 =u2n-1(X)u2n+1(X).(24)

6 Démonstration.La formule (24) est conséquence immédiate des formules (21)et (23). Pour démontrer (23), on procède par récurrence surnsin?0.

Sin= 0,12-1 = 0 =Xu0(X)u2(X)caru0(X) = 0.

Supposons (23) vraie pourn:u22n+1(X)-1 =Xu2n(X)u2n+2(X). Nous avons : u 2

2n+3(X)-1 = (Xu2n+2(X)-u2n+1(X))2-1

=X2u22n+2(X)-2Xu2n+2(X)u2n+1(X) +u22n+1(X)-1 =X2u22n+2(X)-2Xu2n+2(X)u2n+1(X) +Xu2n(X)u2n+2(X) =Xu2n+2(X)(Xu2n+2(X)-2u2n+1(X) +u2n(X)) =Xu2n+2(X)(u2n+3(X)-u2n+2(X)) =Xu2n+2(X)u2n+4(X) en utilisant(A1)et(A2). Commeu-m(X) =-um(X), on vérifie sans peine que(23) est vraie pournnégatif.

Corollaire 5.On a les formules :?n?Z,

u

4n+1(X)-u4n-1(X) = 2-X(4-X)u22n(X);(25)

u

4n+3(X)-u4n+1(X) = 2-(4-X)u22n+1(X).(26)

Démonstration.D"après les formules (21) et (22) nous avons : u

4n+1(X)-u4n-1(X) =Xu2n(X)(u2n+2(X) +u2n-2(X))-2u2n+1(X)u2n-1(X)

=X(X-2)u22n(X)-2u2n+1(X)u2n-1(X) en utilisant la relation(AR). D"après (24), on a2u2n+1(X)u2n-1(X) = 2Xu22n(X)-2donc u

4n+1(X)-u4n-1(X) = 2 +X(X-4)u22n(X) = 2-X(4-X)u22n(X).

De même nous avons :

u

4n+3(X)-u4n+1(X) =u2n+3(X)u2n+1(X) +u2n+1(X)u2n-1(X)-2Xu2n+2(X)u2n(X)

=u2n+1(X)(u2n+3(X) +u2n+1(X))-2(u22n+1(X)-1) = 2-(4-X)u22n+1(X) en procédant comme ci-dessus. 7 Proposition 8.On a les formules :?n?Z: Sinest pair u n-1(X)u2n(X)-un(X)u2n-1(X) =-un(X).(27) Xu n(X)u2n(X)-un+1(X)u2n-1(X) =-un-1(X).(28)

Sinest impair

Xu n-1(X)u2n(X)-un(X)u2n-1(X) =-un(X),(29) u n(X)u2n(X)-un+1(X)u2n-1(X) =-un-1(X).(30)

Démonstration.1) on suppose quenest pair.

Posons, pour cette démonstration seulement,

A:=un-1(X)u2n(X)-un(X)u2n-1(X).

Commeu2n(X) =un(X)(un+1(X)-un-1(X)), nous obtenons

D"après (22),u2n-1(X) +u2n-1(X) =Xu2n(X)donc

A=un(X)(un+1(X)un-1(X)-Xu2n(X)) =-un(X).

Posons :

B:=Xun(X)u2n(X)-un+1(X)u2n-1(X).

Alors :

=un+1(X)u2n-1(X)-Xu2n(X)un-1(X) =un-1(X)(un+1(X)un-1(X)-Xu2n(X)) =-un-1(X).

2) On suppose quenest impair.

Posons :

C:=un-1(X)u2n(X)-un(X)u2n-1(X).

Alors :

=un(X)(-1 +u2n(X)-Xu2n-1(X)-u2n-1(X)) =-un(X). 8

Posons :

D:=un(X)u2n(X)-un+1(X)u2n-1(X).

Alors :

=un+1(X)(u2n(X)-u2n-1(X))-u2n(X)un-1(X) =un+1(X)Xu2n-1(X)-u2n(X)un-1(X) =un-1(X)(Xun+1(X)un-1(X)-u2n(X)) =-un-1(X) en utilisant (23) et (21).

1.2 Propriétés des racines devp(X).

Soitnun entier et soitvn(X)le facteur primitif deun(X). - Sin= 2p+ 1, les racines devn(X)sont les4cos2kπ

2p+1avec1?k?pet

(k,2p+ 1) = 1; - sin= 2p, les racines devn(X)sont les4cos2kπ

2pavec1?k?p-1et

(k,2p) = 1. Proposition 9.Soientpun entier?2etγune racine dev2p(X). Alors :

1.?k,0?k?p,u2p-k(γ) =uk(γ);

2.?k,0?k < p,?l?N,u2lp+k(γ) = (-1)luk(γ).

Démonstration.1) On au2p(γ)) =up(γ)(up+1(γ)-up-1(γ))(formule (9)), donc commeup(γ)?= 0etu2p(γ) =v2p(γ) = 0, nous obtenonsup+1(γ) =up-1(γ). Pour obtenir le résultat, nous effectuons une récurrence descendante surk. Sik=p,

2p-k=pet sik=p-1, c"est la remarque initiale.

