1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan PDF

EQUATIONS DE DROITES SYSTEMES DEQUATIONS

Pour montrer que deux droites sont parallèles il faudra déterminer leur Deux droites seront sécantes si elles n'ont pas le même coefficient directeur.

Méthode pour démontrer en géométrie dans lespace 1) Incidence

droites. ?Pour démontrer que deux droites sont parallèles ou sécantes il faut d'abord montrer qu'elles sont coplanaires. Il s'agit de trouver un plan

DROITES ET PLANS DE LESPACE

Propriété : Deux droites de l'espace sont soit coplanaires (dans un même plan) soit non coplanaires. d1 et d2 sont coplanaires d1 et d2 sont sécantes.

1 METHODES DE GEOMETRIE ANALYTIQUE DANS LESPACE

On montre que est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan soit par exemple à et à Méthode 13 : Montrer que deux droites sont sécantes ou pas.

VECTEURS DROITES ET PLANS DE LESPACE

Conséquence : Pour démontrer que deux plans sont parallèles Propriété : Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants soit parallèles.

Géométrie dans lespace

Deux droites coplanaires sont sécantes en un point ou parallèles. Deux plans sont sécants suivants une droite ou parallèles.

Untitled

Pour démontrer que deux plans sont parallèles il suffit de prouver que deux droites sécantes d'un plan sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre. Pour

1) Droites orthogonales 2) Orthogonalité dune droite et dun plan

- Si de plus elles sont sécantes elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles

REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS

1) Démontrer que la droite ( ) et le plan P sont sécants. 2) Déterminer leur point d'intersection. 1) Un vecteur normal de P est 7? ^.

Droites et plans dans lespace

5.3 droites coplanaires rappel . Deux droites sont coplanaires si et seulement si elle sont parallèles ou sécantes. Pour montrer que deux droites ne sont

Exposé 47 : Orthogonalité dans l"espace affine euclidien : droites orthogonales, droite orthogonale à un plan, plan perpendiculaires, application.

Pre requis :

- produit scalaire - vecteur directeur d"une droite, vecteur normal à un plan

Cadre :

E espace affine euclidien d"esp. Vectoriel associé E??.

1) Droites orthogonales

a) Vecteurs orthogonaux Definition : deux vecteursu?et v? sont orthogonaux si et seulement si . 0uv=? ? b) Droites orthogonales

Definition :

- deux droites D et D" de vecteur directeurs u?et v? non nul sont orthogonales si les vecteurs u?et v? sont orthogonaux. - Si de plus elles sont sécantes, elles sont dites perpendiculaires. Propriété : Si deux droites sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"une est orthogonale à l"autre Remarque : dans le plan, deux droites orthogonales à une même troisième sont paralleles, mais pas dans l"espace (prendre les axes du repere orthgononal.)

Proposition : Soit

Pun plan, A P? et une droite D P?. Il existe une unique droite D"de P passant par A et perpendiculaires à D.

2) Orthogonalité d"une droite et d"un plan

Remarque : existence d"une droite perpendiculaire à un plan.

P un plan

?sous espace de dimension 2, P possède un vecteur normal qui dirige toute droite orthogonale D... a revoir a) Definition Definition : Soit D une droite de E et P un plan de E. D est orthogonale à P si D est orthogonale à toute droite de P Autrement dit : D et P sont orthogonaux lorsque pour toutes bases (v?,w??)vectorielles de P?? on a : u?.v?=0 et u?.w?? = 0 avec u?vecteur directeur de D. Remarque : pour qu"une droite soit perpendiculaires à un plan, il suffit qu"elle soit perpendiculaires à deux droites secantes de ce plan b) Proprietes Soient deux droites D et D" distinctes et deux plan P et P" distincts.

Propriétés :

- Si D et D" sont paralleles, alors tout plan orthogonal à l"une est orthogonal à l"autre. - Si P et P" sont paralleles, alors toute droite orthogonale à l"un est orthogonale à l"autre

Preuve :

- Soit u? (resp. "u??) vecteur directeur unitaire de D (resp.D"). Alors "u u= ±? ??. Si P est dirigé par ( v?,w??) alors . 0 . 0 ". 0 ". 0 "

P D u v et u w

P D u v et u w P D

Si// " "P P P P? =?? ???, on pose (v?,w??) une base de vecteur unitaire. Soit D une droite perpendiculaire à P alors . 0 . 0 "P D uv et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ?? " . 0 . 0P D u v et u w P D? ? = = ? ?? ? ? ??

Corollaire :

Si deux droites distinctes sont orthogonales à un même plan, alors elles sont paralleles. Si deux plans distincts sont orthogonaux à une même droite alors ils sont paralleles Si un plan P et une droite D?P sont orthogonaux à une même droite alors D et P sont paralleles. Proposition : Il existe une unique droite D passant par un point A de E donné et orthogonale à un plan P donné.

3) Plans perpendiculaires

Proposition : L"intersection de deux plans non parallèles et distincts est une droite. Preuve : par les equations de plan ou par les dimensions Definition : Deux plans P et P" de E sont dits perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Propriété : Un plan P est perpendiculaire à un plan P" si et seulement si il contient une droite

D orthogonale à P"

Preuve passer par les bases vectorielles

Proposition : Si deux droites secants non confondus sont perpendiculaires à un même plan P, alors l"intersection D des deux plans est orthogonale à P. Proposition : S P et P" sont non confondus, perpendiculaires d"intersection D, tout plan P"" orthogonal à D coupe P et P" en deux droites orthogonales

4) Application

a) Projection orthogonales sur un plan Soit P un plan de E. l"application qui a tout point M de E associe le pied de la perpendiculaire à P passant par M est appelée projection orthogonale sur P. b) Le plan mediateur d"un segment Soient A et B deux point distincts de E. l"ensemble P des points de E équidistants de A et de B est le plan orthogonal à (AB) passant par le milieu I de [A,B]. P est appelé le plan mediateur de [AB]. c) Theroeme des 3 perpendiculaires Theoreme : P un plan et A,B,C un triangle rectangle en B dans P. Soit D?E, D?P tel que ADB soit en triangle rectangle en A. Alors CBD est un triangle rectangle en B

Autrement dit :

[]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AD AB et AB BC BD BC? ? ? ? Exercice : montrer que les hauteurs issues de A et B d"un tetraede ABCD sont concourantes si et seulement si (AB) et (CD) sont orthogonalesquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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