[PDF] Résumé de cours : Matrices Table des mati`eres 1 Généralités.

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1GENERALITES.TABLEDESMATIERES

R esum edecours:

Matrices

MPSI-Maths.

c http://www.chez.com/myismail

Tabledesmatieres1Generalites.1

2Matricesetapplicationslineaires.3

trices.4

KestunesuiteA=(a

i;j

1in;1jp

d'elementsdeKdeclareesous celuidescolonnes.Onecritalors: A=0 B B B @a 1;1 a 1;2 :::a 1;p a 2;1 a 2;2 :::a 2;p an;1 a n;2 :::a n;p 1 C C C A (onditaussidetype(n;p))senoteM n;p (K).

Ondenitsurlesmatriceslesloissuivantes:

Somme.

SiA=(a

i;j

1in;1jp

etB=(b i;j

1in;1jp

touteslesdeuxdetype (n;p),onpose:

A+B=(a

i;j +b i;j

1in;1jp

Multiplicationparuneconstante.

SiA=(a

i;j

1in;1jp

et2K,onpose: A=(a i;j

1in;1jp

Munidecesdeuxlois,M

n;p (K)estunK-evdedimensionnp.

Produit.

MPSI-Maths

MrMamouniResumedecours:Matrices.

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myismail1@menara.ma

SiA=(a

i;j

1in;1jp

detype(n;p)etB=(b i;j

1ip;1jq

detype(p;q), alorsAB=(c i;j

1in;1jq

estlamatricedetype(n;q)denieal'aidedela relationsuivante: c i;j p P k=1 a i;k b k;j

Ainsilecoecientc

i;j deABalai{emeligneetj{emecolonnes'obtient B.

Propriete.

M n mensionn 2

1.2Matricescarreesd'ordrenparticulieres.

Matriceidentite.

C'estlamatricenoteeI

n deniepar:I n =0 B B B @10:::0 0 ....0

0:::011

C C C

A,c'estl'element

neutrepourleproduitmatriciel.

Matricesdiagonales.

Cesontlesmatricesdelaforme0

B B B 1 0:::0 0 ....0 0:::0 1 1 C C C A, onlesnoteA=Diag( 1 n

SiA=Diag(

1 n );B=Diag( 1 n )et2Kalors:

A+B=Diag(

1 1 n n );AB=Diag( 1 1 n n )eten particulier: A p =Diag( p 1 p n deM n (K)dedimensionn.

Matricestriangulairessuperieures.

Cesontlesmatricesdelaforme0

B B B @a 1;1 a 1;2 :::a 1;n 0....

0:::0a

n;n 1 C C C A sous{algebredeM n (K)dedimensionn(n+1) 2.

Matricestriangulairesinferieures.

Cesontlesmatricesdelaforme0

B B B @a 1;1 0:::0 a 2;1 ....0 a n;1 :::a n;n 1 C C C

A,ellesformentaussiune

sous{algebredeM n (K)dedimensionn(n+1) 2.

Matricesinversibles.

UnematricecarreeA2M

n B2M n (K)telqueAB=BA=I n ,danscecasBestunique,s'appellel'in- versedeAetsenoteA 1 .L'ensembledesmatricesinversiblesnoteGl n (R)est enparticuliersiAetBsontinversiblesalorsA 1 etABsontinversiblesavec: (A 1 1 =A;(AB) 1 =B 1 A 1

UnematriceDiag(

1 n )estinversiblessietseulementsitousses coecients i sonttousnonnulsetdanscecas Diag( 1 n 1 =Diag(1 1 :::;1 n

1.3Transposeed'unematrice.

Denition2..SoitA=(a

i;j 1i;jn 2M n (K),onappelletransposee deA,lamatricenotee t

AdontleslignessontlescolonnesdeA.

t A=(a j;i 1i;jn

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Soit(A;B)2M

n (K) 2 ;2K,onalesresultatssuivants: t (A+B)= t A+ t B. t t A)=A. t (AB)= t B t A. {SiAestinversiblealors t

Aestaussiinversible,avec(

t A) 1 t (A 1

Matricessymetriques.

CesontlesmatricesA2M

n (K)telque t

A=A,ellesformentunsevde

M n (K),noteS n (K)dontladimensionest n(n+1) 2

Matricesantisymetriques.

CesontlesmatricesA2M

n (K)telque t

A=A,ellesformentunsevde

M n (K),noteA n (K)dontladimensionest n(n1) 2

Theoreme1..

M n (K)=S n (K)A n (K)

SoitM2M

n;p (K),alorsl'application,M:K p !K n

X7!MXestlineaire,

surunematriceM2M n;p (K)s'ecrit: p=rg(M)+dimkerM.

Propriete:SoitM2M

n (K),alors

Mestinversible()kerM=f0g

()rg(M)=n

2.2Matricesd'uneapplicationlineaire.

Denition3..

B=(e i 1in etB 0 =(e 0 i 1ip basesrespectivesdeEetFetu:E!F 0 estlamatrice detype(p;n)noteeM B;B 0 (u)dontlaj{emecolonneestformeeparles coordonneesdeu(e 0 j )danslabaseB 0

DanslecasouB=B

0 onnotetoutsimplementM B (u).

Proprietes.

{SiM B;B 0 (u)=(a i;j

1ip;1jn

alorsu(e j p Pi=1 a i;j e 0 i {M B;B 0 (u+v)=M B;B 0 (u)+M B;B 0 (v). {M B;B 0 m^emesbasessontegales. {AinsiondenitunisomorphismeentreL K (E;F)etM p;n (K). 1 ;B 2 etE u !F uneapplicationlineaire.Soitx2E,et[x] B 1 lamatricecolonneformee parlescoordonnesdexdansB 1 et[u(x)] B 2 celleformeeparlescoor- donnesdey=u(x)dansB 2 alorsl'equationlineairey=u(x)s'ecritsous laformematricielle [u(x)] B 2 =M B 1 ;B 2 (u)[x] B 1 1 ;B 2 ;B 3 etE u F v !Gapplicationslineairesalors: M B 1 ;B 3 (vu)=M B 2 ;B 3 (v)M B 1 ;B 2 (u) 1 ;B 2 etE u !Fap- plicationlineairealors:M B 1 ;B 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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