[PDF] Representations de reflexion de groupes de Coxeter--Quatrieme

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arXiv:2002.09883v1 [math.GR] 23 Feb 2020

Représentations de réflexion de groupes de

Coxeter

Quatrième partie: La représentationRest

réductible. Généralités

François ZARA

Résumé

Dans cette quatrième partie, (avec les notations des parties précédentes) on fait les hypothèses suivantes :(W,S)est un système de Coxeter irréduc- tible,2-sphérique etSest fini. SoitR:W→GL(M)une représentation de réflexion réductible deW. On poseG:=ImR. Chaque sous-espace deM ?=M)fixé parGest contenu dansCM(G). On poseM?:=M/CM(G)et N(G) :={g|g?G,gfixeM?}. On appelleN(G)le sous-groupe des transla- tions deG. Un des buts de cette partie est d"étudierM?etN(G).

Abstract

In this fourth part, (with the notations of the preceding parts) we make the following hypothesis:(W,S)is a Coxeter system, irreducible,2-spherical andSis finite. LetR:W→GL(M)be a reducible reflection representa- tion ofW. LetG:=ImR. Each sub-space ofM(?=M)stabilize by Gis contained inCM(G). LetM?:=M/CM(G)andN(G) :={g|g? G,gacts trivially onM?. We callN(G)the translation sub-group ofG. One of the goals of this part is to studyM?andN(G).

1 Introduction

Dans toute cette partie on fait les hypothèses suivantes :(W,S)est un système de Coxeter satisfaisant aux conditions H(Cox) etR:W→GL(M)est une re- présentation de réflexion réductible. On poseG:=ImR. Le but est d"étudier la structure deG.

Mots clés et phrases : groupes de Coxeter, groupes de réflexion.Représentation de réflexion

réductible. Mathematics Subject Classification. 20F55,22E40,51F15,33C45. 1

1.1 Le théorème fondamentalThéorème 1.Soit(W,S)un système de Coxeter satisfaisant aux hypothèses

H(Cox) et soitR:W→GL(M)une représentation de réflexion deWobtenue par la construction fondamentale. On poseG:=ImR. Alors :

1.H:=?

s?SH(s)est le plus grand sous-espace deMstable parG.

2. La suite(?)deKG-modules, oùM?:=M/?

s?SH(s)est exacte et non scindée : (?) 0→? s?SH(s)→MπM--→M?→0 oùπMest la projection canonique.

3. La représentationRest irréductible si et seulement siH={0}, si et seule-

ment siΔ(G)?={0}.

4. On suppose queRest réductible. AlorsGopère surM?et l"on a la suite

exacte(??): (??){1} →N(G)→Gπ-→G?→ {1} oùN(G) :={g| ?G,gopère trivialement surM?}= kerπ,G?:=G/N(G) etπ, la projection canonique, est un bon morphisme. De plusM?est unKG-module simple et unKG?-module simple.G?opère comme un groupe de réflexion surM?.

5.N(G)est un groupe commutatif sans torsion et tous ses éléments non tri-

viaux sont des applications unipotentes. Démonstration.1) SoitVun sous-espace deMstable parG. SiV?? s?SH(s) alors?v?V,?s?Stels ques(v)?Vets(v)?=v. Dans ces conditionss(v)-v= λa s(λ?K?) est dansVetas?V. CommeΓ(G)est connexe, en appliquant les différents éléments deSàas, nous voyons que?t?S,at?V. Il en résulte queV=M. Il est clair queH?CM(G)et queCM(G)est stable parG, donc

H=CM(G).

Les 2), 3) sont clairs.

4) Nous montrons queπest un bon morphisme. Soientsettdeux éléments deS.

par hypothèsestest d"ordre finincarWest2-sphérique. Alorsπ(st)est d"ordre n ?oùn?est un diviseur denetπ(st)n?est d"ordre1donc(st)n??N(G), mais tous les éléments non triviaux deN(G)sont d"ordre infini et(st)n?est d"ordre fini, donc(st)n?= 1etn?= 1, d"où le résultat.

5) Comme les éléments deN(G)opèrent trivialement surHetM/H, toutes leurs

valeurs propres sont égales à1, donc ce sont des applications unipotentes. On voit aussi queN(G)est commutatif et sans torsion. 2 Corollaire 1.SiG?est un groupe de Coxeter2-sphérique alors la suite(??)est scindée.

