EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS
Pour montrer que deux droites sont parallèles il faudra déterminer leur Deux droites seront sécantes si elles n'ont pas le même coefficient directeur.
Méthode pour démontrer en géométrie dans lespace 1) Incidence
droites. ?Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes il faut d'abord montrer qu'elles sont coplanaires. Il s'agit de trouver un plan
DROITES ET PLANS DE LESPACE
Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont sécantes.
1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE
On montre que est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan soit par exemple à et à Méthode 13 : Montrer que deux droites sont sécantes ou pas.
VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE
Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles Propriété : Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles.
Géométrie dans lespace
Deux droites coplanaires sont sécantes en un point ou parallèles. Deux plans sont sécants suivants une droite ou parallèles.
Untitled
Pour démontrer que deux plans sont parallèles il suffit de prouver que deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre. Pour
1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan
- Si de plus elles sont sécantes elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS
1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^.
Droites et plans dans lespace
5.3 droites coplanaires rappel . Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes. Pour montrer que deux droites ne sont
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES
ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗On a :
∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .Démonstration :
∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel queExemple :
La droite passant par le point
1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droiteVidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo
Soit les points
2 3 -1 et 1 -3 2Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère
2Correction
- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repèreDonc -1+3=0 soit =
Et donc :
=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0Le point a donc pour coordonnées Q
5 3 1 0 R.Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan
Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,
Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points
tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o
- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).
On note E l'ensemble des points
vérifiant l'équation +++=0Alors le point Q
0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.Soit un vecteur ⃗
. Pour tout point , on a : .⃗=V+W+
-0 -0E est donc l'ensemble des points
tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗
1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le
point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1Correction
Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonalà un vecteur normal de l'autre.
4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculairesVidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc
Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :
2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.
Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.Correction
Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est
orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0Les vecteurs ⃗ et ′
sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.Partie 3 : Applications
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un planVidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE
Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.Soit
1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.Correction
a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.On a :
-2 0 3Comme :
.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas
parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5Le point
, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+32-+3-2=0
On a donc : 2
1-2
-2+3 -3+3 -2=05-11=0 soit =
D'où :
=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que deux droites sont sécantes vecteurs
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