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Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux nombres irrationnels positifs dont la somme est rationnelle Posons x1 = 10?

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On montre de la même façon que le produit de deux nombres rationnels est un nombre rationnel et que le produit d'un nombre rationnel par un nombre irrationnel

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Un nombre irrationnel est un nombre qui n'est pas rationnel II Fractions : 1) Somme et différence : a) Règle n°1: si a et b sont deux nombres relatifs

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Pour multiplier deux nombres relatifs en écritures fractionnaires on multiplie les numérateurs et les dénominateurs entre eux en respectant la règle des

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soit en langage courant : il existe un nombre rationnel ? > 0 et des Montrer que la suite (rn)n?N de nombres rationnels définie par r0 = 2 et rn+1 = 1+

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Montrer que si p a une racine rationnelle Définition On définit également le produit de deux suites u et v de S comme le produit terme `a terme :

[PDF] Introduction `a lanalyse Exercices 2 1 (a) Montrer que la somme de

(c) Montrer que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est tou- (a) Montrer que le produit de deux nombres rationnels est toujours un

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En déduire une conjecture permettant de calculer le produit de deux Une fraction est un quotient de deux nombres entiers (donc un nombre rationnel)

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Montrer que si p a une racine rationnelle ? Exercice 8 Soient A et B deux parties bornées de R On note A+B = {a+b (a b) ? A×B} 1 Montrer que supA

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que le nombre 0ukuk+1uk+2 est rationnel Correction ? [005214] Exercice 7 ** Identité de CATALAN Montrer que pour tout entier

Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

L1Feuille n◦9Propri´et´es deR1 Les rationnelsQ Exercice 11. D´emontrer que sir?Qetx??Qalorsr+x??Qet sir?= 0r.x??Q.

2. Montrer que⎷2??Q,

3. En d´eduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra

utiliser la propri´et´e : pour tout r´eela >0, il existe un entierntel quen > a.)

Exercice 2Soitp(x) =?n

i=0aixi. On suppose que tous lesaisont des entiers.

1. Montrer que sipa une racine rationnelleαβ

alorsαdivisea0etβdivisean.

2. On consid`ere le nombre⎷2+

⎷3. En calculant son carr´e, montrer que ce carr´e est racine

d"un polynˆome de degr´e 2. En d´eduire, `a l"aide du r´esultat pr´ec´edent qu"il n"est pas

rationnel. Exercice 31. SoitNn= 0,19971997...1997 (nfois). MettreNnsous la formepq avec p,q?N?.

2. SoitM= 0,199719971997......Donner le rationnel dont l"´ecriture d´ecimale estM.

3. Mˆeme question avec :P= 0,11111...+0,22222...+0,33333...+0,44444...+0,55555...+

0,66666...+ 0,77777...+ 0,88888...+ 0,99999...

Exercice 4Montrer queln3ln2

est irrationnel.

2 Maximum, minimum, borne sup´erieure...

Exercice 5Le maximum de 2 nombresx,y(c"est-`a-dire le plus grand des 2) est not´e max(x,y). De mˆeme on notera min(x,y) le plus petit des 2 nombresx,y. D´emontrer que : max(x,y) =x+y+|x-y|2 et min(x,y) =x+y- |x-y|2

Trouver une formule pour max(x,y,z).

Exercice 6D´eterminer la borne sup´erieure et inf´erieure (´eventuellement infinies) de :A=

{un,n?N}en posantun= 2nsinest pair etun= 2-nsinon.

Exercice 7D´eterminer (s"ils existent) : les majorants, les minorants, la borne sup´erieure, la

borne inf´erieure, le plus grand ´el´ement, le plus petit ´el´ement des ensembles suivants :

[0,1]∩Q,]0,1[∩Q,N,? (-1)n+1n , n?N?? 1 Exercice 8SoientAetBdeux parties born´ees deR. On noteA+B={a+b|(a,b)?A×B}.

1. Montrer que supA+ supBest un majorant deA+B.

2. Montrer que sup(A+B) = supA+ supB.

Exercice 9SoitAetBdeux parties born´ees deR.Vraioufaux?