Démonstration.

Notation 1.Avec les hypothèses du théorème précédent, siRest réductible, on dit queRest une représentation de réflexionaffinedeW, queGest un groupe de réflexionaffineet queN(G)est son sous-groupe destranslations. Le problème ici est que l"on ne sait pas siN(G)est non trivial ou non.

1.2 Des bases adaptées

Dans toute cette section(W,S)est un système de Coxeter qui satisfait aux conditions H(Cox). SoitR:W→GL(M)une représentation de réflexionré- ductibledeW. On garde les notations précédentes et on utilise la construction fondamentale. Pour pouvoir faire des calculs explicites, on va choisir unebase deHet uns base deMqui ont de bonnes propriétés. On suppose quen0:= dimH?1et l"on pose n

1:=n-n0.

Remarque1.On a toujoursn0?n1.

Démonstration.En effet si l"on avaitn1< n0, le groupeG?=π(G)n"opérerait pas irréductiblement surM?(=M/H). Il en résulte qu"il existeS1?S,|S1|=n1tel queΔ(< S1>)?= 0. Notation 2.On poseS0:=S-S1etGi:=< Si>(i= 0,1). On poseS1:= {si1,si2,···,sin1}et on suppose quei1< i2<···< in1.

Il est clair queπ(G1)?G1.

SoitM1:=< ai1,ai2,···,ain1>. On aM=H?M1. Soitπ1:M→M/M1la projection canonique. On aπ1(M) =π1(H).On choisitpouri? {1,2,···,n} - {i1,i2,···,in1},bidansHde telle sorte que l"on aitπ1(bi) =π1(ai). Alors

(bj1,bj2,···,bjn0)est une base deHetB:= (bj1,bj2,···,bjn0;ai1,ai2,···,ain1)est

une base deM. On an

0:={j1,j2,···,jn0}et on suppose quej1< j2<···< jn0. On pose

n

1:={i1,i2,···,in1}etn={1,2,···,n}. Sij?n0, on peut écrire :

b j=aj+? k?n 1ρ k jak(1) Le théorème suivant donne la valeur desρkjen fonction des coefficients de Cartan c i,jet aussi les différentes relations existant entre eux. 3 Théorème 2.Avec les hypothèses et notations précédentes, on a : 1)

Car(G1)((((((ρ

i1j

1ρi2j

1···ρi

n1j 1

ρi1j

2ρi2j

2···ρi

n1j

2.........

i1j n0ρi2j n0···ρi n1j n0)))))) =-(((((c i1,j1ci1,j2···ci1,jn0c i2,j1ci2,j2···ci2,jn0......... c in1,j1cin1,j2···cin1,jn0))))) (2)

2) Une condition nécéssaire et suffisante pour queHsoit de dimensionn0est :

(c j1,i1cj1,i2···cj1,in1c j2,i1cj2,i2···cj2,in1......... c jn0,i1cjno,i2···cjn0,in1)))))

Car(G1)-1(((((c

i1,j1ci1,j2···ci1,jn0c i2,j1ci2,j2···ci2,jn0......... c in1,j1cin1,j2···cin1,jn0))))) =Car(G0). (3)

Démonstration.Soientl?n

etj?n0. On a s l(bj) =bj=aj+? k?n 1ρ k jak= (aj-cl,jal) +? k?n1ρ k j(ak-cl,kaj).

Donc on a les relations :

?l?n ,?j?n0,cl,j+? k?n 1ρ k jcl,k= 0(4) qui sont nécessaires et suffisantes pour queHsoit de dimensionn0. Les formules de l"énoncé sont simplement les transcriptions matricielles des relations (4). Avec les hypothèses et notations précédentes, on voit quen1est le rang de la matriceCar(G). Si l"on prend n"importe quelle sous-matrice carréeTdeCar(G) de dimensionn?avecn1< n?, alors le rang deTest encoren1. Ces remarques démontrent la proposition suivante : Proposition 1.Si l"on prend un sous-ensembleS?deStel que|S?|> n1et si G ?=< S?>etR?est la restriction deRàG?opérant sur< as|s?S?>, alorsR? est une représentation de réflexion réductible deG?. Démonstration.CarCar(G?)est une sous-matrice deCar(G). Nous généralisons légèrement le problème. Nous travaillons dans la baseB. Soit

G:={g|g?GL(M),gfixeH}. La matrice deg?Gest :

?In0A(g)

0P(g)?

