[PDF] APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES Résumé de cours dalg

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EAIRES ET MATRICES

Resume de cours d'algebre lineaire L1 de B. Calmes, Universite d'Artois (version du 21 mars 2020)

1.Applications lineaires

SoientEetFdes espaces vectoriels surK.

1.1.Denition.Une applicationf:E!Fest ditelineairesi

f(x+y) =f(x) +f(y)8x;y2E et f(x) =f(x)82Ket8x2E

1.2.Proposition.L'applicationf:E!Fest lineaire si et seulement si

f(x+y) =f(x) +f(y)8;2Ket8x;y2E si et seulement si f(X i ixi) =X i if(xi)81;:::;n2Ket8x1;:::;xn2E:

De plus, on a alorsf(0E) = 0F.

1.3.Notation.L'ensemble des applications lineaires deEdansFse noteL(E;F).

LorsqueE=F, on utilise egalement la notationL(E) au lieu deL(E;E).

1.4.Proposition.La composee de deux applications lineaires est lineaire. Toute

combinaison lineaire d'applications lineaires est lineaire. Ce dernier point muni naturellementL(E;F)d'une structure d'espace vectoriel.

1.5.Theoreme.Une application lineaire est caracterisee par l'image d'une base :

Si(ei)i2Iest une base deEet(fi)i2Isont des vecteurs deF, alors il existe une unique application lineairef:E!Ftelle quef(ei) =fipour touti2I.

1.6.Rappel.Soitf:E!Fune application (quelconque). SoitGEun sous-

ensemble (quelconque) deE, et soitHFun sous-ensemble (quelconque) deF.

Alors on appelleimage deGparfle sous-ensemble deF

f(G) =ff(x);x2Eg et on appelleimage reciproquedeHparfle sous-ensemble deE f

1(H) =fx2E; f(x)2Hg:

1.7.Proposition.Soitf:E!Fune application lineaire. Alors

(1) l'image p arfd'un sous-espace vectoriel deEest un sous-espace vectoriel deF. (2)f(Vec(vi;i2I)) = Vec(f(vi);i2I) (3) l'image r eciproquep arfd'un sous-espace vectoriel deFest un sous-espace vectoriel deE. 1

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1.8.Denition.Soitf:E!Fune application lineaire. On appellenoyaude

fle sous-espace vectoriel deE f1(f0Fg). On appelleimagedefle sous-espace vectorielf(E) deF. Autrement dit,x2ker(f) si et seulement sif(x) = 0, ety2im(f) si et seulement si9x2Etel quef(x) =y.

1.9.Remarque.Le point (2) de la proposition1.7 nous dit que si ( ei)i2Iest une

base deE(ou m^eme seulement une famille generatrice deE), alorsf(ei) i2Iest une famille generatrice de im(f).

1.10.Theoreme.Une application lineairef:E!Fest

(1) inje ctivesi et seulement si ker(f) =f0Eg; (2) surje ctives iet seulement si im(f) =F; (3) bije ctivesi et seulement si ker(f) =f0Egetim(f) =F. Dans ce cas l'application reciproquef1est egalement lineaire.

1.11.Theoreme.Soitf:E!Fune application lineaire.

(1)fest injective si et seulement si l'image de toute famille libre deEest une famille libre deF, si et seulement si (lorsqueEest de type ni) il existe une base deEdont l'image est une famille libre deF. (2)fest surjective si et seulement si l'image de toute famille generatrice de Eest une famille generatrice deF, si et seulement si il existe une famille generatrice deEdont l'image est generatrice deF. (3)fest bijective si et seulement si l'image de toute base deE(de type ni) est une base deF, si et seulement s'il existe une base deE(de type ni) dont l'image est une base deF.

2.Dimension du noyau et rang

Soitf:E!Fest une application lineaire.

2.1.Denition.Si im(f) est de type ni, on appellerangdef, note rg(f), la

dimension de im(f).

2.2.Remarque.Le sous-espace vectoriel im(f) est automatiquement de type ni si

EouFest de type ni.