1.A?B?supA?supB,

2.B?A?infA?infB,

3. supA?B= max(supA,supB),

4. sup(A+B)
5. sup(-A) =-infA,

6. supA+ infB?sup(A+B).

3 Divers
Exercice 10Siaetbsont des r´eels?0, montrer que : ⎷a+⎷b?2⎷a+b. Exercice 11Soitf:R→Rcroissante telle que?(x,y)?R2f(x+y) =f(x)+f(y). Montrer que
1.?n?Nf(n) =nf(1).

2.?n?Zf(n) =nf(1).

3.?q?Qf(q) =qf(1).

4.?x?Rf(x) =xf(1) (on pourra utiliser la densit´e deQdansRpour encadrerxpar
des rationnels de plus en plus proches dex). 2
Biblioth`eque d"exercicesIndications
L1Feuille n◦9Propri´et´es deRIndication 11. Raisonner par l"absurde.
2. Raisonner par l"absurde en ´ecrivant⎷2 =
pq avecpetqpremiers entre eux. Puis essayer de montrer quepetqsont tous les deux pairs.
3. Utiliser les deux questions pr´ec´edentes.

Indication 21. Calculerβnp(αβ
) et utiliser le th´eor`eme de Gauss.
2. Utiliser la premi`ere question avecp(x) = (x2-5)5-24.
Indication 31. MutiplierNnpar une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier.
2. MutiplierNpar une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraire

Npour obtenir un nombre entier.
Indication 4C"est le mˆeme type de d´emonstration que pour prouver que⎷2 n"est pas ra- tionnel.
Indication 6supA= +∞, infA= 0.

Indication 10

´Elever l"in´egalit´e au carr´e.
Indication 111.f(2) =f(1 + 1) =···, faire une r´ecurrence.
2.f((-n) +n) =···.

3. Siq=ab
, calculerf(ab +ab +···+ab ) avecbtermes dans cette somme.
4. Pourx?Rfix´e, prendre une suite de rationnels qui croit versx, et une autre qui d´ecroit
versx. 1
Biblioth`eque d"exercicesCorrections
L1Feuille n◦9Propri´et´es deRCorrection 11. Soitr=pq ?Qetx /?Q. Par l"absurde supposons quer+x?Qalors il existe deux entiersp?,q?tels quer+x=p?q ?. Doncx=p?q ?-pq =qp?-pq?qq ??Qce qui est absurde carx /?Q.
De la mˆeme fa¸con sirx?Qalorsrx=p?q
?Et doncx=p?q ?qp . Ce qui est absurde.
2. Supposons que⎷2?Qalors il existe deux entiersp,qtels que⎷2 =
pq . De plus nous pouvons supposer que la fraction est irr´eductible (petqsont premiers entre eux). En ´elevant l"´egalit´e au carr´e nous obtenonsq2×2 =p2. Doncp2est un nombre pair, cela implique quepest un nombre pair (si vous n"ˆetes pas convaincu ´ecrivez la contrapos´ee "pimpair?p2impair"). Doncp= 2×p?avecp??N, d"o`up2= 4×p?2. Nous obtenons q
2= 2×p?2. Nous en d´eduisons maintenant queq2est pair et comme ci-dessus queqest
pair. Nous obtenons ainsi une contradiction carpetq´etant tous les deux pairs la fraction pq n"est pas irr´eductible et aurait pu ˆetre simplifier. Donc⎷2/?Q.
3. Soientr,r?deux rationnels avecr < r?. Notonsa=⎷2(r?-r). Choisissonsn?Ntel que
n >⎷2. Et posons x=r+an D"une partx?]r,r?[ et d"apr`es les deux premi`eres questions⎷2 ?r?-rn ?/?Q. Et doncxest un nombre irrationnel compris entreretr?.
Correction 21. Soitαβ
?Qavecα?β= 1. Pourp(αβ ) = 0, alors?n i=1ai? i= 0. Apr`es multiplication parβnnous obtenons l"´egalit´e suivante : a En factorisant les derniers termes de cette somme parβ, nous ´ecrivonsanαn+βq= 0. Ceci entraˆıne queβdiviseanαn, mais commeβetαnsont premier entre eux (carα?β= 1) alors par le th´eor`eme de Gaussβdivisean. De mˆeme en factorisant les premiers termes de la somme ci-dessus parαnous obtenonsαq?+a0βn= 0 et par un raisonnement similaire
αdivisea0.