4 oùIn0est la matrice identité d"ordren0,A(g)?M(n0,n1)(M(n0,n1)étant l"espace vectoriel des matrices àn0lignes etn1colonnes à coefficients dansK) etP(g)est un élément deGLn1(K).

On pose

Z:={z?G|zopère comme une opération scalaire surM?},(5)

N:={n?Z|nopère comme l"identité surM?},(6)

Z ?:={z?Z|zopère comme-1surM?}.(7)

Sigetg?sont dansG, alors

gg ?=?In0A(g?) +A(g)P(g)

0P(g)p(g?)?

doncP:G→GLn1(K)est un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est le groupeN. On a aussi la formuleA(gg?) =A(g?) +A(g)P(g?), de là on déduit que g -1=?In0-A(g)P(g)-1

0P(g)-1.?

Soientheth?dansN. Alors

hh ?=?In0A(h) +A(h?) 0In1? avecA(h)?M(n0,n1)etA:N→M(n0,n1) :h?→A(h)est un isomorphisme de groupes.

Notons le résultat suivant :

Proposition 2.Avec les hypothèses et notations du début, on a :

1)Gopère à droite surM(n0,n1)et sous l"action deGchaque sous-espaceMide

M(n0,n1)de la forme((0

u

1u2···un1-1un10))

où les éléments non nuls sont sur la i-ième ligne, est stable parG. On obtient ainsi une décomposition en somme directe deKG-modules simplesMi(1?i?n0)de

M(n0,n1).

2) SiNi=A-1(Mi), alors chaqueNiest unKG-module simple etN? ?n0i=1Ni.

Démonstration.Soientg?Geth?N. Alors

ghg -1=?In0A(h)P(g)-1 0In1? doncGopère à droite surM(n0,n1)et chaqueMiest stable sous l"action deG.

Tout le reste est clair.

5 Avec les notations précédentes, la formuleA(ghg-1) =A(h)P(g)-1montre que

AestG-équivariante.

Nous donnons maintenant une condition suffisante qui assure queN(G)?={1}. Proposition 3.Avec les hypothèses et notations précédentes, siCG(G1)?={1}, en particulier siZ(G1)?={1}, on aN(G)?={1}. Démonstration.Siz?CG(G1)- {1}, alorszopère comme une opération scalaire surM?, doncz?Z∩G. Il en résulte que?g?G,[z,g]?N∩Get commez??Z(G) (qui est trivial), il existeg?Gtel que[z,g]?= 1, doncN(G)?={1}. Corollaire 2.Avec les hypothèses et notations précédentes, on suppose enplus quen= 3. AlorsN(G)?={1}si2|pqr. Démonstration.Sin= 3, on an0= 1etn1= 2donc ou bienG1est isomorphe àC2×C2auquel cas le résultat est vrai ou bienG1est un groupe diédral et ceci quelque soit le choix deS1. Comme2|pqr, l"un de ces groupes diédraux est d"ordre multiple de4, donc son centre est non trivial et nous appliquons la proposition 2 pour avoir le résultat. Proposition 4.SoientWun groupe de Coxeter satisfaisant aux conditionsH(Cox) etR:→GL(M)une représentation de réflexion affine. On poseG:=ImRet on suppose queN(G)?= 1. Soientz?Z?etΓ :=< G,z >. Alors :

1)N(Γ)=N(G).

2)|Γ/G|?2.

Démonstration.Il est clair queN(G)?ΓcarGnormaliseN(G)etzopère comme -1surN(G). Soitπ: Γ→Γ/N(G)la projection canonique. Supposons que N(Γ)?=N(G)alors nous obtenons une contradiction. En effetπ(N(Γ))est un sous- groupe normal deSL2(M?)puisqueπ(N(Γ))est formé d"éléments de déterminants

1. Il est clair queN(Γ)?= Γ. les seuls sous-groupes normaux non triviaux de

SL

2(M?)sont contenus dans son centre et ils sont formés d"applications scalaires.

