[PDF] Exemple dun “résumé personnel” pour lexamen final de MAT472

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Exemple d'un "résumé personnel" pour l'examen final de MAT472 michel.beaudin@etsmtl.ca Opérations élémentaires de lignes, matrice L-réduite échelonnée, matrice inverse

Définitions Si A est une matrice de format m × n, une opération élémentaire de ligne sur A consiste en

l'une des 3 opérations suivantes : intervertir 2 lignes, multiplier la ligne i par le scalaire c (non nul) et, à la

ligne i, ajouter c fois la ligne j. La matrice B obtenue (après un nombre fini d'opérations de lignes) est

dite ligne-équivalente à A. On notera par ≂A B pour indiquer cette équivalence. Remarquons que

chacune de ces opérations est inversible. On dit qu'une matrice R de format m × n est L-réduite-

échelonnée si R satisfait aux 4 conditions suivantes :

1) Toutes les lignes nulles (s'il y en a) sont en-dessous des lignes non nulles.

2) Dans chaque ligne non nulle, le premier élément non nul est un 1. La colonne où ce 1 apparaît

est dite colonne pivot de la ligne.

3) Dans la colonne pivot d'une ligne, tous les éléments des autres lignes sont des 0.

4) Les colonnes pivots apparaissent en ordre croissant.

On peut montrer que, pour une matrice A de format m × n, il existe une et une seule matrice l-réduite-

échelonnée R. Sut la calculatrice symbolique TI, la commande " rref » nous la donne d'un seul coup. Le

nombre de lignes non nulles de R est dit le rang de A, noté r(A). Évidemment, on a r(A) ± m mais comme

il y a autant de lignes non nulles que de colonnes pivots, on a aussi r(A) ± n. Donc r(A) ± min{m, n}.

Définition et remarque Lorsqu'une opération de ligne est appliquée à la matrice identité d'ordre m, la

matrice obtenue est dite élémentaire. On peut montrer que si L est une opération de ligne appliquée sur A

qui nous amène à la matrice B qu'on dénotera par L(A), alors L(A) = EA où E = L(I). Une bonne façon

de travailler en faisant des opérations de lignes est donc d'augmenter la matrice A de la matrice I (d'ordre

m). Ainsi, si l'on a effectué k opérations de lignes afin de passer de A à B, alors [][]A I B P B PA¼=? ≂ ?. Avec ()1 2 1 1 2 1.P E E E E Ik k k k mL L L L- -= =... ?

Définition et théorème Une matrice carrée A est dite inversible si l'on peut trouver une matrice de même

format B telle que AB = BA = I (l'identité d'ordre n, l'ordre de A). On dénote alors cette matrice B par

1.-A Avec la remarque ci-haut, on a donc une façon de vérifier si une matrice carrée est inversible. En

effet, si B = I, alors P =

1.-A Une matrice carrée A est inversible det( ) 0A? ≠.

Systèmes d'équations linéaires et méthodes de résolution Méthode 1 : algorithme de Gauss-Jordan On augmente la matrice A de la matrice K, obtenant ainsi une matrice de format

m × (n + 1). Les opérations de lignes créent un système équivalent (qui possède le

même ensemble-solution) BX = J où [][].A K B J? ≂ ? Il reste à interpréter l'ensemble-solution et 3 cas différents peuvent se présenter : r r( ) ("système incompatible") r r( ) infinité de solutions r r( ) solutionuniqueA K AA K AA K A n n>

Méthode 2 : de la matrice inverse Soit un système d'équations linéaires AX = K carré (i.e. on a un

système d'équations linéaires avec autant d'équations que d'inconnues) où, en plus, A est supposée

inversible. Alors l'unique solution au système AX = K peut s'exprimer par 1.X A K-= 2 Méthode 3 : règle de Cramer Soit AX = K avec A carrée et inversible. Posons [ ]1 2.XT nx x x=?

Alors ()

detoù matriceobtenuede enremplaçantlacolonne pardetAA A KA i i ixi= = (1 ± i ± n). Transformations linéaires géométriques du plan représentées par la matrice canonique. Le nom utilisé dans la librairie Kit_ETS_MB apparaît aussi. Symétrie orthogonale d'axe Symétrie orthogonale d'axe __ Symétrie orthogonale d'axe Symétrie orthogonale d'axe __ _1 01 0

0 10 1

0 10 1

1 01 0OxOy

reflect xreflect y y xy x reflect yxreflect y x==--Ç ×Ç ×È ØÈ Ø-É ÙÉ Ù

Symétrie centrale de centre

_

Contraction/dilatation horizontale d'un facteur

_ ( )1 0 0 1 Note:on dit aussi"matrice de réflexion par rapport à "pour les matrices précédentes. 0 0 1O reflect o k cont hor kcont kØ É Ù?Contraction/dilatation verticale d'un facteur _ ( ) Cisaillement horizontal de facteur Cisaillement vertical de facteur _ ( )_ ( )

