Fiche aide-mémoire 7 : Commutant dune matrice. 1 Des remarques
On appelle commutant de A l'ensemble des matrices M qui commutent avec A Pour trouver le commutant d'une matrice diagonale (ou d'une matrice “simple” ...
Commutant dune matrice
Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On Dans cette question D est une matrice diagonale de Mn(IK)
corrreduc - copie
morphismes de E qui commutent avec f. C'est un sous-espace vectoriel de L(E). (a) Trouver les matrices qui commutent avec une matrice car- rée diagonale à
Commutant d’une matrice
Soit M une matrice commutant avec toutes les matrices orthogonales de Mn(IK). On Dans cette question D est une matrice diagonale de Mn(IK)
MPSI 2 DS 07
Justifier sans calcul que deux solutions X et X commutent. Réciproquement une matrice diagonale commute avec toute matrice diagonale. Q 8 Montrons que.
Ex 1 classique On consid`ere la matrice J ? Mn(R) remplie de 1: J
On note C l'ensemble des matrices qui commutent avec A. Montrer que C est un On suppose que A commute avec toutes les matrices diagonales. Montrer que A.
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction
N est niloptente d'indice 3 et elle commute avec la matrice I3. On peut donc triangulaire supérieure commutant avec sa transposée. Nous avons.
calcul-matriciel.pdf
(b) Même question avec les matrices commutant avec toutes celles de GLn(K). représentative de f est une matrice diagonale D de coefficients diagonaux :.
MATRICES
26 oct. 2014 Matrice `a diagonale strictement dominante. 9. Matrice nilpotente. 10. Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices.
Commutant de certaine matrice Dans ce problème n est un entier
on appelle commutant de A l'ensemble
Problème : Commutant de certaine matrice
Dans ce problème,nest un entier naturel non nul etKest l"un des corpsRouC. Pour toutA2 M n(K), on app ellecomm utantde A, l"ensemble, notéC(A), des matrices deMn(K)commutant avec A, on app ellep olynômeen A, toute matrice de la formeP(A), oùP2K[X]. L"ensemble des polynômes enAest notéK[A].Rappelons que siP=nX
k=0a kXkalorsP(A) =nX k=0a kAk L"objectif de ce problème est de calculer un certain nombre de commutant.Partie I : Préliminaires
1. Mon trerque, p ourtout A2 Mn(K),K[A]etC(A)sont des sous-espaces vectoriels deMn(K). 2. Mon trerque, p ourtout A2 Mn(K),K[A]etC(A)sont des sous-anneaux deMn(K). 3.Mon trerque, p ourtout A2 Mn(K),K[A] C(A).
4. Soit P2GLn(K). Montrer que la restriction àC(A)de l"application'définie par'(M) = P1MPest un isomorphisme deC(A)surC(P1AP).
Partie II : Étude d"un exemple
On poseA=0
@1 1 0 0 1 00 0 11
A 1.Calculer C(A).
2.Calculer la dimens ionde C(A).
3.Calculer (AI3)3. Est-il vrai queK[A] =C(A)?
Partie III : Commutant de certaine matrice diagonale SoitD2 Mn(K)diagonale de coefficients diagonauxd1;;dndeux à deux distincts. 1. Mon trerque l"ensem bledes matrices de C(D)est l"ensemble des matrices diagonales deMn(K). 2.En déduire la dimension d eC(D).
3.Mon trerque la fam ille(In;D;;Dn1)est libre.
Indication : On introduira un polynôme de degré6n1admettantnracines. 4.Est-il vrai que C(D) =K[D]?
Partie IV : Commutant d"une matrice diagonalisable à valeurs propres distinctesDans cette partie, on suppose queA2 Mn(K)est semblable à la matriceDde la partie précédente.
1.En utilisan tce qui précède, calculer C(A).
2.Calculer la dimen sionde C(A).
3.Est-il vrai K[A] =C(A)?
Partie V : Commutant d"une matrice diagonale
1SoitD2 Mn(K)diagonale, par blocs, de la formeD=0
B BB@d1Ip1(0)
d2Ip2...
(0)drIpr1 CCCAavecd1;;dr2
Kdistincts deux à deux.
Attention, on donne iciDpar blocs etp1++pr=n.
Par exemple, la matrice0
BB@4 0 0 0
0 5 0 0
0 0 6 0
0 0 0 61
CCAest de la forme0
@4I1(0) 5I1 (0) 6I21 A 1. Mon trerqu eC(D)est l"ensemble des matrices diagonales par blocs de la forme0 B @M 1(0) (0)Mr1 C A oùM12 Mp1(K);;Mr2 Mpr(K). 2.Calculer la dimens ionde C(D).
Indication : On introduira l"application
':Mp1(K) Mpr(K)! C(D) (M1;;Mr)7!0 B @M 1(0) (0)Mr1 C A: 3.Est-il vrai que K[D] =C(D)?
Partie VI : Commutant de certaine matrice nilpotenteDans cette partie, on suppose queN=0
BBBBB@0 00 0
1 00 0
0 10 0
0 01 01
CCCCCA2 M
n(K). Plus précisément, si l"on nommeni;jle coefficient d"indice(i;j)deNalors n i;j=1sij=i1;0sinon.
1.Calculer les puissa ncessuccessiv esd eN.
2.Calculer C(N).
3.Mon trerque (In;N;;Nn1)forme une base deC(N).
4.Est-il vrai que K[N] =C(N)?
Partie VII : Commutant d"une matrice élémentaire SoitEr;sla matrice élémentaire d"indice(r;s)deMn(K). 1.Déterminer C(Er;s).
2.Calculer la dimens ionde C(Er;s).
3.Est-il vrai que K[Er;s] =C(Er;s)?
* * * FIN DU SUJET * * * 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] matrice cours résumé
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