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Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs
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soit en langage courant : il existe un nombre rationnel ? > 0 et des Montrer que la suite (rn)n?N de nombres rationnels définie par r0 = 2 et rn+1 = 1+
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Montrer que si p a une racine rationnelle Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme `a terme :
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(c) Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est tou- (a) Montrer que le produit de deux nombres rationnels est toujours un
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En déduire une conjecture permettant de calculer le produit de deux Une fraction est un quotient de deux nombres entiers (donc un nombre rationnel)
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Montrer que si p a une racine rationnelle ? Exercice 8 Soient A et B deux parties bornées de R On note A+B = {a+b (a b) ? A×B} 1 Montrer que supA
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que le nombre 0ukuk+1uk+2 est rationnel Correction ? [005214] Exercice 7 ** Identité de CATALAN Montrer que pour tout entier
Introduction`a l"analyse
Exercices 2
1. (a) Montrer que la somme de deux nombres rationnels est toujours un nombre ra-
tionnel. (b) Est-il vrai que la somme de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel? Justifier. (c) Montrer que la somme d"un nombre rationnel et d"un nombre irrationnel est tou- jours un nombre irrationnel.2. (a) Montrer que le produit de deux nombres rationnels est toujours un nombre ra-
tionnel. (b) Est-il vrai que le produit de deux nombres irrationnels est toujours un nombre irrationnel? Justifier. (c) Montrer que le produit d"un nombre rationnel non nul et d"un nombre irrationnel est toujours un nombre irrationnel.3. Montrer que
3 est irrationnel.
4. Poura,d?Retn?Nfix´es, on dit que les nombres
a,a+d,a+ 2d,...,a+ (n-1)d forment uneprogression arithm´etique. En d"autres mots, des nombres sont en progres- sion arithm´etique si l"´ecart (ici,d) entre deux nombres successifs est constant. Le cas particuliera=d= 1 donne lesnpremiers nombres naturels. (a) ´Ecrire la somme de la progression arithm´etique ci-dessus avec la notation?. (b) Montrer que cette somme est ´egale `a n(2a+d(n-1)) 2.5. (a)
´Ecrire en notation?la somme desnpremiers nombres positifs impairs. (b) Montrer que cette somme est ´egale `an2. (c) Pouvez-vous prouver ce r´esultat sans calculs?6. D´emontrer les identit´es suivantes.
(a) N? k=1kr k-1=1-(N+ 1)rN+NrN+1 (1-r)2(pourr?= 1) (b) n? k=1k3=?n(n+ 1)
2? 27. D´emontrer les identit´es suivantes.
(a) n? k=0? n k? = 2 n (b) n? k=0(-1)k?n k? = 08. En utilisant les formules appropri´ees, calculer les sommes suivantes
(a) 2014?k=1000k (b) 4N? k=N2 k (c) N? k=11 2k(d) 3 (e) 1
3-133+135-137+··· -1399+13101
(f) 100?k=0? 100
k? 2kquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47
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