2.3.Theoreme(du rang).SiEest de type ni, alors on a

dim(E) = dimker(f)+ rg(f):

2.4.Corollaire.Sidim(E) = dim(F), alorsfest injective si et seulement si elle

est surjective, si et seulement si elle est bijective.

2.5.Corollaire.SiEest de type ni, alorsrg(f)dim(E), avec egalite si et

seulement sifest injective. SiFest de type ni, alorsrg(f)dim(F), avec egalite si et seulement sifest surjective.

2.6.Proposition.Le rang d'une application lineaire ne change pas quand on la

compose (1) adr oitep arune applic ationlin eairesurje ctive; (2) agauche p arune applic ationlin eaireinje ctive; (3) adr oiteou agauche p arune applic ationlin eairebije ctive.

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3.Matrices

Nous avons vu dans le theoreme

1.5 qu'une application lin eaire:E!Fest caracterisee par l'image d'une base deE. Considerons donc le cas ouE=Knet F=Km. Ces deux espaces ont chacun une base canonique (voir resume 1,2.22 ). Notons (ei)i=1;:::;ncelle deEet (fi)i=1;:::;mcelle deF. Il est donc equivalent de se donner une application:Kn!Kmou de se donner des coecients (ai;j) dansKoui= 1;:::;metj= 1;:::;n, avec la convention que (ej) =P iai;jfi. On ecrit habituellement ces elements dans un tableau amlignes etncolonnes, ou le coecientai;jgure en ligneiet colonnej.0 B BB@a

11a12a1n

a

21a22a2n............

a m1am2amn1 C CCA

Pour cette raison, on pose la denition suivante.

3.1.Denition(matrice).Unematricede taillemna coecients dansKest

la donnee d'une famille de coecients (ai;j) aveci2 f1;:::;mgetj2 f1;:::;ng. L'ensemble des matrices de taillemna coecients dansKse note Mm;n(K).

Lorsquem=n, on note Mn(K) au lieu de Mn;n(K).

3.2.Exemple.La matrice Idn2Mn(K) est celle dont le coecient (i;j) esti;j

(symbole de Kronecker). Autrement dit, c'est 0 sii6=jet 1 sii=j. On l'appelle la matriceidentitede taillen. Id n=0 B

BBB@1 00

0 1 ...............0 00 11 C CCCA9 >>>;n

3.3.Denition.Si2 L(Kn;Km), on lui associe la matrice M2Mm;n(K)

denie par l'unique famille (ai;j) telle que(ej) =P iai;jfi. Dans l'autre sens, si A2Mm;n(K) est une matriceA= (ai;j), on lui associe l'unique application lineaire l

A2 L(Kn;Km) telle quelA(ej) =P

iai;jfi.

3.4.Remarque(tres importante).Laj-eme colonne de la matrice Mest donc

constituee des coordonnees de(ej) (sur la base canonique).

3.5.Proposition.Les applications

L(Kn;Km)!Mm;n(K)

7!MetMm;n(K)! L(Kn;Km)

A7!lA sont bijectives et inverses l'une de l'autre. En 1.4 , nous avons deni trois operations sur les applications lineaires : la somme, le produit par un scalaire, et la composition. Nous allons voir qu'elles correspondent par la proposition 3.5 ades op erationssur les matrices. Dans ce qui suit, la matriceA(resp.B,C, etc.) a pour coecients (ai;j) (resp. (bi;j), (ci;j), etc.).

3.6.Denition.Lasommede deux matricesA;B2Mm;n(K), est la matrice

C2Mm;n(K) denie parci;j=ai;j+bi;jpour tousietj. On la noteA+B.

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3.7.Denition.Lamultiplication par un scalaire2Kd'une matriceA2

M m;n(K) est la matriceC2Mm;n(K) denie parci;j=ai;j. On la noteA.

3.8.Denition.Leproduitde la matriceA2Mm;n(K) par la matriceB2Mn;p(K)

est la matriceC2Mm;p(K) denie parci;j=Pn k=1ai;kbk;j. On la noteAB.

