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Master 1 Metiers de l'Enseignement, Mathematiques - ULCO, La Mi-Voix, 2012/2013 ANALYSE 2Fiche de Mathematiques 1- Nombres reels.1 Introduction. Proprietes des rationnels PosantZ?=Znf0g, on peut denir l'ensembleQdes nombres rationnels comme etant le quotient deZZ?par

la relation d'equivalence obtenue en posant (p;q)(p0;q0) si (et seulement si)pq0=qp0. On a alors les proprietes

suivantes :

Propriete 1.1

1.Qest un corps commutatif pour les operations usuelles d'addition et de multiplication.

2.Qest totalement ordonne par la relation d'ordre usuelle, et cette relation d'ordre satisfait a

(a) quels que soient a;b;c2Q, l'inegaliteabimpliquea+cb+c, (b) quels que soient a;b;c2Q, les inegalitesc0etabimpliquentacbc. 3. Quel que soit x2Q, il existe un entiern2Ntel quen > x.

Les proprietes 1. et 2. se traduisent en disant queQest un corps commutatif totalement ordonne tandis que 3. se

traduit en disant queQest archimedien.

On notera qu'a l'encontre deZ,Qpossede une propriete de densite qui se traduit mathematiquement par :entre

deux nombres rationnels, il en existe toujours un troisieme . En eet, quels que soienta;b2Q, le nombre c= (a+b)=2 satisfait aa < c < b.

Pour la preuve de tous ces resultats, on se referera au document intituleNombres rationnelsdisponible a la

n du polycopie

2 Suites convergentes, suites de Cauchy (dansQ)

Pour completerQ, on denit les reels comme limites de suites de nombres rationnels (methode de Cantor).

Denition 2.1Une suite(xn)nde rationnels est denie par la donnee d'une applicationx:n7!(xn)ndeNdans Q. Denition 2.2DansQune suite(xn)nest dite bornee s'il existeM2Qtel que l'on aitjxnj Mquel que soit n2N.

Remarque 2.1Pour que la suite (xn)nsoit bornee, il sut qu'elle soit bornee a partir d'un certain rang, i.e. qu'il

existen02NetM2Qtels que l'on aitjxnj Mpournn0. En eet, la suite (xn)nest alors bornee par le nombreM0= sup(jx0j;jx1j;:::;jxn0j;M). Denition 2.3On dit que la suite(xn)ntend (ou converge) dansQversa(a2Q) si, quel que soit" >0("2Q), il existe un entiern"tel que l'inegaliten > n"entra^nejxnaj< ".

De par l'unicite de la limite, on peut poser sans ambigutea= limn!+1xnet dire queaest la limite de la suite

(xn)n. Une suite admettant une limite est dite convergente.

Denition 2.4On dit que la suite(xn)nest de Cauchy dansQsi, quel que soit" >0("2Q), il existe un entier

n "tel que les inegalitesn > n"etp > n"entra^nentjxnxpj< ".

Denition 2.5On dit que la suite(xn)nest de Cauchy dansQsi, quel que soit" >0("2Q), il existe un entier

n "tel que8n > n",8p0,jxn+pxnj< ".

Propriete 2.1

1.

T outesuite c onvergenteest de Cauchy.

2.

T outesuite de C auchyest b ornee.

3. Si la suite (xn)ntend vers zero et si la suite(yn)nest bornee, la suite(xnyn)ntend vers zero. 1/31

4.Si les suites (xn)net(yn)nsont de Cauchy, les suites(xn+yn)n,(xnyn)net(xnyn)nsont de Cauchy.

5.

Si la suite (xn)ntend versaet si la suite(yn)ntend versb, alors la suite(xn+yn)ntend versa+b, la suite

(xnyn)ntend versabet la suite(xnyn)ntend versab. 6.

Soit (xn)nune suite de Cauchy ne convergeant pas vers zero. Alors il existe un entiern0tel que, pour tout

n > n

0, on aitxn6= 0et la suite(1=xn)n, denie pourn > n0, est de Cauchy.