Comme tous les éléments deπ(N(Γ))n"ont que1comme valeur propre, ils sont triviaux etπ(N(Γ))=1: on aN(Γ)=N(G). Comme?g?G,[z,g]?N(Γ) = N(G), nous voyons queznormaliseGd"où le résultat|Γ/G|?2. Corollaire 3.Avec les hypothèses et notations précédentes on a :

1)NetZ?normalisentG.

2) On a l"une des possibilités suivantes :Z??GouZ?∩G=∅.

Démonstration.1) Commezétait quelconque dans la proposition on voit queZ? normaliseGet commeN?,NnormaliseG.

2) Si?z?G?Z?, alors?z??Z?,zz??N(G), doncz??GetZ??G.

6

1.3 Opérations du groupeG

On garde les notations précédentes. Il est clair queGest un sous-groupe deG et queN(G)est un sous-groupe deN. Le groupeGopère surN(G)(et surN) par conjugaison et surM(n0,n1)par multiplication à droite. On noteg.l"opération de gsurM(n0,n1). L"applicationP:G→GLn1(K)est un morphisme de groupes dont le noyau est

N(G)et l"image estG?.

Nous donnons maintenant les matrices des éléments deSdans la baseBdeM. - Sii?n

1, on a

s i=?In00

0P(si)?

Sik?n

1, on sait quesi(ak) =ak-cikaidoncP(si) =In1+T(si)où

T(si) =((0

-cii1-cii2··· -ciin1-1-ciin10)) et les éléments non nuls deT(si)sont situés sur la i-ième ligne. - Sij?n

0et sii?n1, on asj(ai) =ai-cjiaj, maisbj=aj+?

k?n1ρkjaket l"on obtientsj(ai) =ai-cjibj+cji? k?n

1ρkjak. On en déduit que

s j=?In0A(sj)

0P(sj)?

oùA(sj)?M(n0,n1)et toutes les lignes deA(sj)sont formées de0à l"exception de la j-ième qui est(-cji1,-cji2,···,-cjin1).

En écrivant ques2j=idM, on obtient

s 2 j=?In00 0In1? =?In0A(sj) +A(sj)P(sj) 0In1? d"où la relation : (1)A(sj) +A(sj)P(sj) = 0. On aP(sj) =In1+T(sj)où

T(sj) =(((((c

c c 7 s 0In1?

1.4 Le casn0= 1

Nous étudions en détail le casn0= 1puis nous passerons au casn0>1. CommeP(G)est un sous-groupe deGLn1(K),P(G)stabilise chacun desMj (j?n

0)et pour voir commentP(G)opère surMj, nous allons d"abord supposer

quen

0={1}(doncn1={2,3,···,n}).

Par hypothèseHest de dimension1engendré parboù, en posant pour simplifier les notationsρi:=ρi1(2?i?n), b=a1+n? i=2ρ iai et lesρisont donnés par (en utilisant la relation (2) du théorème 2) :

Car(G1)(((ρ

2... n))) =-(((c 21...
c n1)))

De plus on a les relations :

c12c13···c1n?Car(G1)-1(((((c 21
c 31...
c n1))))) = (2). - Sii?n 1,

T(si) =((

0 -ci2-ci3··· -ci(n-1)-cin 0)) où les éléments non nuls sont sur la i-ième ligne. 8

T(s1) =(((((c

12ρ2c13ρ2···c1nρ2

c c

12ρnc13ρn···c1nρn)))))

De plus :

1). Dans la suite , on poseci:= (-ci2-ci3··· -ci(n-1)-cin)(1?i?n); on obtient ainsi les formules : [si,ck] =-ckici(i?n ,k?n). Théorème 3.Avec les hypothèses et notations précédentes, on a :

1)(c2,c3,···,cn)est une base deM(n0,n1)(=M(1,n-1)).

2) On ac1=?ni=2λiciet lesλisont donnés par

3)M(n0,n1)est unKG-module simple isomorphe auKG-moduleM?. De plusG

opère comme un groupe de réflexion sur lui. Démonstration.1) On adet(c2,c3,···,cn) = det(Car(G1)) = Δ(G1)?= 0par hypothèse, donc(c2,c3,···,cn)est un système libre. CommeM(n0,n1)est de dimensionn-1,(c2,c3,···,cn)est une base deM(n0,n1).

