la somme dun nombre rationnel et dun nombre irrationnel est
2. Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
Ensembles de nombres
On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel
Prépasup
18 avr. 2020 b) La somme le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel. c) La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un ...
Introduction `a lanalyse Exercices 2 1. (a) Montrer que la somme de
(b) Est-il vrai que la somme de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel? Justifier. (c) Montrer que la somme d'un nombre rationnel et
TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la
Démontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisant la démonstration par l'absurde. Soit x ? Qx =
Exercices de mathématiques supérieures
Montrer que ln 2 + ln 3 ln 5 + ln 7 est irrationnel. Exercice 6.6 ???. Solution p. 3. 1. Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un
Exercices de mathématiques supérieures
Exercice 6.5 ?. Montrer que ln 2 + ln 3 ln 5 + ln 7 est irrationnel. Exercice 6.6 ???. 1. Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. Montrer que le nombre 0ukuk+1uk+2... est rationnel. Correction ?. [005214].
Nombres réels
8 nov. 2011 Donc I = R. 1.4 Rationnels et irrationnels. Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs. La somme de deux rationnels ...
Nombres réels
Donc I = R. 1.4 Rationnels et irrationnels. Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs. La somme de deux rationnels
Solution
Soitx2R, on rappellexest rationnel si et seulement si il existe(a;b)2ZZtels quex=ab :On montre dans ces conditions qu' il existe un unique couple(p;q)2ZNtel quex=pq avecpetqpremiers entre eux. a)C'est vrai(il sut de l' ecrire).
b) C'est faux. Ain sisi x=y=p2, alorsx+y= 02Q, etxy=22Q. c) C'est vrai. Soit x2Qety2RnQet soitz=x+y. Par l'absurde, supposons quez2Qalors : y=zx2Qce qui n'est pas. Ainsiz =2Q. d) C'est f aux.Ainsi si x= 0 ety =2Q, alorsz=xy= 02Q. Par contre, six2Qn f0g, le resultat est vrai. En eet par l'absurde, si on avaitz=xy2Qavecx6= 0, on auraity=z1x2Qce qui n'est pas.
Exercice 2
a)Mon trerque
p3 est irrationnel. b)Mon trerque p2 +
p3 est irrationnel. c)Mon trerque
ln2ln3 est irrrationnel. d)Soit ( a;b;c;d)2Q4.
Que penser de l'assertion :ap2 +bp3 =cp2 +dp3 =)a=cetb=d?Solution
a) P arl'absurde, si p3 etait dansQ, il existerait (p;q)2N2tel quep3 = pq avec (p;q) premiers ente eux. En elevant au carre, on aurait : (?)p2= 3q2et 3 diviseraitp2. Comme 3 est premier, 3 diviseraitpd'ou l'existence dep02Ntel quep= 3p0. En reportant dans l'egalite (?), on aurait 3p02=q2donc 3 diviseraitq, ce qui contredit (p;q) premiers ente eux.La contradiction assure quep3 est irrationnel.
b)P arl'absurde, si p2 +
p3 etait rationnel, alors son carre le serait, donc 5 + 2 p6 serait dansQ. Il en decoulerait quep6 serait dansQ. On adapte alors la preuve faite en a) pour montrer quep6 est irrationnel, ce qui etablit la contradiction et etablit le resultat. c)T oujourspar l'absurde si
ln2ln3 est rationnel, alors . il existerait (p;q)2N2tel queln2ln3 =pqOn a alorsqln2 =pln3 donc ln(2q) = ln(3p). Par injectivite de la fonction ln, il en resulte que 2q= 3p.
Orqest non nul donc 2qest pair et 3pest impair d'ou la contradiction (aucun entier n'est pair et impair). Ainsi ln2ln3 est irrrationnel. 1 d)Elle est juste. Il sut pour la valider de montrer que pour (;)2Q2, l'egalitep2+p3 = 0 implique :== 0.Supposons que : (1)p2 +p3 = 0 avec (;)2Q2.
Par passage au carre, on obtient : 22+ 32=2p6.
Par l'absurde, si6= 0 alors on aurait :p6 =22+ 3222Qce qui n'est pas. Ainsi= 0. Mezalors,= 0 ou= 0 et il en decoule en reportant dans (1) que== 0. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que le brésil est confronté ? un défi alimentaire
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