[PDF] MATRICES 26 oct. 2014 Matrice `a

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26-10- 2014J.F.C. Mat. p. 1MATRICES

I G

ENERALITES

1. Denitions

2. Matrices carrees particulieres

3. Transposee d'une matrice

II ADDITION ET MULTIPLICATION EXTERNE DANSMn;p(K)

1. Structure d'espace vectoriel deMn;p(K)

2. Base canonique deMn;p(K)

3. Des sous-espaces usuels deMn(K)

4. Les deux operations elementaires et la transposition

5. Les deux operations elementaires et la trace

III MATRICES ET APPLICATIONS LIN

EAIRES

1. Matrice d'une famille de vecteurs

2. Matrice d'une application lineaire

3. L'isomorphisme fondamental

4. Matrice d'une forme lineaire

IV RANG D'UNE MATRICE

1. Denition

2. Proprietes

V PRODUIT DE DEUX MATRICES

1. Denition

2. Produit matriciel et bases canoniques

3. Matrice de la composee de deux applications lineaires

4. Denition analytique d'une application lineaire

5. Proprietes usuelles des operations sur les matrices

6. Puissances d'une matrice carree

7. Produit de matrices particulieres

8. Polyn^omes de matrices

9. Polyn^omes annulateurs d'une matrice

10. Produit et trace

J.F.C. Mat. p. 2

VI MATRICES INVERSIBLES

1. Denition

2. Matrice inversible et isomorphisme

3. Caracterisations des matrices inversibles

4. Quelques proprietes

5. Inversibilite des matrices triangulaires et des matrices diagonales

6. Inversibilite des matrices d'ordre 2

7. Inversibilite de la transposee

8. Polyn^ome annulateur et inversion

VII CHANGEMENT DE BASE

1. Matrice de passage

2. Changement de base dans un espace vectoriel

3. Changement de base pour un endomorphisme

3'. Changement de base pour une application lineaire

4. Matrices semblables

VIII PRATIQUE DE L'INVERSIBILIT

E ET DE L'INVERSION

IX SAVOIR FAIRE

X COMPL

EMENTS

1.

Egalite de deux matrices

2. Une nouvelle caracterisation des bases en dimension nie

3. Simplication par une matrice inversible

4. Matrice de passage again

5. Matrice d'un endomorphisme deKn[X]

6. Encore du rang

7. Caracterisation des matrices de rang1

8. Matrice a diagonale strictement dominante

9. Matrice nilpotente

10. Commutant d'une matrice ou d'un ensemble de matrices

11. Exponentielle d'une matrice

12. Interpretation matricielle des operations elementaires dans la methode du pivot

XI DES PHRASES OU DES RH

ETORIQUES TOUTES FAITES

XII DES ERREURS

A NE PAS FAIRE

J.F.C. Mat. p. 3MATRICES

ISi vous trouvez quelques "coquilles" dans ces feuilles merci de me les signaler (jean-francois.cossutta@wanadoo.fr).

P

Mentionne des r´esultats particuli`erement utiles et souvent oubli´es dans la pratique des matrices...

⋆Mentionne des erreurs `a ne pas faire o`u des hypoth`eses importantes ou des mises en garde. SD Mentionne des r´esultats qu'il serait bon de savoir d´emontrer.

Dans ce qui suitKest le corps des r´eels ou des complexes,EetE′(et mˆemeE′′) sont desK-espaces vectoriels.

Sauf pr´ecisions n, p, q sont des ´el´ements deN∗. I G

ENERALITES

I1. Denitions

D´ef. 1

On appellematrice de type(n,p) ou de format (n,p) ou de taille (n,p) `a ´el´ements ou `a coefficients

dansKtoute application de [[1,n]]×[[1,p]] dansKou encore toute famille d'´el´ements deKindex´ee par

[[1,n]]×[[1,p]]. On noteMn;p(K) l'ensemble des matrices de type (n,p) `a ´el´ements dansK.