2) Sic1=?ni=2λici, alors lesλisont donnés par les formules de l"énoncé.

3) SoientM?=M/HetπM:M→M?la projection canonique. On posea?i:=

M(ai) (i?n

1). Alors(a?i)i?n1est une base deM?. On définit?:M?→M(n0,n1)

par?(a?i) :=ci(i?n 1). Sik?net sii?n1, on ask.(πM(ai)) =a?i-ckia?k=πM(sk(ai)); s k.?(a?i) =sk.ci=ci-ckick=?(a?i-ckia?k) =?(sk.a?i), donc?estG-équivariante.

On a le diagramme deKG-modules :

M

M(n0,n1)

M ??◦πM M CommeM?est unKG-module simple, on voit queM(n0,n1)est aussi unKG- module simple isomorphe àM?. dans ces conditions, il est clair queGopère comme un groupe de réflexions surM(n0,n1). 9

Nous étudions maintenant le cas général.

Théorème 4.On suppose quen0?1. Alors

1)?j?n

0,Mjest unKG-module de réflexion simple isomorphe àM?(en tant

queKG-module).

2) SiN(G)?={1}on a

2.A(N(G))?ZK=M(n0,n1).

Démonstration.1) CommeP(G)est un sous-groupe deGLn1(K),P(G)stabilise chaqueMj(j?n 0).

Soitj?n

0. On appelleci(j)l"élément suivant deM, oùi?n1:

c i(j) =((0 -cii1-cii2··· -cii(n1-1)-ciin10)) Soit un élément deMj. Sii?n Nous avons les mêmes formules que dans le casn0= 1, d"où le résultat.

2) Le groupeGopère surN(G)par conjugaison et surM(n0,n1)par translations à

droite. De plusA|N(G):N(G)→A(N(G))est un isomorphisme de groupes, donc A(N(G))se décompose en somme directe de sous-groupes sous l"actiondeG:

A(N(G)) =?j?n

0(A(N(G))∩Mj).

On poseA(N(G))j:=A(N(G))∩MjetN(G)j:=A-1(A(N(G))j). Il en résulte que :

N(G) =?j?n

0N(G)j

et chaqueN(G)jest un sous-groupe normal deGqui n"est pas central carZ(G) = {1}.

ChaqueMj(j?n

0) est un espace vectoriel de dimensionn1et chaques?Sopère

linéairement sur lui; son polynôme caractéristique estPs(X) = (X+1)(X-1)n1-1 donc chaquesdansSopère comme une réflexion surMjet[s,Mj]est de dimension

1. Pour toutsdansSon donne un générateur de[s,Mj].

Notation 3.Soitj?n

0, sii?n, on pose

c i(j) =((0 -cii1-cii2··· -ciin1-1-ciin10)) 10 les éléments non nuls étant sur la j-ième ligne.

On montre maintenant que?i?n

on a[si,Mj] =< ci(j)>. - Soitj?n

0. Pour touth?N(G)j, il existesdansStel que[s,h]?={1},

doncs[s,h]s-1= [h,s] = [s,h]-1:?s?S,?h?N(G)jtel queshs-1=h-1car

Z(G) ={1}.

Soitsk?n

0. Comme on a la relationA(sk) +A(sk)P(sk) = 0on voit que

[sk,Mj] =< A(sk)>carA(sk)?= 0sinon< G1,sk>opérerait irréductiblement surMcontrairement au choix deG1. De plus, on voit queA(sk) =ck(j). On a le résultat dans ce cas. - Soiti?n

1. AlorsT(si) =ci(j)et sih?N(G)jon a

A(h) =((

0 h

1h2···hn1-1hn10))

où les éléments non nuls sont sur la j-ième ligne. On aA(h)T(si) =hici(j)et comme on a la relationA(h)(In1+P(si)) = 0 = A(h)(2In1+T(si)), on obtient2A(h) =-hici(j)etA(h) =-hi

2ci(j). Il en résulte

aussitôt que[si,Mj] =< ci(j)>.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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