Exercice 1Demontrer les six proprietes precedentes. Exercice 2Montrer que si (rn)n2Nest une suite de nombres rationnels telle quejrn+1rnj npour tout n2N, ouest un rationnel strictement compris entre 0 et 1, alors cette suite est de Cauchy.

Proposition 2.1Il existe des suites de Cauchy deQqui ne sont pas convergentes. ((Q;j:j)n'est donc pas un

espace metrique complet) Exercice 3Montrer que la suite (rn)n2Nde nombres rationnels denie parr0= 2 etrn+1= 1 +1r nest de

Cauchy, mais non convergente dansQ.

Exercice 4Montrer que la suite (rn)n2Nde nombres rationnels denie parrn=nX k=01k!est de Cauchy, mais non convergente dansQ. Exercice 5Montrer que la suite de terme generalun=nX k=0(1)nn!est de Cauchy mais non convergente dansQ.

Le corpsQn'est donc pas complet pour la valeur absolue usuelle, ce qui est g^enant du point de vue de l'analyse.

En eet, pour construire de nouveau objets mathematiques (nombres, fonctions,...) il est utile d'utiliser la notion

de limite de suite. Or la denition usuelle d'une limite presuppose que l'on connaisse la limite eventuelle ce qui

s'avere dans la plupart des cas impossible. L'idee geniale de Louis-Augustin Cauchy fut d'introduire la notion

de suite de Cauchy an de s'aranchir de l'utilisation d'une limite explicite. En utilisant l'intuition que l'on

avait a l'epoque des reels (corps ordonne, theoreme des segments embo^tes), il demontra que le corps des reels est

complet c'est-a-dire qu'une suite reelle converge si et seulement si elle est de Cauchy. Nous savons depuis longtemps

(au moins intuitivement avec l'utilisation des decimaux et des calculatrices dans nos activites numeriques depuis

l'enfance) que les rationnels forment une partie dense deRc'est-a-dire tout reel est la limite (au sens de la valeur

absolue archimedienne) d'une suite de rationnels, que la distance sur les rationnels est induite par la distance sur

les reels. Il est des lors evident que deux suites convergentes (ou de Cauchy, ce qui semble ^etre la m^eme chose

pour les reels), vont representerle m^eme reel si et seulement si elles possedent la m^eme limite, c'est-a-dire

que leur dierence tend vers 0. De cette analyse, Cantor en deduit une methode rigoureuse de la construction

des nombres reels en ne presupposant que l'existence des rationnels. Ces derniers se deduisent rigoureusement des

entiers naturels, pour lequel nous devons poser le postulat de leur existence ainsi que de l'existence d'une addition

et du principe de recurrence.

3 Construction deR; structure algebrique. Notations

Proposition 3.1On obtient une structure d'anneau commutatif sur l'ensembleCdes suites de Cauchy deQen

denissant la sommex+yde deux suites de Cauchyx= (xn)nety= (yn)ncomme etant la suite(xn+yn)n, et

leur produit comme etant la suite(xnyn)n. Cet anneau admet pour unite la suite constanteu= (1)ndenie par

u

n= 1quel que soitnet elle admet pour zero la suite constante(0)ndont tous les termes sont nuls. Enn, les

suites d'elements deQconvergeant vers zero constituent un idealC0deC. La theorie generale des ideaux permet alors d'armer immediatement : Proposition 3.2On obtient une relation d'equivalence surCen posantxysixy2 C0, c'est-a-dire si la

suite(xnyn)ntend vers zero. De plus, le quotient deCpar cette relation d'equivalence est un anneau commutatif

unifere pour les lois quotients denies par :x+y=x+y,xy=xy ouxdesigne la classe de l'elementx.

Denition 3.1L'anneau quotientC=C0est appele droite numerique et designe parR. Ses elements sont appeles

nombres reels. 2/31

Proposition 3.3Rest un corps commutatif.