2. Notonsγ=⎷2 +
⎷3. Alorsγ2= 5 + 2⎷2 ⎷3 Et donc (γ2-5)2= 4×2×3, Nous choisissonsp(x) = (x2-5)5-24, qui s"´ecrit aussip(x) =x4-10x2+1. Vu notre choix de p, nous avonsp(γ) = 0. Si nous supposons queγest rationnel, alorsγ=αβ et d"apr`es la premi`ere questionαdivise le terme constant dep, c"est-`a-dire 1. Doncα=±1. De mˆeme βdivise le coefficient du terme de plus au degr´e dep, doncβdivise 1, soitβ= 1. Ainsi
γ=±1, ce qui est ´evidemment absurde!
Correction 31. Soitp= 20012001...2001 etq= 100000000...0000 = 104n. Alors N n=pq
2. Remarquons que 10000×M= 2001,20012001...Alors 10000×M-M= 2001; donc

9999×M= 2001 d"o`uM=20019999
1
3. 0,111...=19
, 0,222...=29 , etc. D"o`uP=19 +29
+···+99 =1+2+···+99 =459 = 5.
Correction 4Par l"absurde supposons queln3ln2
est un rationnel. Il s"´ecritpq avecp?0,q >0 des entiers. On obtientqln3 =pln2. En prenant l"exponentielle : exp(qln3) = exp(pln2) soit 3 q= 2p. Sip >1 alors 2 divise 3q, ce qui est absurde. Doncp= 0 oup= 1. Donc 3q= 2 ou 3 q= 1. La seule solution possible estp= 0,q= 0. Ce qui contreditq?= 0. Doncln3ln2 est irrationnel. Correction 5Explicitons la formule pour max(x,y). Six?y, alors|x-y|=x-ydonc 12 (x+y+|x-y|) =12 (x+y+x-y) =x. De mˆeme six?y, alors|x-y|=-x+ydonc 12 (x+y+|x-y|) =12 (x+y-x+y) =y. Pour 3 ´el´ement, nous avons max(x,y,z) = max?max(x,y),z?, donc d"apr`es les formules pour
2 ´el´ements :
max(x,y,z) =max(x,y) +z+|max(x,y)-z|2 12 (x+y+|x-y|) +z+??12 (x+y+|x-y|)-z??2 Correction 6(u2k)ktend vers +∞et donc le seul majorant deAest +∞et donc supA=
+∞. D"autre part toutes les valeurs de (un) sont positives et (u2k+1)ktend vers 0, donc infA= 0.
Correction 71. [0,1]∩Q. Les majorants : [1,+∞[. Les minorants : ]- ∞,0]. La borne
sup´erieure : 1. La borne inf´erieure : 0. Le plus grand ´el´ement : 1. Le plus petit ´el´ement 0.

2. ]0,1[∩Q. Les majorants : [1,+∞[. Les minorants : ]- ∞,0]. La borne sup´erieure : 1. La

borne inf´erieure : 0. Il nexiste pas de plus grand ´el´ement ni de plus petit ´el´ement.

