Exercices de mathématiques supérieures PDF

2. Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux

Ensembles de nombres

On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel

Prépasup

18 avr. 2020 b) La somme le produit de deux nombres irrationnels est un irrationnel. c) La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est un ...

Introduction `a lanalyse Exercices 2 1. (a) Montrer que la somme de

(b) Est-il vrai que la somme de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel? Justifier. (c) Montrer que la somme d'un nombre rationnel et

TP2 #9. Preuve. Soient x et y deux nombres impairs. Alors selon la

Démontrons que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel en utilisant la démonstration par l'absurde. Soit x ? Qx =

Exercices de mathématiques supérieures

Montrer que ln 2 + ln 3 ln 5 + ln 7 est irrationnel. Exercice 6.6 ???. Solution p. 3. 1. Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un

Exercices de mathématiques supérieures

Exercice 6.5 ?. Montrer que ln 2 + ln 3 ln 5 + ln 7 est irrationnel. Exercice 6.6 ???. 1. Démontrer que la somme d'un rationnel et d'un irrationnel est un

Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. Montrer que le nombre 0ukuk+1uk+2... est rationnel. Correction ?. [005214].

Nombres réels

8 nov. 2011 Donc I = R. 1.4 Rationnels et irrationnels. Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs. La somme de deux rationnels ...

Nombres réels

Donc I = R. 1.4 Rationnels et irrationnels. Un nombre rationnel est le quotient de deux entiers relatifs. La somme de deux rationnels

Réels, bornes supérieures

Feuille 6

Exercice6.1?????Solution p.3

Résoudre dansRl"équationb2x+ 1c=bx+ 4c:

Exercice6.2?????Solution p.3

Soientf:R!Retg:R!Rdeux applications réelles bornées. Que peut-on dire desupff(x)+g(x)= x2

Rgvis-à-vis desupff(x)=x2Rg+ supfg(x)=x2Rg?

Exercice6.3?????Solution p.3

SoientAet,Bdeux parties non vides majorées deR: 1.

Démontr erque (AB))(supAsupB).

2. Démontr erque A[Best majorée et déterminersup(A[B). 3.

Démontr erque A\Best majorée. Quelle propriété peut-on établir reliantsup(A\B),supAetsupB?

Exercice6.4?????Solution p.3

Montrer quefq2= q2Qgest dense dansR+:

Exercice6.5?????Solution p.3

Montrer que

ln2 + ln3ln5 + ln7 est irrationnel.

Exercice6.6?????Solution p.3

1. Démontr erque la somme d"un rationnel et d"un irrationnel est un irrationnel. 2. Démontr erque la racine carré ed"un irrationnel stricternent p ositifest un irrationnel. 3.

Soient r;sdeux rationnels positifs tels qucpr;

pssont irrationnels. Démontrer quepr+psest irrationnel.

Exercice6.7?????Solution p.3

Soita2R+. Déterminer si elle existe la limite de la suite(E(an)1n )n2N, oùEdésigne la partie entière.

Exercice6.8?????Solution p.4

Pourx2Retn2N, montrer quebnxcn

=bxc:

Exercice6.9?????Solution p.4

Inégalité deCauchy-Schwarz:

Montr erque p ourtout x;y2R; xy12

(x2+y2) 2. Soit n2N. En déduire que pour touta1;:::;an2Retb1;:::;bn2R;nX k=1jakbkj 12 nX k=1a 2k+nX k=1b 2k! 3. En dé duirel"inégalité de Cauchy-Schwarz:

Pour toutn2N; a1;:::;an2Retb1;:::;bn2R;nX

k=1jakbkj Ìn X k=1a

2kÌn

X k=1b 2k.

Quentin De Muynck Sous licence

FEUILLE VI - RÉELS, BORNES SUPÉRIEURES

Montr erque p ourtout n2Neta1;:::;an2R;nX

k=1a kpn Ìn X k=1a 2k. 5. Montr erque ,p ourtout ré elsx;y;zstrictement positifs :Êx+yx+y+z+Êy+zx+y+z+Êz+xx+y+zp6

Exercice6.10?????Solution p.5

Montrer quefpmpn =(n; m)2N2gest dense dansR:

Exercice6.11?????Solution p.5

Soit(a;b)2R2aveca < b. Toutes les suites de cet exercice seront à valeurs dans[a;b]:

Soit(xn)une suite.