Un ´el´ementA= (ai;j)(i;j)∈[[1;n]]×[[1;p]]deMn;p(K) se repr´esente par un tableau rectangulaire denlignes et

pcolonnes o`u figure `a l'intersection de laiemeligne et de lajemecolonne:ai;j. Souvent on assimile la matrice et le tableau. On ´ecrit alors:

A= (ai;j)(i;j)∈[[1;n]]×[[1;p]]=

1;1a1;2···a1;j···a1;p

a a a DansA= (ai;j)(i;j)∈[[1;n]]×[[1;p]],iest l'indice de ligne etjcelui de colonne.

Le plus souvent au lieu de parler de l'´el´ementA= (ai;j)(i;j)∈[[1;n]]×[[1;p]]deMn;p(K), nous parlerons de l'´el´ement

A= (ai;j) deMn;p(K);ai;jestle terme g´en´eral ou l'´el´ement g´en´erique de la matriceA.

D´ef. 2

SoitA= (ai;j) un ´el´ement deMn;p(K).

Siiest un ´el´ement de [[1,n]], la matrice(ai;1ai;2... ai;p)deM1;p(K) est laiemeligne deA. Sijest un ´el´ement de [[1,p]], la matrice a 1;j a

2;j...

a deMn;1(K) est lajemecolonne deA.

J.F.C. Mat. p. 4

D´ef. 31. Les matrices de type (n,n) sont appel´eesmatrices carr´ees d'ordres n ou de taille n.

On noteMn(K) l'ensemble des matrices carr´ees d'ordren`a coefficients dansK.Mn(K) =Mn;n(K)!

SiA= (ai;j) est un ´el´ement deMn(K),a1;1,a2;2,...,an;nsontles ´el´ements ou coefficients diagonaux

de la matriceA.

2. Les matrices de type (1,n) sont appel´eesmatrices lignes.

3. Les matrices de type (n,1) sont appel´eesmatrices colonnes.

⋆Nous confondrons le plus souvent la matrice (a) deM1(K) avec l'´el´ementadeK.

Seconde ann´ee

D´ef. 4

SoitA= (ai;j) un ´el´ement deMn(K).

La trace deAest la somme des ´el´ements diagonaux deA. On la note Tr(A).

Tr(A) =n∑

i=1a i;i

I2. Matrices carrees particulieres

D´ef. 5

1.

Inest l'´el´ement (ai;j) deMn(K) tel que:∀i∈[[1,n]],ai;i= 1 et∀(i,j)∈[[1,n]]2, i̸=j⇒ai;j= 0;

on parle dematrice identit´eou dematrice unit´e.

2. SoitA= (ai;j) un ´el´ement deMn(K).

A= (ai;j) estscalairesi:∃λ∈K, A=λIn. A= (ai;j) estdiagonalesi:∀(i,j)∈[[1,n]]2, i̸=j⇒ai;j= 0. A= (ai;j) esttriangulaire sup´erieuresi:∀(i,j)∈[[1,n]]2, i > j⇒ai;j= 0. A= (ai;j) esttriangulaire inf´erieuresi:∀(i,j)∈[[1,n]]2, i < j⇒ai;j= 0. A= (ai;j) estsym´etriquesi:∀(i,j)∈[[1,n]]2, aj;i=ai;j. A= (ai;j) estantisym´etriquesi:∀(i,j)∈[[1,n]]2, aj;i=-ai;j.

Dans la suite sinest un ´el´ement deN∗et (a1,a2,...,an) un ´el´ement deKn, Diag(a1,a2,...,an) d´esignera la

matrice diagonale deMn(K) dont les ´el´ements diagonaux sont, dans l'ordre,a1,a2, ...,an.

I3. Transposee d'une matrice

D´ef. 6

SoitA= (ai;j) une matrice deMn;p(K).

La transpos´ee deAest la matrice (bi;j) deMp;n(K) d´efinie par:∀(i,j)∈[[1,p]]×[[1,n]], bi;j=aj;i.

On la note

tA.

Le programme de 2013 impose la notation

tAmais on trouve parfois dans les probl`emes de concours la notation A t.

