EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS
Pour montrer que deux droites sont parallèles il faudra déterminer leur Deux droites seront sécantes si elles n'ont pas le même coefficient directeur.
Méthode pour démontrer en géométrie dans lespace 1) Incidence
droites. ?Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes il faut d'abord montrer qu'elles sont coplanaires. Il s'agit de trouver un plan
DROITES ET PLANS DE LESPACE
Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont sécantes.
1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE
On montre que est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan soit par exemple à et à Méthode 13 : Montrer que deux droites sont sécantes ou pas.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles Propriété : Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles.
Géométrie dans lespace
Deux droites coplanaires sont sécantes en un point ou parallèles. Deux plans sont sécants suivants une droite ou parallèles.
Untitled
Pour démontrer que deux plans sont parallèles il suffit de prouver que deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre. Pour
1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan
- Si de plus elles sont sécantes elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^.
Droites et plans dans lespace
5.3 droites coplanaires rappel . Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes. Pour montrer que deux droites ne sont
Leçon 3Droites et plans dans l"espace
Le plan est rapporté à un repère(O,-→ı ,-→? ,-→k).1 droites et plans de base
x=0 z=0 y=0 O xyzLe plan de base(xOy)a pour équationz= 0.
Le plan vertical(yOz)a pour équationx= 0.
Le plan vertical(xOz)a pour équationy= 0.
L"axe(Ox)est caractérisé par?
y= 0 z= 0L"axe(Oy)est caractérisé par?
x= 0 z= 0L"axe(Oz)est caractérisé par?
x= 0 y= 02 rappels
2.1 vecteurs colinéaires
définition.Deux vecteurs-→uet-→vsont colinéaires si et seulement si il existe un réelktel que-→u=k-→vou-→v=k-→u
remarque .Avec cette définition le vecteur nul-→0est colinéaire avec tous les vecteurs.2.2 alignement
rappel .Les trois points A,B et C sont alignés si et seulement les vecteurs--→ABet-→ACsont colinéaires.
2.3 coordonnées
rappel .Le vecteur--→ABa pour coordonnées? xB-xAyB-yAz B-zA?rappel .Deux vecteurs de l"espace sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
3 principes d"élimination
Principe :Dans un système comportant des lignes(Li), on peut remplacer une ligne(Lk)parα(Lk) +β(Lj)
avecα?= 0etj?=k. 104. REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE D"UNE DROITE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE
En général
1. on garde la ligne(L1)et on élimine une inconnue ou un paramètre dans les lignes suivantes en remplaçant
chaque ligne(Lk) (k?= 1)parα(L1) +β(Lk)avecβ?= 02. on garde maintenant la ligne(L2)et on élimine une nouvelle inconnue ou un nouveau paramètre entre
(L2)et les lignes suivantes.4 représentation paramétrique d"une droite
4.1 représentation paramétrique
Théorème 3.1.SoitDune droite de l"espace contenant le pointA(xA,yA,zA)et dirigée par le vecteur-→u?
abc? tout pointM(x,y,z)deDcorrespont un réélttel que ?x=xA+t×a y=yA+t×b z=zA+t×c Le système est appelé représentation paramétrique de la droiteDDémonstration.
M?D?--→AMet-→usont colineaires
?il existetréel tel que--→AM=t-→u ?il existetréel tel que? x-xAy-yAz-zA? =t? abc?remarque .Pourunedroite, il existe une infinité de représentations paramétriques puisqu"on peut choisir n"im-
porte quel point et n"importe quel vecteur directeur.remarque .Quand on travaille avec plusieurs droites, il est importantde prendre un paramètre différent pour
chaque représentation paramétrique.5 position relative de deux droites
5.1 parallélisme
Pour mettre en évidence le parallélisme de deux droites, il suffit de montrer qu"un vecteur directeur de
la première et qu"un vecteur directeur de la seconde sont colinéaires, c"est à dire que leur coordonnées sont
proportionnelles.5.2 intersection
Pour déterminer l"intersection de deux droites, il suffit derésoudre le système de trois équations dont les
inconnues sont les deux paramètres des deux droites. rappel .Deux droites sont sécantes si et seulement si leur intersection est un singleton.5.3 droites coplanaires
rappel .Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes.Pour montrer que deux droites ne sont pas coplanaires, il suffit de montrer qu"elles ne sont ni parallèles ni
sécantes. http://pagesperso-orange.fr/calque11table des matières6. PLANS DANS L"ESPACE LEÇON 3. DROITES ET PLANS DANS L"ESPACE
6 plans dans l"espace
6.1 existence
rappel .Pour que le plan(ABC)existe, il faut et suffit que les trois points ne soient pas alignés c"est à dire que les
vecteurs--→ABet-→ACne soient pas colinéaires.6.2 vecteurs coplanaires
définition.trois vecteurs-→u,-→vet-→wsont coplanaires si et seulement il existe deux réelsαetβtels que
w=α-→u+β-→v (ou dans un autre ordre)6.3 représentation paramérique
Un pointM(x,y,z)appartient au plan(ABC)si et seulement si il existe deux réelsαetβtels queAM=α--→AB+β-→AC
on exprime que les vecteurs AM,--→ABetvcACsont coplanaires ce qui conduit à la représentation paramé- trique suivante?????x=xA+αu1+βv1 y=yA+αu2+βv2 z=zA+αu3+βv3avec--→AB=? u1u2u3? et-→AC=? v1v2v3?6.4 équation cartésienne
En éliminantαetβdans le système paramétrique, on obtient une relation de la forme ax+by+cz+d= 0avec(a,b,c)?= (0,0,0) On verra une autre méthode avec le produit scalaire.7 positions relatives
7.1 intersection de deux plans non parallèles
rappel .L"intersection de deux plans non parallèles est une droite.On peut obtenir une équation paramétrique de
celle ci en choisissant arbitrairement une inconnue comme paramètre.7.2 parallélisme droite plan
SiDa pour vecteur directeur?w, siPest dirigé par deux vecteurs?uet?vnon colinéaires, on aD?P??u,-→vet-→wcoplanaires
7.3 intersection d"une droite et d"un plan
rappel .Si la droiteDet le planPne sont pas parallèles , leur intersection est un singleton. http://pagesperso-orange.fr/calque12table des matièresquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que deux droites sont sécantes vecteurs
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