On poselimsup(xn) = limn!+1sup

knxk. etliminf(xn) = limn!+1infknxk:Montrer que ces notions sont bien dé?nies.

Soit(yn)une seconde suite.

1. Montr erque si : 8n2N; xnyn;alorslimsup(xn)limsup(yn)etliminf(xn)liminf(yn). 2. Montr erque limsup(xn+yn)limsup(xn)+limsup(yn)et quelimsup(xn)+liminf(yn)limsup(xn+ y n). 3. On supp oseque : 8n2N; xn0etyn0: Montrer qnelimsup(xn)liminf(yn)limsup(xnyn) limsup(xn)limsup(yn).

Exercice6.12?????Solution p.6

SoitIun segment non vide deR. Soitf:I!Rune application continue. Montrer que, pour tout2 f(I); =f(inffz2I = f(z) =g).

Exercice6.13?????Solution p.6

On munitE= [0;1][0;1]de l"ordre lexicographique. Montrer que toute partie non vide deEadmet une borne

supérieure. Ce résultat subsiste-t-il avecE= [0;1]]0;1]?

Exercice6.14?????Solution p.6

Montrer quefcos(ln(n))= n2N; n2gest dense dans[1;1].

Exercice6.15?????Solution p.7

SoitAune partie non majorée deR+. Montrer queB=[ n2N1n

Aest dense dansR+:

Exercice6.16?????Solution p.7

On noteGl"ensemble des applicationsfde classeC1de[0 ; 1]dansRtelles quef(0) = 0etf(1) = 1.

Déterminerinff2GZ

1 0 jf0(x)f(x)jdx:

Exercice6.17?????Solution p.8

1. Soit n2NSoientx1;:::;xn+1des réels de l"intervalle[0;1]. Montrer qu"il existei;j2Ntel que1i < jn+ 1etjxixjj 1n 2. Soit x2RnQavecx >0:Montrer que, pour toutN2N, il existeq2Netp2Ntel queqNetxpq 1q 2. 3. Montr erqu"il e xistec >0tel que, pour toutq2Netp2N;p2pq cq 2.

Quentin De Muynck 2 Sous licence

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Solution de l"exercice 6.1Énoncé

On a2x 2x

¨x+ 3<2x+ 1

2x2

x <4.

Si2x <2;5, alorsb2x+ 1c= 5bx+ 4c= 6.

Si2;5x <3, alorsb2x+ 1c= 6bx+ 4c= 6.

Si3x <3;5, alorsb2x+ 1c= 7bx+ 4c= 7.

Si3;5x <4, alorsb2x+ 1c= 8bx+ 4c= 9.

DoncS= [2;5 ; 3;5[.

Autre méthode :Posonsn=b2x+ 1c=bx+ 4c

2x+ 1;x+ 42[n;n+ 1[. Doncj(2x+ 1)(x+ 4)j<1doncjx3j<1doncx2]2 ; 4[.

Solution de l"exercice 6.2Énoncé

On va montrer quesup(f+g)supf+ supg.

Soity2 ff(x) +g(x)= x2Rg;9a2 ff(x)= x2Rg;9b2 fg(x)= x2Rg, tels quey=a+b. D"oùy sup(f) + sup(g), en passant au sup, on asupf+gsupf+ supg. La réciproque est en revanche fausse. (cf. dessin) :supf= 1;supg= 1;supf+g= 1.3211234567 112
f+ggf

Solution de l"exercice 6.3Énoncé

Solution de l"exercice 6.4Énoncé

Soitx;y2R+tel quepx <

py(doncx < y). Alorspx; py2RetQest dense dansRd"après le cours. Donc il existeq2Q;tel quepx < q < pydoncx < q2< yparstrictecroissance dex7!x2.

Doncq2= q2Qest dense dansR.

Solution de l"exercice 6.5Énoncé

a=ln2 + ln3ln5 + ln7 =ln6ln35 =pq >0; p;q2NN. ln6ln35 =pq ,qln6 =pln35donc6q= 35p(composition parexp), sip >1, on a5j35pdonc5j6qor5^6 = 1 donc d"après le théorème deGauss,5j1 .

Doncp= 0etq= 0ce qui impliquea= 1.