Projection su

_1 0 0 11 0 0 11 k ver k kk shear hor kshear ver k project x k k k r l'axe des Projection sur l'axe des _1 00 0

0 00 1xy

project yÇ ×Ç ×È ØÈ ØÉ ÙÉ Ù

Matrice de translation (2D, 3D) par un vecteur :

[ ][ ]Translation 2D par un vecteur , Translation 3D par un vecteur , ,

2 ( , )3 ( , , )

1 0 01 00 1 00 10 0 10 0 1

0 0 0 1

h kh k l trans d h ktrans d h k l hhkkl Matrices de rotation selon chacun des 3 axes. Pour la rotation d'angle

θ (dans le sens anti-horaire lorsque

vu depuis la partie positive de l'axe) : Autour de l'axe des Autour de l'axe des Autour de l'axe des _ ( )_ ( )_ ( ) cos sin 0 1 0 0 cos 0 sin sin cos 0 0 cos sin 0 1 0

0 0 1 0 sin cos sin 0 cos

zxy rotate z rotate xrotate yθθθ

Et les fonctions partie2D(A) et partie3D(A) transforment la matrice A pour la représenter en coordonnées

homogènes en créant la matrice 0 0 1

AÇ ×È ØÉ Ù

3

Exemple Trouvons les nouveaux sommets du trapèze dont les sommets sont (1, 0), (2, 0) (2, 4) et (1, 1)

si l'on effectue une rotation autour de l'origine de 90°, suivie d'une translation par le vecteur [

-2, -3] et,

finalement, d'une symétrie orthogonale d'axe Oy. Si les matrices requises sont M1, M2 et M3, alors la

matrice M = M3·M2·M1 fait le travail. cos90 sin90 0 0 1 0 1 0 2 1 0 0 sin90 cos90 0 1 0 0 , 0 1 3 , 0 1 0 .

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

M1M2 M3° - ° - - -

0 1 2 1 2 2 1 2 2 6 3

1 0 3 0 0 4 1 2 1 1 2 .

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

M M= -¼? = - - - -

Ainsi, les nouveaux sommets du trapèze sont (2, -2), (2, -1) (6, -1) et (3, -2). Sur Nspire CAS, peut

réaliser simplement cela en utilisant le logiciel de géométrie intégré. On peut évidemment définir les

matrices requises dans une page de calcul : Espaces vectoriels, transformations linéaires, sous-espaces, noyau, image, base

Définition Si l'on se limite aux opérations d'addition et de multiplication par un scalaire, l'ensemble des

matrices de format m × n forme un espace vectoriel sur le corps des réels (ou des complexes). Plus

généralement, un espace vectoriel est un ensemble (non vide) V muni de 2 opérations (l'addition et le

produit par un scalaire : , ;u v V u v V u Vα α?¼+ ? ?¼? ?? et qui satisfait aux 8 axiomes suivants : pour u, v, w des éléments de V, pour des scalaires

α et β, on doit avoir

1) u + v = v + u

2) (u + v) + w = u + (v + w)

3) Il existe un élément neutre 0 tel que u + 0 = u

4) Il existe un inverse additif -u tel que u + (----u) = 0

5) α (u + v) = α u+ α v

6) (α +β) u = α u + β u

7) α (β u) = (α β) u

8) 1u= u

Exemples De la première partie du cours, on peut dire qu'on connaît déjà l'espace vectoriel

n? des n- tuplets de nombres réels ()1 2, , ,nx x x... (ou des vecteurs []1 2, , ,nx x x... de n?). D'un cours de calcul ou

d'analyse, on connaît l'espace vectoriel des fonctions continues sur un intervalle fermé borné [a, b],

dénoté

[], .C a b L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n forme aussi un espace vectoriel.

Tous ces exemples et d'autres sont souvent plus que de simples espaces vectoriels : une norme peut être

définie, souvent à partir d'un produit scalaire. 4

Définitions Un sous-ensemble {}1 2, , ,pv v v...d'un espace vectoriel V est dit linéairement indépendant si

1 1 2 2 1 20 0.p p pv v vα α α α α α+ + + =¼= = = =... ...