3.9.Theoreme.Avec les notations de la proposition3.5 , on a :

(1)Mf+g= Mf+ Mgsif;g2 L(Kn;Km); (2)Mf=Mfsi2Ketf2 L(Kn;Km); (3)MfMg= Mfgsif2 L(Kn;Km)etg2 L(Kp;Kn).

De m^eme

(1)lA+B=lA+lBsiA;B2Mm;n(K); (2)lA=lAsi2KetA2Mm;n(K); (3)lAlB=lABsiA2Mm;netB2Mn;p(K). Autrement dit, quand on passe des applications lineaires a leur description ma- tricielle, la somme reste la somme, la multiplication par un scalaire de m^eme, et la composition devient le produit de matrices. On peut identierKnaux matrices Mn;1(K), appeleesvecteurs colonnes. Lai- eme coordonnee d'un vecteurv2Knest eni-eme ligne.

3.10.Proposition.Avec cette convention, on aMv=(v)pour toutv2Kn, ou

encoreAv=lA(v). Pour cette raison, nous identierons desormais toujoursKnaux vecteurs colonne, et nous eviterons de les noter comme des lignes, comme nous avions fait jusqu'a present.

3.11.Proposition.On a

L amultiplic ationp arles sc alaireset l'addition munissent Mm;n(K)d'une structure d'espace vectoriel (surK); |A(BC) = (AB)C; |A(B+C) =AB+ACet(A+B)C=AC+BC. B Il est facile de voir queA+B=B+A, par contre en general,BA6=AB. Il se peut m^eme que l'un des c^otes de cette egalite n'ait aucun sens alors que l'autre oui, pour des raisons de tailles de matrices.

3.12.Denition.Lenoyaud'une matriceA2Mm;n(K) est le noyau delA, i.e.

c'est l'ensemble des vecteursX2Kntels queAX= 0. L'imagedeAest l'image delA, i.e. c'est l'ensemble des vecteursY2Kmtels qu'il existeX2KnavecAX=Y. LerangdeAest le rang delA, i.e. c'est la dimension de l'image deA.

3.13.Proposition.Siv1;:::;vnsont les vecteurs colonnes deA, alorsim(A) =

Vec(v1;:::;vn).

Introduisons encore une operation classique sur les matrices qui nous servira par la suite.

3.14.Denition.Latransposeed'une matriceA2Mm;n(K) est noteeAtet est la

matriceB2Mn;m(K) de coecientsbi;j=aj;i.

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3.15.Proposition.On a

(1)(A+B)t=At+Bt; (2)(A)t=(At); (3)(AB)t=BtAt; (4)(At)t=A.

3.16.Denition.Une matriceAtelle queA=Atest appelee matricesymetrique.

SiA=At, elle est appeleeantisymetrique. (Dans les deux cas, une telle matrice est necessairement carree.)

3.17.Theoreme.Le rang d'une matrice est egal a celui de sa transposee.

4.Applications lineaires et matrices inversibles

4.1.Denition.Une application lineairef:E!Festinversibles'il existe une

application lineaireg:F!Etelle quegf= IdEetfg= IdF.

4.2.Proposition.Une application lineaire est inversiblef:E!Fsi et seulement

si elle est bijective, et il ne peut alors y avoir qu'unegveriant les egalites de la denition. On la notef1. De plus siEest de type ni, on adim(F) = dim(E). B

L'applicationf1n'existe donc pas toujours.

4.3.Proposition.Soitf:E!Fune application lineaire entre deux espaces

vectoriels de type ni et de m^eme dimension. Alors il existe au plus une application g:F!Etelle quegf= idEet, si elle existe, elle verie alors automatiquement fg= idF.

4.4.Denition.Une matriceA2Mm;n(K) estinversiblesi et seulement s'il existe

une matriceB2Mn;m(K) telle queAB= IdmetBA= Idn.

4.5.Proposition.SiA2Mm;n(K)est inversible, alorsm=n. Autrement dit,

une matrice inversible est forcement carree.

