[PDF] TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la

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TP2 # 9, 10, 14, 22 #9. Preuve.Soientxetydeux nombres impairs. Alors selon la denition on a que

9k2Zx= 2k+ 1 et9l2Zy= 2l+ 1. Donc

x+y= 2k+ 1 + 2l+ 1 = 2(k+l+ 1): On sait que la somme de deux nombres entiers est un nombres entier, donc le nombre k+l2Z. De m^eme, le nombrer=k+l+12Z, comme la somme de deux nombres entiers. Cela implique que9r2Zx+y= 2ret donc le nombrex+yest pair selon la denition. Puisqu'on a choisis n'importe quels deux nombres impairsxety, on conclut que8x8y x+yest pair. #10. Preuve.Soientxetydeux nombres rationnels. Alors selon la denition on a que (9m2Z)^(9n2Z)^(n6= 0)x=mn et (9p2Z)^(9q2Z)^(q6= 0)y=pq :Donc x+y=mn +pq =mq+pnnq On sait que le produit de deux nombres entiers est un nombre entier, donc nous avons quemq2Z;pn2Zetnq2Z. De plus, le nombrenq6= 0 car (n6= 0)^(q6= 0). On sait que la somme de deux nombres entiers est entiere, donc le nombremq+pnest entier. Denissonss=mq+pnett=nq. Alorss2Zet (t2Z)^(t6= 0). Nous avons demontre que (9s2Z)^(9t2Z)^(t6= 0)x+y=st quels que soient deux nombres rationnelsxety. Selon la denition on a quex+yest rationnel (on ecrit x+y2Q). Donc8x2Q8y2Qx+y2Q. #14. Preuve.Demontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisantla demonstration par l'absurde. Soitx2Q;x6= 0. Alors selon la denition on a que (9m2Z)^(m6= 0)^(9n2

Z)^(n6= 0)x=mn

. Soityest un nombre irrationnel. Alors selon la denition on a que:((9p2Z)^(9q2Z)^(q6= 0)y=pq ). Supposons que le nombrexy2Q, alors (9s2Z)^(9t2Z)^(t6= 0)xy=st . Donc st =xy=mn y; 1

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carx=mn . Puisque le nombrex=mn

6= 0 on peut diviser les deux termes de

l'equationmn y=st parmn . Cela implique que y=st nm =sntm Les nombresa=snetb=tmsont entiers comme les produits de deux nombres entiers. De plus, le nombreb6= 0 cart6= 0 etm6= 0. Nous avons demontre que si le nombrexy2Q, alors (9a2Z)^(9b2Z)^(b6= 0)y=ab , donc le nombrey2Q. Nous somme arrive a une contradiction car nous avons eu queyest irrationnel. Donc le nombre (8x2Q)^(x6= 0)^(8yirrationnel)xyest irrationnel. #22. Preuve.On veut demontrer que (nest pair) !(7n+4 est pair). Cette proposition est logiquement equivalente a ((nest pair)!(7n+ 4 est pair))^((nest pair) (7n+ 4 est pair)). Donc pour demontrer (nest pair) !(7n+ 4 est pair) on doit demontrer (nest pair)!(7n+ 4 est pair) et (nest pair) (7n+ 4 est pair). Demonstration de (nest pair)!(7n+ 4 est pair). Sinest pair, alors selon la denition9m2Zn= 2m. Alors 7n+ 4 = 72m+ 4 = 2(7m+ 2). Demontrons que le nombrek= 7m+ 2 est entier. En eet, le nombre 7ml'est comme le produit de deux nombres entiers et le nombre 7m+ 2 est entier comme la somme de deux nombres entiers. Donc on a montre que9k2Z7n+4 = 2k. Alors selon la denition le nombre 7n+ 4 est pair. Demonstration de (nest pair) (7n+ 4 est pair). Pour cela utilisonsla preuve indirecte, i.e. demontrons que (7n+ 4 est impair)!(nest impair). Si 7n+ 4 est impair, alors9l2Z7n+ 4 = 2l+ 1. Alors 7n= 2l+ 14 = 2(l2) + 1. Le nombrer=l2 est entier comme la dierence de deux nombres entiers. Alors

9r2Z7n= 2r+ 1 et donc le nombre 7nest impair selon la denition. Pour

demontrer que le nombrenest impair utilisons la demonstration par l'absurde, i.e. supposons que le nombrenest pair. Alors9t2Zn= 2t. Cela implique que

7n= 7(2t) = 2(7t). Le nombres= 7test entier comme le produit de deux entiers.

Alors on a montre que9s2Z7n= 2set donc le nombre 7nest pair selon la denition. C'est une contradiction car on a deja montre que 7nest impair. Donc le nombren est impair.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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