Souvent, on travaille dans un " sous-espace ». On dit que E est un sous-espace de l'espace vectoriel F si

E est un sous-ensemble de F, si

0E? et si E est fermé pour l'addition et le produit par un scalaire. Par

exemple, dans

3?, les droites passant par l'origine, de même que les plans passant par l'origine

constituent des sous-espaces. Si H est un sous-espace d'un espace vectoriel V, un ensemble de vecteurs

{}1 2, , ,pB b b b V= ?... est une base de H si Best linéairement indépendant et si B engendre H, i.e. si

l'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de B donne H. On connaît déjà la base canonique de n?, formée des vecteurs qui sont les colonnes de la matrice identité : [ ] [ ] [ ]1 21 0 0 , 0 1 0 , , 0 0 1 .e e eT T T n= = =? ? ... ? Et si l'on dispose d'une base B

d'un sous-espace H de V, alors chaque élément de H s'écrit de comme combinaison linéaire des éléments

de B, les scalaires utilisés étant appelés les coordonnées de ce vecteur relativement à la base B. Voir

l'exemple 2.5.1 plus loin. Une notation de Lay est la suivante : si B une base d'un espace vectoriel V et

soit x un vecteur de V, alors on dénote les coordonnées de x relativement à B par [].Bx

Définitions et remarque Une transformation linéaire T entre 2 espaces vectoriels V et W est une fonction

:T V W→qui préserve les 2 opérations : ()()()1 2 1 2T v v T v T v+ = + et 1 1( ) ( )T v T vα α= pour tous

1 2, , .v v Vα? ?? On montre facilement qu'alors T(0) = 0 (condition nécessaire mais non suffisante

puisque, par exemple T(x) = x2 n'est manifestement pas linéaire !). Une transformation linéaire est dite

injective si

()()()1 2 1 2 1 2,T v T v v v v v V=¼= ?. Cela revient à vérifier que seulement 0 est envoyé

dans 0 ou encore que le sous-espace Ker(T) de V est réduit à l'élément 0. La défintion de Ker(T) ou le

noyau de T est {}Ker( ) : ( ) 0T x V T x= ? =. Elle est dite surjective si , : ( ) .w W v V T v w? ? ? ? = Si l'on définit l'image de T par {}R( ) : ( ) pour un ,T w W w T v v V= ? = ?alors c'est un sous-espace de W (non vide puisqu'il contient 0) et la transformation est surjective si et seulement si R(

T) = W. On dit finalement

que

T est bijective si elle est à la fois injective et surjective. On montre alors qu'il existe une

transformation (linéaire) inverse, dénotée 1.T- Exemple Trouvons la formule générale d'une transformation linéaire

2 2:T→? ? qui envoie le point

(1, 2) dans (4, 5) et le point (2, 3) dans ( -1, 6). On peut donc dire qu'on cherche des constantes a, b, c et d telles que T(x, y) = (ax + by, cx + dy). En représentant T par sa matrice, on cherchea b c d A telle que

1 4 2 1, .2 5 3 6

-Ç × Ç × Ç × Ç ×= =È Ø È Ø È Ø È ØÉ Ù É Ù É Ù É ÙA AOn veut donc que 1 2 4 1.2 3 5 6

-Ç × Ç ×=È Ø È ØÉ Ù É ÙA On calcule donc

14 1 1 2 14 9

5 6 2 3 3 4

A et ainsi T(x, y) = (-14x + 9y, -3x + 4y).

On aurait pu aussi procéder comme suit : puisque l'ensemble {}(1,2), (2,3)B=forme une base de2?, alors si (

x, y) est un quelconque point de 2?, nous allons trouver des scalaires α et β tels que

(), (1, 2) (2, 3).x yα β= ? + ? En faisant résoudre ce système de 2 équations à 2 inconnues, on trouve α =

2 y - 3x et β = 2x - y. Mais alors, par linéarité de T, on a 5 ()(), (2 3 ) (1,2) (2 ) (2,3) (2 3 ) (4,5) (2 ) ( 1,6) ( 14 9 , 3 4 ).

T x y T y x x y

y x x y x y x y

Théorème Soit

:n mT→? ? une application linéaire. Soit A la matrice (de format m × n) canoniquement associée à

T. Alors:

1) Les colonnes pivots de A forment une base de l'image.

2) T est surjective si et seulement si les colonnes de A engendrentm? ou encore ssi tout vecteur de m? est combinaison linéaire des colonnes de A ou encore ssi toutes les colonnes de A sont pivots. 3)

T est injective si et seulement si les colonnes de A sont linéairement indépendantes ou encore ssi

l'équation T(x) = 0 admet seulement la solution triviale (i.e. ssi Ker(T) = 0). 4) Si n = m, alors T est injective si et seulement T est surjective si et seulement si T est bijective.

Donc, pour une matrice A de format

m × n, le noyau de A est un sous-espace de n? et l'image de A est un sous-espace de .m? Et le théorème du rang affirme que r(A) + dim(Ker(A) = n pour toute matrice de format m × n. Ou encore dim(R(T)) + dim(Ker(T) = r + (n-r) = n.

Exemple Soit la transformation linéaire

2 3:T→? ? définie par T(x, y) = (3x + y, 5x + 7y, x + 3y).

Donc, si x =

[ ]Tx y, on peut écrire T(x) = Ax où 3 1 5 7 1 3 A=

La transformation est injective puisque son noyau est effectivement réduit à (0, 0), donc de dimension

zéro. En effet:

3 1 1 0

5 7 0 1

1 3 0 0

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