Donc7p5p= 2q3q, or il y a unicité d"après la décomposition en facteurs premiers doncp=q= 0orq6= 0 .

Solution de l"exercice 6.6Énoncé

Pas de preuve à ce jour.

Solution de l"exercice 6.7Énoncé

Sia <1, alorsan!n!+10d"oùE(an)!n!+10car0E(an)an!n!+10.

Sia= 1, alorsan!n!+11donc8n2N; E(an) = 1etE(an)1n

!n!+11. Sia >1, on a8n2N; an1< E(an)an, par croissance dex7!x1n , on a (an1)|{z} >0< E(an)1n (an)1n =a

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Soitf(x) = (ax1)1x

= (ax1)1x x 1x = (ax)1x 11a x 1x =ae1x ln(1ax)!x!+1ae0=a.

Par principe des gendarmes, on a bien queE(an)1n

!n!+1a. Autre méthode avec les équivalents, à venirSolution de l"exercice 6.8Énoncé

Lemme :Soita2R; b2Z;ba+bc=bac+b.

Preuve :bac a
2Za+b 2Z+1. On décomposexsous la formex=bxc+fxg, oùfxgdésigne la partie fractionnaire dex. Alors
bnxcn
=bnfxgnc+bnbxccn
bnfxgcn
+bxc
bnfxgcn
+bxc
Intéressons-nous à la partie fractionnaire.

0 fxg<1

0nfxg< n

0 bnfxgc< n

0bnfxgcn
<1
0bnfxgn
|{z} = 0<1
Finalement

bnxcn
=bxc
Solution de l"exercice 6.9Énoncé
1.
Soit x;y2R;alors0(xy)2,0x2+y2xy,xy12
(x2+y2) 2.
Par ré currence( quasiimmé diate).
3.
Soit a1;:::;an2R; b1;:::;bn2Ret posonsA=nX
k=1a
2ketB=nX
k=1b 2k L"inégalité deCauchy-Schwarzse réécrit : nX k=1jakbkj pAB,nX k=1 a kA b kB
1siA;B6= 0

Or, d"après 2), on a
n X k=1jakbkjpAB 12 nX k=1a 2kA +nX k=1b 2kB 12 1A A+1B B 12 2 = 1
Ce qui prouve l"inégalité deCauchy-Schwarz.

Quentin De Muynck 4 Sous licence

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4.
Soient a1;:::;an2R. D"aprèsCauchy-Schwarz,
nX k=1jak1j Ìn X k=11Ìn X k=1a
2kd"après 3)
d"où nX k=1jakj pn Ìn X k=1a 2k 5. Posons a1=Éx+yx+y+z;a2=Éy+zx+y+z;a3=Éz+xx+y+z.
Alors, d"après 4),
3 X i=1a ip3 Ì3 X i=1a 2i p3 p2 =p6
Un rapide calcul montre bien quea21+a22+a23= 2.

Solution de l"exercice 6.10Énoncé
PosonsE=fpmpn =(n; m)2N2g. Soitx;y2R+, tels quex > y. Posons ainsi"xy >0et u n= (pn+ 1pn)n2N.pn+ 1pn=n+ 1npn+ 1 +pn !n!+10 Par la dé?nition de la limite,8 >0;9N2N;8nN;pn+ 1pn < . On prend alors="donc9N2N; tel que0PosonsA=¦k = k(pN+ 1pN)< x©
Aest une partie deZmajorée, non-vide (02A), d"où l"existence d"un maximum. On posea= maxA. a(pN+ 1pN)< x(a+ 1)(pN+ 1pN)d"oùx"|{z} =ya(pN+ 1pN).
D"oùya(pN+ 1pN)x.

De plus, sia >0; a(pN+ 1pN) =Êa

2(N+ 1)|{z}
2Npa 2N2E
Sia <0; a(pN+ 1pN) =pa
2Npa
2(N+ 1)

Sia= 0;02E

AinsiEest dense dansR.

Solution de l"exercice 6.11Énoncé

On noteEn=fxk= kngetFn=fyk= kng
E
0est une partie non-vide deR, majoré par[a;b], donc elle admet une borne supérieure.

De plus,En+1End"oùsupEn+1supEn. La suite(supEn)n2Nest bornée décroissante d"où la convergence.