Proposition 3.4On obtient un isomorphisme deQsur un sous-corps deRen associant a chaque nombre rationnel

qla classeC(q)constituee par les suites de Cauchy convergeant versq.

On trouvera des details concernant la construction deRa la n de ce polycopie dans le document intitule

Nombres reels.

4 Relation d'ordre surR

Pour pouvoir ordonnerRon denit les ensemblesC+etCconstitues par les suites de Cauchy destinees a representer respectivement les nombres reels positifs et les nombres reels negatifs. Denition 4.1Soitx2 Cune suite de Cauchy. On dira quexappartient a l'ensembleC+(resp.C) si, a chaque " >0("2Q), on peut associer un entiern"tel que l'inegaliten > n"entra^nexn>"(resp.xn< ").

Propriete 4.1On a

1.C+\ C=C0etC+[ C=C.

2. Si la suite (xn)nn'appartient pas aC, il existe un rationnel >0et un entiern0tels que l'on aitxn> pour toutn > n0. 3. (a) x2 Cequivaut a(x)2 C+. (b)

L esr elationsx2 C+ety2 C+entra^nentx+y2 C+.

(c)

L esr elationsx2 C+ety2 C+entra^nentxy2 C+.

4.

Soient x;x0deux suites de Cauchy equivalentes (i.e. telles quex0x2 C0) alors elles appartiennent toutes

deux aC+ou toutes deux aC. Cette derniere propriete permet de poser sans ambigute la denition suivante :

Denition 4.2Un nombre reel est dit positif (resp. negatif) s'il est represente par une suite de Cauchy appartenant

aC+(resp.C).

L'ensemble des reels positifs (quotient deC+parC0) est desormais designe parR+, l'ensemble des reels negatifs

(quotient deCparC0) est designe parR. Des proprietes precedentes on deduit que :

Propriete 4.2

1. On obtient une r elationd'or dretotal sur Ren posantbasi (et seulement si)ba2R+. 2. Quels que soient les nombr esr eelsa;b;c, la relationbaentra^neb+ca+cet les relationsbaet c0entra^nentbcac(qui traduit le fait queRest un corps ordonne).

On trouvera des details concernant la relation d'ordre surRa la n de ce polycopie dans le document intitule

Nombres reels.

5 Approximation des reels par les rationnels. Axiome d'Archimede

L'identication deQa un sous-corps deRpose le probleme de situer les nombres rationnels par rapport a

l'ensemble des nombres reels, et de preciser les relations d'ordre entre nombres rationnels et nombres reels.A la

base de cette etude se trouve le theoreme suivant : Theoreme 5.1(Axiome d'Archimede) Quel que soit le nombre reela, il existe un entierptel quep > a. Corollaire 5.1Quels que soient les nombres reelsa;btels quea >0, il existe un entierptel quepa > b.

Proposition 5.1Quel que soit le nombre reel" >0, il existe un nombre rationnel"1satisfaisant a0< "1< ".

Proposition 5.2Quels que soient les nombres reels";xtels que" >0, il existe un entierpunique satisfaisant a

l'inegalite : p"x <(p+ 1)".

Proposition 5.3Quels que soient les nombres reels distinctsx;y, il existe un nombre rationnelzcompris entre

eux. 3/31 Proposition 5.4Entre deux nombres rationnels quelconques, il y a toujours un irrationnel. Les ensemblesQetRnQsont donc tous deux denses dansR. Exercice 61.D emontrerque si r2Qetx =2Qalorsr+x =2Qet sir6= 0,rx =2Q. 2.

Mon trerque p2=2Q.

3.

En d eduire:

Entre 2 nombres rationnels, il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra utiliser la propriete : pour tout reela >0, il existe un entierntel quen > a.)

Exercice 7Demontrer l'irrationnalite du nombre.

Exercice 8Soitp(x) =nX

i=0a ixi. On suppose que tous lesaisont des entiers. 1.

Mon trerque si pa une racine rationnelle

alorsdivisea0etdivisean. 2.