Supposons le résultat vrai pour toutl,k+ 1?l?p:u2p-l(γ) =ul(γ). - Sikest pair, u

2p-k(γ) =u2p-(k+1)(γ)-u2p-(k+2)(γ)

=uk+1(γ)-uk+2(γ) =uk(γ) en utilisant(A1). - Sikest impair, u

2p-k(γ) =γu2p-(k+1)(γ)-u2p-(k+2)(γ)

=γuk+1(γ)-uk+2(γ) =uk(γ) en utilisant(A2). 9

2) On voit ainsi queu2p-1(γ) =u1(γ) = 1et, comme0 =u2p+1(γ)-γu2p(γ) +

u

2p-1(γ), nous obtenonsu2p+1(γ) =-1.

D"après les formules(6) et (7), nous avons?m?Z,up+2m(γ) +up-2m(γ) = 0. Si0< m <2p, nous en déduisons queu2p+m(γ) =-u2p-m(γ) =-um(γ). Nous supposons que2pne divise pasmet que2p < m. Divisonsmpar2p: m= 2qp+ravec0< r <2p. Nous obtenons alors : u

2p+m(γ) =u2p(q+1)+r(γ) =-u2p-2qp-r(γ) =u2p(q-1)+r(γ).

Siqest pair, nous auronsu2p+m(γ) =u2p+r(γ) =-ur(γ)tandis que siqest impair, nous auronsu2p+m(γ) =ur(γ). Doncu2p(q+1)(γ) = (-1)q+1ur(γ). commeu2p-r(γ) =ur(γ)d"après le 1), nous avons le résultat. Proposition 10.Soitγune racine dev2p(X). Alors :

1) Sipest impair, on a pourk? {0,1,...,p},

?4-γ 2? u p(γ)up-k(γ) =uk+1(γ)-uk-1(γ).(31) En particulier(4-γ)u2p(γ) = 4et(4-γ)up(γ)up-1(γ) = 2.

2) Sipest pair, on a pour0?k 2,

γ(4-γ)

2up(γ)up-2k(γ) =u2k+1(γ)-u2k-1(γ)(32)

et ?4-γ 2? u p(γ)up-(2k+1)(γ) =u2k+2(γ)-u2k(γ)(33) En particulierγ(4-γ)u2p(γ) = 4et(4-γ)up(γ)up-1(γ) = 2. Démonstration.1) Supposonspimpair. Nous montrons la relation par récurrence surk. On aup-1(γ) =up+1(γ)et, commepest impair,up(γ) = 2up-1(γ)en utilisant (A1). Maintenant4u2p(γ)-4 = 4γup-1(γ)up+1(γ)(formule (23)), d"où4u2p(γ)-4 =γu2p(γ) et nous avons le résultat(4-γ)u2p(γ) = 4. Commeu1(γ)-u-1(γ) = 2, c"est la formule cherchée pourk= 0. Remplaçonsup(γ)par2up-1(γ)dans la formule ci-dessus pour obtenir(4-γ)up(γ)up-1(γ) = 2. Commeu2(γ)-u0(γ) = 1, nous obtenons le résultat pourk= 1. 10 Nous supposons maintenant le résultat vrai jusqu"àk. Sikest pair,p-(k+ 1)est pair, doncup-(k+1)(γ) =up-k(γ)-up-(k-1)(γ), d"où?4-γ 2? u p(γ)up-(k+1)(γ) =?4-γ2? u p(γ)(up-k(γ)-up-(k-1)(γ)) = (uk+1(γ)-uk-1(γ))-(uk(γ)-uk-2(γ)) =uk+2(γ)-uk(γ). Sikest impair,p-(k+1)est impair, doncup-(k+1)(γ) =γup-k(γ)-up-(k-1)(γ), d"où?4-γ 2? u p(γ)up-(k+1)(γ) =?4-γ2? u p(γ)(γup-k(γ)-up-(k-1)(γ)) = (γuk+1(γ)-γuk-1(γ))-(uk(γ)-uk-2(γ)) =uk+2(γ)-uk(γ).

Le résultat est donc vrai pour toutk.

2) Supposonsppair. Comme ci-dessus on aup-1(γ) =up+1(γ)et, commepest

pair,γup(γ) = 2up-1(γ). Maintenant4γu2p(γ)-4 =γ2u2p(γ)et nous avons le résultat :γ(4-γ)u2p(γ) = 4.

C"est la formule annoncée pourk= 0.

Pour obtenir le cask= 1, on remplaceγup(γ)par2up-1(γ)dans la formule ci-dessus. Nous montrons les relations par récurrence surk. Nous supposons maintenant le résultat vrai jusqu"àk-1. Nous avonsup-2k(γ) =up-(2k-1)(γ)-up-(2k-2)(γ)donc u p(γ)up-2k(γ) =up(γ)up-(2k-1)(γ)-up(γ)up-(2k-2)(γ) =?2

4-γ?

2 2

γ(4-γ)(u2k+1(γ)-u2k-1(γ)).

Nous avonsup-(2k+1)(γ) =γup-2k(γ)-up-(2k-1)(γ)doncquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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