On procède de même pour la borne inf.
1. Soit kn2N, on dispose dexkyk, par passage au sup, on a alorsxkyksupFnpuissupEn supFn. Quandn!+1, l"inégalité devientlimsupxnlimsupyn
On axk+yksupEn+supFnd"oùsup
knxk+yksupFn+supEn. Quandn!+1,limsup(xn+yn) limsupxn+ limsupyn.
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2.infFn+xkxk+yksup
knxk+ykd"oùxksup knxk+ykinfFn. Par passage au sup, on asupEn sup knxk+ykinfFn, d"oùsupEn+ infFnsup knxk+yk. En passant à la limite,limsupxn+ liminfyn limsup(xn+yn). 3. Le r estese démontr ede manièr eanalogue ,à adapter .
Solution de l"exercice 6.12Énoncé
quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Feuille 6

Exercice6.1?????Solution p.3

Résoudre dansRl"équationb2x+ 1c=bx+ 4c:

Exercice6.2?????Solution p.3

Rgvis-à-vis desupff(x)=x2Rg+ supfg(x)=x2Rg?

Exercice6.3?????Solution p.3

Démontr erque (AB))(supAsupB).

Exercice6.4?????Solution p.3

Montrer quefq2= q2Qgest dense dansR+:

Exercice6.5?????Solution p.3

Montrer que

Exercice6.6?????Solution p.3

Soient r;sdeux rationnels positifs tels qucpr;

Exercice6.7?????Solution p.3

Exercice6.8?????Solution p.4

Pourx2Retn2N, montrer quebnxcn

Exercice6.9?????Solution p.4

Inégalité deCauchy-Schwarz:

Montr erque p ourtout x;y2R; xy12

Pour toutn2N; a1;:::;an2Retb1;:::;bn2R;nX

2kÌn

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Montr erque p ourtout n2Neta1;:::;an2R;nX

Exercice6.10?????Solution p.5

Montrer quefpmpn =(n; m)2N2gest dense dansR:

Exercice6.11?????Solution p.5

Soit(xn)une suite.

On poselimsup(xn) = limn!+1sup

Soit(yn)une seconde suite.

Exercice6.12?????Solution p.6

Exercice6.13?????Solution p.6

Exercice6.14?????Solution p.6

Exercice6.15?????Solution p.7

Aest dense dansR+:

Exercice6.16?????Solution p.7

Déterminerinff2GZ

Exercice6.17?????Solution p.8

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Solution de l"exercice 6.1Énoncé

¨x+ 3<2x+ 1

2x2

Si2x <2;5, alorsb2x+ 1c= 5bx+ 4c= 6.

Si2;5x <3, alorsb2x+ 1c= 6bx+ 4c= 6.

Si3x <3;5, alorsb2x+ 1c= 7bx+ 4c= 7.

Si3;5x <4, alorsb2x+ 1c= 8bx+ 4c= 9.

DoncS= [2;5 ; 3;5[.

Autre méthode :Posonsn=b2x+ 1c=bx+ 4c

2x+ 1;x+ 42[n;n+ 1[. Doncj(2x+ 1)(x+ 4)j<1doncjx3j<1doncx2]2 ; 4[.

Solution de l"exercice 6.2Énoncé

On va montrer quesup(f+g)supf+ supg.

Solution de l"exercice 6.3Énoncé

Solution de l"exercice 6.4Énoncé

Soitx;y2R+tel quepx <

Doncq2= q2Qest dense dansR.

Solution de l"exercice 6.5Énoncé

Doncp= 0etq= 0ce qui impliquea= 1.

Solution de l"exercice 6.6Énoncé

Pas de preuve à ce jour.

Solution de l"exercice 6.7Énoncé

Sia= 1, alorsan!n!+11donc8n2N; E(an) = 1etE(an)1n

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Soitf(x) = (ax1)1x

Par principe des gendarmes, on a bien queE(an)1n

Lemme :Soita2R; b2Z;ba+bc=bac+b.

bnxcn

bnfxgcn

bnfxgcn

Intéressons-nous à la partie fractionnaire.

0 fxg<1

0nfxg< n

0 bnfxgc< n

0bnfxgcn

0bnfxgn

Finalement

bnxcn

Pourx2Retn2N, montrer quebnxcn

bnxcn

bnfxgcn

bnfxgcn

0bnfxgn

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