On consid erele nom bre

p2 + p3. En calculant son carre, montrer que ce carre est racine d'un polyn^ome de degre 2. En deduire, a l'aide du resultat precedent, qu'il n'est pas rationnel.

Exercice 9Montrer que

ln3ln2 est irrationnel. Exercice 10On designe parfune fonction monotone veriant l'equation fonctionnelle de Cauchy :

8(x;y)2R2; f(x+y) =f(x) +f(y):(1)

1.

Mon trerq ue:

8a2R;8r2Q;f(ra) =rf(a).

2. Mon trerqu'il existe un r eeltel quef(x) =xpour tout reelx. 3. Mon trerque l'iden titeest l'unique fonction non iden tiquementn ullef:R!Rtelle quef(x+y) =f(x)+f(y) etf(xy) =f(x)f(y) pour tous reelsx;y.

Exercice 11Montrer queE=fr3=r2Qgest dense dansR.

Exercice 12Siaetbsont des reels0, montrer que :

pa+pb2pa+b. Exercice 13Soitf:R!Rcroissante telle que8(x;y)2R2,f(x+y) =f(x) +f(y). Montrer que :

1.8n2N,f(n) =nf(1).

2.8n2Z,f(n) =nf(1).

3.8q2Q,f(q) =qf(1).

4.8x2R,f(x) =xf(1).

(On pourra utiliser la densite deQdansRpour encadrerxpar des rationnels de plus en plus proches dex.)

6 Representation decimale des nombres reels

Les resultats precedents montrent que les reels peuvent ^etre approches d'aussi pres que l'on veut par des

nombres rationnels. Nous allons voir que l'on peut, en particulier, les approcher par des nombres decimaux. Si on

pose"= 10ndans la proposition 5.2, on obtient

Proposition 6.1Quels que soient le nombre reelxet l'entiern, il existe un entier uniquepnveriant la double

inegalite p n10nx <(pn+ 1)10n:(2) Le nombre decimalp=pn10nest appele la valeur decimale approchee par defaut d'ordrendu nombre reelx. 4/31 Theoreme 6.1Il existe une bijectionx7!x0;x1;:::;xn;:::deRsur l'ensemble des developpements decimaux illimites propres telle que : 1. Pour tout n2N?, le nombre decimaln=x0;x1;:::;xnest la valeur decimale approchee d'ordrendex, denie par l'inegalite (2), avecn=pn10n. 2. L enombr er eelxest represente par la suite de Cauchy(n)n.

Corollaire 6.1L'ensembleRn'est pas denombrable.

Exercice 141.Soit Nn= 0;19971997:::1997 (nfois). MettreNnsous la formepq avecp;q2N?. 2. Soit M= 0;199719971997:::. Donner le rationnel dont l'ecriture decimale estM. 3.

M ^emequestion a vec

p= 0;11111:::+0;22222:::+0;33333:::+0;44444:::+0;55555:::+0; :::+0;77777:::+0;88888:::+0;99999:::

Exercice 15On se donne un entierb2 et pour tout entier naturelnnon nul, on denit l'ensemble : Q n=kb n=k2N;0kbn Montrer que pour tout reelx2[0;1] et tout entier naturelnnon nul, il existern2Qntel que : r nxrn+1b n.

En deduire queQest dense dansR.

7 Suites convergentes et suites de Cauchy dansR

Denition 7.1Une suite(xn)nde nombres reels est dite bornee s'il existe un nombre reelMveriantjxnj M pour toutn2N.

Denition 7.2On dit que la suite(xn)nde nombres reels tend (ou converge) vers le nombre reelxsi, quel que

soit le nombre reel" >0, il existe un entiern"tel que l'on aitjxnxj< "pour toutn > n".

Si ces conditions sont realisees, on dit aussi que la suite (xn)nest convergente et qu'elle admetxpour limite.

Denition 7.3On dit que la suite(xn)nde nombres reels est de Cauchy si, quel que soit le nombre reel" >0, il

existe un entiern"tel que les inegalitesn > n"etp > n"entra^nentjxnxpj< ".