3.N. Pas de majorants, pas de borne sup´erieure, ni de plus grand ´el´ement. Les minorants :
]- ∞,0]. La borne inf´erieure : 0. Le plus petit ´el´ement : 0. 4.? (-1)n+1n
2,n?N??
. Les majorants : [ 54
,+∞[. Les minorants : ]- ∞,-1]. La borne sup´erieure : 54
. La borne inf´erieure :-1. Le plus grand ´el´ement :54 . Pas de plus petit
´el´ement.
Correction 81. SoientAetBdeux parties born´ees deR. On sait que SupAest un majorant deA, c"est `a dire,?a?A, a?SupA. De mˆeme,?b?B, b?SupB. On veut montrer que SupA+SupBest un majorant deA+B. Soit doncx?A+B. Cela signifie quexest de la formea+bpour una?Aet unb?B. Ora?SupA, etb?SupB, donc x=a+b?SupA+SupB. Comme ce raisonnement est valide pour toutx?A+Bcela signifie que SupA+ SupBest un majorant deA+B.
2. On veut montrer que, quel que soitε >0, SupA+ SupB-εn"est pas un majorant de
A+B. On prend donc unε >0 quelconque, et on veut montrer que SupA+ SupB-ε ne majore pasA+B. On s"interdit donc dans la suite de modifierε. Comme SupAest le plus petit des majorants deA, SupA-ε/2 n"est pas un majorant deA. Cela signifie qu"il existe un ´el´ementadeAtel quea >SupA-ε/2.Attention :SupA-εn"est pas forc´ement dansA.SupAnon plus. Et il n"est pas non plus vrai que?a?A a > SupA-ε/2. On ne choisit donc pas cea.De la mˆeme mani`ere, il existeb?Btel que b >SupB-ε/2. Or l"´el´ementxd´efini parx=a+best un ´el´ement deA+B, et il v´erifiex >(SupA-ε/2) + (SupB-ε/2) = SupA+ SupB-ε.Ceci implique que
SupA+ SupB-εn"est pas un majorant deA+B.
2
3. SupA+SupBest un majorant deA+Bd"apr`es la partie 1. Mais, d"apr`es la partie 2., d`es
qu"on prend unε >0, SupA+SupB-εn"est pas un majorant deA+B. Donc SupA+SupB est bien le plus petit des majorants deA+B, i.e. Sup (A+B) = SupA+ SupB.
Correction 91. Vrai.

2. Vrai.

3. Vrai.

4. Faux. L"´egalit´e peut ne pas ˆetre stricte.

5. Vrai.

6. Vrai.

Correction 10
⎷a+⎷b?2⎷a+b ?(⎷a+⎷b)2?2(a+b) car les termes sont positifs, et la fonctionx?→x2est croissante surR+. ?a+b+ 2⎷a ⎷b?2(a+b) ?a+b-2⎷a ⎷b?0 ?(⎷a-⎷b)2?2.
La deni`ere proposition est toujours vraie, et donc par ´equivalence, nous obtenons l"in´egalit´e
recherch´ee. Correction 111. Calculons d"abordf(0).f(1) =f(1 + 0) =f(1) +f(0) Doncf(0) = 0. Montrons le r´esultat demand´e par r´ecurrence : pourn= 1, nous avons bienf(1) =
1×f(1). Sif(n) =nf(1) alorsf(n+ 1) =f(n) +f(1) =nf(1) +f(1) = (n+ 1)f(1).

2. 0 =f(0) =f(-1 + 1) =f(-1) +f(1). Doncf(-1) =-f(1). Puis comme ci-dessus
f(-n) =nf(-1) =-nf(1).
3. Soitq=ab
. Alorsf(a) =f(ab +ab +···+ab ) =f(ab ) +···+f(ab ) (btermes dans cette somme). Doncf(a) =bf(ab ). Soitaf(1) =bf(ab ). Ce qui s"´ecrit aussif(ab ) =ab f(1).
4. Soitx?RSoit (αi) une suite croissante de rationnels qui tend versx. Soit (βi) une suite
d´ecroissante de rationnels qui tend versx: Alors commeαi?x?βiet quefest croissante nous avonsf(αi)?f(x)?f(βi). D"apr`es la question pr´ec´edent cette in´equation devient :αif(1)?f(x)?βif(1). Comme (αi) et (βi) tendent versx. Par le th´eor`eme des "gendarmes" nous obtenons en passant `a la limite :xf(1)?f(x)?xf(1). Soitf(x) =xf(1). 3quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

