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Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle Posons x1 = 10?

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On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel

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Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs

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Pour multiplier deux nombres relatifs en écritures fractionnaires on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux en respectant la règle des

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soit en langage courant : il existe un nombre rationnel ? > 0 et des Montrer que la suite (rn)n?N de nombres rationnels définie par r0 = 2 et rn+1 = 1+

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Montrer que si p a une racine rationnelle Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme `a terme :

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(c) Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est tou- (a) Montrer que le produit de deux nombres rationnels est toujours un

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En déduire une conjecture permettant de calculer le produit de deux Une fraction est un quotient de deux nombres entiers (donc un nombre rationnel)

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Montrer que si p a une racine rationnelle ? Exercice 8 Soient A et B deux parties bornées de R On note A+B = {a+b (a b) ? A×B} 1 Montrer que supA

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que le nombre 0ukuk+1uk+2 est rationnel Correction ? [005214] Exercice 7 ** Identité de CATALAN Montrer que pour tout entier

Activit´e de math´ematiques (correction)

Ensembles de nombres

1 (Ir)rationalit´e et Op´erations

1. Soientx=p

qety=mndeux nombres rationnels. Alorsx+y=pn+mqqnest un nombre rationnel.

2. Soitx=p

qun nombre rationnel etyun nombre irrationnel. La sommex+yne peut pas

ˆetre un nombre rationnelx+y=m

ncar sinony=mn-x=mn-pqserait un nombre rationnel d"apr`es la question pr´ec´edente. La sommex+yest donc un nombre irrationnel.

3. La somme de deux nombres irrationnels n"est pas forc´ement un nombre irrationnel comme

le montre l"exemple suivant : Soientx=-⎷

2 qui est un nombre irrationnel ety= 1+⎷2

qui est aussi un nombre irrationnel d"apr`es la question pr´ec´edente, alorsx+y= (-⎷ 2)+ (1 +⎷

2) = 1 est un nombre rationnel.

4. On montre de la mˆeme fa¸con que le produit de deux nombres rationnels est un nombre

rationnel et que le produit d"un nombre rationnel par un nombre irrationnel est un nombre irrationnel. En revanche, le produit de deux nombres irrationnels n"est pas forc´ement irrationnel comme le montre l"exemple suivant :⎷

2×⎷2 = 2.

2 Le"nombre d"or»

1. La construction est la suivante :

OIJ K L P

2. En utilisant le th´eorˆeme de Pythagore dans le triangleKILrectangle enI, on obtient

LK=⎷

2d"o`u :OP=OL+LP=12+⎷

2=1+⎷

5 2. 3. 2=?

1 +⎷

5 2? 2 =1 + 2⎷ 5 + 5

4=3 +⎷

5 2

φ+ 1 =1 +⎷

2+ 1 =1 +⎷

5 + 2

2=3 +⎷

5 2

Donc :

2=φ+ 1

1/2 Activit´e de math´ematiques (correction)Ensembles de nombres

4. En divisant parφ(qui est non nul d"apr`es l"´egalit´e pr´ec´edente) on obtient :

φ= 1 +1

3 Irrationalit´e de

1. On ´el`eve au carr´e la relation

2 =pqce qui donne 2 =p2q2d"o`u 2×q2=p2.

2. (a)

dernier chiffre dep0123456789 dernier chiffre dep20149656941 (b)dernier chiffre deq0123456789 dernier chiffre de 2×q20288202882

3. (a) Le dernier chiffre dep2= 2×q2est donc obligatoirement 0.

(b)pse termine donc par 0 etqpeut donc se terminer par 0 ou 5.

4. La fraction

p qn"est donc pas irr´eductible carpetqsont tous deux divisibles par 5.

5. On ne peut donc pas ´ecrire

2 sous la forme d"un fractionpqirr´eductible et donc⎷2 n"est

pas un nombre rationnel. 2/2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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