Propriete 7.1

1.

Une suite de nombr esr eelsa au plus une limite.

2.

Dans R, toute suite convergente est de Cauchy.

3. T outesuite de C auchyform eede nombr esr ationnelsc onvergevers le nombr er eelqu'el ler epresente.

Theoreme 7.1Pour qu'une suite de nombres reels soit convergente, il faut et il sut qu'elle soit de Cauchy.

Propriete 7.2La limite d'une suite convergente de nombres positifs est positive (eventuellement nulle).

8 Proprietes des limites. Exemples

On obtient sans peine les proprietes suivantes :

Propriete 8.1

1.

Soient (xn)net(yn)ndeux suites de nombres reels ou complexes. Si la suite(xn)tend vers zero et si la suite

(yn)nest bornee, la suite(xnyn)ntend vers zero. 2.

Soient (xn)net(yn)ndeux suites de nombres reels ou complexes, convergeant respectivement versx;y. Alors

la suite(xn+yn)ntend versx+yet la suite(xnyn)ntend versxy. 5/31

3.Soit (xn)une suite de nombres reels ou complexes admettant une limitex6= 0. Alors la suite(1=xn)nest

denie pournassez grand et tend vers1=x. 4.

Soit (xn)nune suite de nombres reels ou complexes convergeant versx. Alors la suite(jxnj)nconverge vers

jxj. 5. Si la suite (zn)na une limitez, la suite(zn+1)ntend aussi versz.

Exercice 16

Etudier les suites

1. ( zn)n(z2Cdonne) 2. ( zn)ndenie par recurrence parzn+1=azn+bcz n+d(a;b;c;d;z0donnes avecadbc6= 0,c6= 0).

Denition 8.1

Etant donne deux suites(xn)n,(yn)nde nombres reels (resp. complexes), on dit que la suite(yn)n

est equivalente a la suite(xn)ns'il existe une suite(n)nde nombres reels (resp. complexes) tendant vers 1, telle

que, pournassez grand, on aityn=nxn.

Proposition 8.1Si la suite(xn)nest convergente, toute suite(yn)nequivalente a(xn)nest convergente et a

m^eme limite que la suite(xn).

Reciproquement, si(xn)net(yn)nsont deux suites convergeant vers la m^eme limite nie, et si cette limite est non

nulle, les suites(xn)net(yn)nsont equivalentes.

Proposition 8.2Si(xn)nest une suite de reels tendant vers+1(resp.1), toute suite de reels equivalente a

(xn)ntend aussi vers+1(resp.1).

Si(zn)nest une suite de nombres complexes tendant vers l'inni, toute suite de nombres complexes equivalente a

(zn)ntend aussi vers l'inni.

Proposition 8.3On ne modie pas la convergence ni la limite d'un produit ou d'un quotient de suites en rem-

placant chacune des suites qui y gurent par une suite equivalente. 6/31

Nombres ra io els

1 D´efinition deQ

On d´efinit, sur l"ensembleZ×Z, la relation binaireRde la fa¸con suivante : (a,b)R(a0,b0)??ab0=ba0 Propri´et´e 1.1Rest une relation d"´equivalence.

D´emonstration :

- R´eflexivit´e :Elle d´ecoule de la commutativit´e de la multiplication surZ. - Sym´etrie :Idem. - Transitivit´e :Soient (a,b), (a0,b0) et (a00,b00) tels que (a,b)R(a0,b0) et (a0,b0)R(a00,b00).

Alors :

ab 0=ba0 a

0b00=b0a00?