Prop. 1

SoitAune matrice deMn(K).

Aest sym´etrique si et seulement sitA=A.

Aest antisym´etrique si et seulement sitA=-A.

J.F.C. Mat. p. 5

II ADDITION ET MULTIPLICATION EXTERNE DANSMn;p(K)

I1. Structure d'espace vectoriel deMn;p(K)

Th. 1 SiA= (ai;j) etB= (bi;j) sont deux ´el´ements deMn;p(K) etαun ´el´ement deK, on pose:

A+B= (ai;j+bi;j) etα·A= (αai;j).

(Mn;p(K),+,·) est un espace vectoriel surK

Dans la suite nous noterons 0

Mn;p(K)le vecteur nul deMn;p(K). Nous parlerons de la matrice nulle deMn;p(K).

I2. Base canonique deMn;p(K)

Th. 2etd´ef. 7

Siiappartient `a [[1,n]] etj`a [[1,p]], on noteEi;jla matrice deMn;p(K) dont les coefficients sont tous nuls sauf celui situ´e `a l'intersection de laiemeligne et lejemecolonne qui vaut 1.

La famille (Ei;j)(i;j)∈[[1;n]]×[[1;p]]est une base deMn;p(K). C'est labase canoniquedeMn;p(K).

SiA= (ai;j) est un ´el´ement deMn;p(K):A=n∑ i=1p j=1a i;jEi;jdonc (ai;j)(i;j)∈[[1;n]]×[[1;p]]est la famille des coordonn´ees deAdans cette base. M n;p(K) est de dimensionnpsurK M n(K) est de dimensionn2surK Th. 3

1. La base canonique deMn;1(K) est:

1 0... 0 1... 0 0

Les coordonn´ees d'un ´el´ementC=

c 1 c 2... c deMn;1(K) dans cette base sont:c1,c2, ...,cn.

2. La base canonique deM1;n(K) est:((1 0...0),(0 1...0),...,(0 0...1)).

Les coordonn´ees d'un ´el´ementL= (ℓ1ℓ2... ℓn) deM1;n(K) dans cette base sont:ℓ1,ℓ2, ...,ℓn.

I3. Des sous-espaces usuels deMn(K)

Prop. 2

AetBsont deux ´el´ements deMn(K) etαest un ´el´ement deK.

SiAetBsont scalaires,αAetA+Bsont scalaires.

SiAetBsont diagonales,αAetA+Bsont diagonales.

SiAetBsont triangulaires sup´erieures,αAetA+Bsont triangulaires sup´erieures. SiAetBsont triangulaires inf´erieures,αAetA+Bsont triangulaires inf´erieures.

Prop. 3

SoientA= Diag(a1,a2,...,an) etB= Diag(b1,b2,...,bn) deux matrices diagonales deMn(K). Soitα un ´el´ement deK.

A+B= Diag(a1+b1,a2+b2,...,an+bn)

et

αA= Diag(αa1,αa2,...,αan)

J.F.C. Mat. p. 6

Prop. 41. L'ensemble des matrices scalaires deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimension 1.

C'est la droite vectorielle engendr´ee parIn.

2. SD L'ensemble des matrices diagonales deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimensionn. 3. SD L'ensemble des matrices triangulaires sup´erieures deMn(K) est un sous-espace vectoriel de M n(K) de dimensionn(n+ 1) 2 4. SD L'ensemble des matrices triangulaires inf´erieures deMn(K) est un sous-espace vectoriel de M n(K) de dimensionn(n+ 1) 2

Prop. 5

AetBsont deux ´el´ements deMn(K) etαest un ´el´ement deK. SiAetBsont sym´etriques,αAetA+Bsont sym´etriques. SiAetBsont antisym´etriques,αAetA+Bsont antisym´etriques.

Prop. 6

1. SD L'ensembleSn(K) des matrices sym´etriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel deMn(K) de dimension n(n+ 1) 2 2. SD L'ensembleAn(K) des matrices antisym´etriques deMn(K) est un sous-espace vectoriel dequotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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