4.6.Proposition.SoitA2Mn(K)une matrice carree. Il existe au plus une ma-

triceBtelle queAB= Idnet, si elle existe, elle verie alors automatiquement

BA= Idn.

4.7.Denition.LorsqueAest inversible, l'unique matriceBtelle queAB=BA=

Id nest appelee matriceinversedeA. On la noteA1. B La notationA1n'a donc de sens que siAest carree et de plusinversible; Il y a de nombreuses matricesAcarrees qui ne sont pas inversibles et pour lesquellesA1n'existe pas.

4.8.Proposition.f2 L(Kn)est inversible si et seulement siMfest inversible.

De m^eme,A2Mn(K)est inversible si et seulement silAest inversible.

4.9.Lemme.SiA;B2Mn(K), alors le produitABest inversible si et seulement

siAest inversible etBest inversible. On a alors(AB)1=B1A1. B Attention, siAetBne sont pas carrees, mais queABl'est, niAniBne peut ^etre inversible, mais il se peut queABle soit. Nous allons voir plusieurs manieres de determiner si une telle application lineaire ou une matrice est inversible et comment trouver explicitement l'inverse.

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5.Systemes lineaires

Le systeme amequations etninconnuesx1;:::;xn

(5.1) 8 >>:a

11x1+a12x2++a1nxn=y1

a

21x1+a22x2++a2nxn=y2

a m1x1+am2x2++amnxn=ym peut ^etre vu comme l'equation matricielle (5.2)AX=Y ou A=0 B BB@a

11a12a1n

a

21a22a2n.........

a m1am2amn1 C

CCA; X=0

B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAetY=0

B BB@y 1 y 2... y m1 C CCA Resoudre le systeme consiste a exprimer, si possible, les inconnuesx1;:::;xnen fonction des seconds membresy1;:::;ym.

5.1.Proposition.On a

(1) L esyst eme(5.2)a au moins un vecteurXsolution si et seulement si le vecteurYest dans l'image de l'applicationlA, ce qui est en particulier toujours le cas quand celle-ci est surjective (i.e. de rangm). (2) L esyst eme(5.2)a au plus un vecteurXsolution si et seulement si l'appli- cationlAest injective. (3) L esyst eme(5.2)a une unique solutionXpour toutYsi et seulement si l'applicationlAest inversible. Elle est alors donnee parX=A1Y. (4)

Deux solutions di erentd'un elementde ker(lA).

Resoudre un tel systeme revient donc a

(1) v erierpremi erementsi le v ecteurYest dans l'image delA; (2) si oui, lui trouv erun an tecedentX0; (3) d eterminerk er(lA).

Si la reponse au point (

1 ) est oui, alors le systeme a une seule solutionX0si ker(lA) =f0gou une innite de solutions de la formeX0+X0ouX0est un element de ker(lA) si ker(lA)6=f0g. Si l'on determine une base (X01;X02;:::;X0k) de ker(lA), cela fournit une pa- rametrisation de l'ensemble des solutions de ( 5.2 fX=X0+X i iX0i; 1;:::;k2Kg ou lesisont appeles les \parametres".

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6.Algorithmes

Citons maintenant un certain nombre d'algorithmes utiles.

6.1.Denition.Soit En(;k;l) la matrice de Mn(K) denie par

e i;j=( sii=ketj=l

0 sinon.

Soit D

n(;k) la matrice denie par d i;j=8 :sii=j=k

1 sii=jmaisi6=k

0 sinon.

Enn, on denit egalement G

n(k;l) = IdnEn(1;k;k)En(1;l;l) + En(1;k;l) + E n(1;l;k) et sik6=l, Fn(;k;l) = Idn+ En(;k;l) et . Lorsquenest clair par le contexte, on ne le mentionne plus et on ecrit E(;k;l),

D(;k), F(;k;l), et G(k;l).

E(;k;l) =0

B

BBBB@1

C

CCCCAl

k (0)F(;k;l) =1 (0)10quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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