=?aa0b0b00=ba0b0a00=?aa0b00=ba0a00 Sia0?= 0, on obtientab00=ba00donc (a,b)R(a00,b00). Sinon,a0= 0 donca= 0 eta00= 0; on a encoreab00=ba00donc (a,b)R(a00,b00). D´efinitionUnnombre rationnelest la classe d"´equivalence d"un ´el´ement (a,b) deZ×Z; on le noteab. Et l"on noteQl"ensemble quotientZ×Z/Rdes nombres rationnels. N.B.Attention :abn"est rien d"autre qu"une notation pour d´esigner le ration- nel dont un repr´esentant est le couple (a,b). Ceci justifie ´egalement toutes les ´egalit´es de typeab=cd, qui signifie que les deux rationnels sont ´egaux, mais absolument pas les deux repr´esentants (a,b) et (c,d). D´efinitionaest appel´enum´erateurdu repr´esentant (a,b) deab;best appel´e sond´enominateur.

RemarquePour tout couple (a,b), on a :

01=ab??a= 0

On noteQl"ensembleQ\?01?

des rationnels non nuls. 1 7/31

2 Repr´esentants pri il´egi´es d"un rationnel

Th´eor`eme 2.1Soitabun rationnel non nul. Alors il existe un unique couple (p,q)dansZ×Z +, appel´e repr´esentant irr´eductible deab, qui v´erifie : pq=abetp?q= 1 (o`up?qd´esigne le PGCD des entierspetq.)

D´emonstration :

- Unicit´e :Soit (a,b)?Z×Z. Soit un tel couple (p,q), v´erifiant doncpq=ab, avec petqpremiers entre eux. Soitδ=a?b?N, eta0etb0deux entiers v´erifianta=δa0etb=δb0(et donca0?b0= 1, cf le texte sur les entiers relatifs). On a alorspδb0=qδa0doncpb0=qa0. Commea0?b0= 1, on en d´eduit (lemme de Gauss) quep|a0(etq|b0). C"est-`a-dire qu"il existe un entierktel quea0=pk. Mais alors, en rempla¸canta0parpkdans l´´egalit´epb0=qa0, il vient apr`es simplification parp:b0=qk. L"entierkest donc un diviseur commun dea0etb0. Comme on aa0?b0= 1, on obtientk=±1, et donc (p,q) = (a0,b0) ou bien (p,q) = (-a0,-b0). L"unicit´e d´ecoule alors de la conditionq >0. - Existence :Au signe pr`es, le couple (a0,b0) construit v´erifie la propri´et´e voulue. Si b

0<0, il suffit de prendre le couple (-a0,-b0).

Propri´et´e 2.2Soientabetcddeux rationnels. Soitμle PPCM debetd. Alors il existe deux entiersa1etc1tels que : ab=a1μetcd=c1μ N.B.Effectuer une telle op´eration (d´eterminer les entiersa1etc1) s"appelle r´eduire au mˆeme d´enominateurles deux rationnelsabetcd. D´emonstration :Soient en effetabetcddeux rationnels,μle PPCM debet d. soienthetkdeux entiers tels queμ=bh=dk. On v´erifie sans probl`eme que (a,b)R(ah,bh), et donc que ab=a1μ,o`u l"on a pos´ea1=ah.

De mˆeme

cd=c1μ,o`u l"on a pos´ec1=ck. 2 8/31

3 Op´erations surQ

3.1 Addition

Soit, dansZ×Z, l"addition d´efinie par (a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd). Cette addition est compatible avec la relationR, c"est-`a-dire : (a,b)R(a0,b0) (c,d)R(c0,d0)? =?((a,b) + (c,d))R((a0,b0) + (c0,d0)) En effet, la conclusion ´equivaut `a (ad+bc,bd)R(a0d0+b0c0,b0d0), c"est-`a-dire `a (ad+bc)b0d0= (a0d0+b0c0)bd, soit encoreadb0d0+bcb0d0=a0d0bd+b0c0bd, ce qui est vrai car par hypoth`eseab0=a0betcd0=c0d. Cette addition d´efinit donc par passage au quotient une op´eration (toujours appel´ee addition) surQ, en posant doncab+cd=ad+bcbd

Th´eor`eme 3.1(Q,+)est un groupe commutatif.

D´emonstration :

quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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