2. Montrer que⎷2??Q,

3. En d´eduire : entre 2 nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel. (On pourra

Exercice 2Soitp(x) =?n

1. Montrer que sipa une racine rationnelleαβ

2. On consid`ere le nombre⎷2+

2. SoitM= 0,199719971997......Donner le rationnel dont l"´ecriture d´ecimale estM.

3. Mˆeme question avec :P= 0,11111...+0,22222...+0,33333...+0,44444...+0,55555...+

0,66666...+ 0,77777...+ 0,88888...+ 0,99999...

Exercice 4Montrer queln3ln2

2 Maximum, minimum, borne sup´erieure...

Trouver une formule pour max(x,y,z).

1. Montrer que supA+ supBest un majorant deA+B.

2. Montrer que sup(A+B) = supA+ supB.

1.A?B?supA?supB,

2.B?A?infA?infB,

3. supA?B= max(supA,supB),

5. sup(-A) =-infA,

6. supA+ infB?sup(A+B).

3 Divers

1.?n?Nf(n) =nf(1).

2.?n?Zf(n) =nf(1).

3.?q?Qf(q) =qf(1).

4.?x?Rf(x) =xf(1) (on pourra utiliser la densit´e deQdansRpour encadrerxpar

Biblioth`eque d"exercicesIndications

2. Raisonner par l"absurde en ´ecrivant⎷2 =

3. Utiliser les deux questions pr´ec´edentes.

Indication 21. Calculerβnp(αβ

2. Utiliser la premi`ere question avecp(x) = (x2-5)5-24.

2. MutiplierNpar une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraire

Npour obtenir un nombre entier.

Indication 6supA= +∞, infA= 0.

Indication 10

´Elever l"in´egalit´e au carr´e.

2.f((-n) +n) =···.

3. Siq=ab

4. Pourx?Rfix´e, prendre une suite de rationnels qui croit versx, et une autre qui d´ecroit

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

De la mˆeme fa¸con sirx?Qalorsrx=p?q

2. Supposons que⎷2?Qalors il existe deux entiersp,qtels que⎷2 =

2= 2×p?2. Nous en d´eduisons maintenant queq2est pair et comme ci-dessus queqest

3. Soientr,r?deux rationnels avecr < r?. Notonsa=⎷2(r?-r). Choisissonsn?Ntel que

Correction 21. Soitαβ

αdivisea0.

2. Notonsγ=⎷2 +

γ=±1, ce qui est ´evidemment absurde!

2. Remarquons que 10000×M= 2001,20012001...Alors 10000×M-M= 2001; donc

9999×M= 2001 d"o`uM=20019999

3. 0,111...=19

Correction 4Par l"absurde supposons queln3ln2

2 ´el´ements :

2. ]0,1[∩Q. Les majorants : [1,+∞[. Les minorants : ]- ∞,0]. La borne sup´erieure : 1. La

3.N. Pas de majorants, pas de borne sup´erieure, ni de plus grand ´el´ement. Les minorants :

2,n?N??

´el´ement.

2. On veut montrer que, quel que soitε >0, SupA+ SupB-εn"est pas un majorant de

SupA+ SupB-εn"est pas un majorant deA+B.

3. SupA+SupBest un majorant deA+Bd"apr`es la partie 1. Mais, d"apr`es la partie 2., d`es

Correction 91. Vrai.

2. Vrai.

3. Vrai.

4. Faux. L"´egalit´e peut ne pas ˆetre stricte.

5. Vrai.

6. Vrai.

Correction 10

1×f(1). Sif(n) =nf(1) alorsf(n+ 1) =f(n) +f(1) =nf(1) +f(1) = (n+ 1)f(1).

2. 0 =f(0) =f(-1 + 1) =f(-1) +f(1). Doncf(-1) =-f(1). Puis comme ci-dessus

3. Soitq=ab

4. Soitx?RSoit (αi) une suite croissante de rationnels qui tend versx. Soit (βi) une suite