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Systèmes linéaires
Aimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Exemples préliminaires
Un système de 3 équations à 2 inconnues
Un système de 2 équations à 3 inconnues
Un système de 3 équations à 3 inconnues
2Définition d"un système linéaire
Forme générale
Opérations
3Méthode du pivot de Gauss
Description
Système échelonné
Résolution
Discussion
Exemple de synthèse
Sommaire
1Exemples préliminaires
Un système de 3 équations à 2 inconnues
Un système de 2 équations à 3 inconnues
Un système de 3 équations à 3 inconnues
2Définition d"un système linéaire
3Méthode du pivot de Gauss
1. Exemples préliminairesa) 3 équations - 2 inconnues
Exemple 1.1
Fixons un réela. Considérons le système de trois équations à deux inconnues suivant: (S) :8 :x+y=1E12xy=2E2
3x+2y=a E3Résolution.On essaie de faire "disparaître» progressivement les inconnues à l"aide
decombinaisons linéairessur les équations : (S)()8 :x+y=1E 1 y=4E02=E2+2E1
5y=a+3E
03=E3+3E1()8
:x+y=1E 1 y=4E 020=a17E
003=E035E02
On obtient un système composé d"un sous-systèmetriangulairede deux équations à deux inconnues(S00) :nx+y=1y=4et d"une équation de"compatibilité»sans inconnue :a17=0. Cette dernière indique si le système(S)admet des solutions ou non : sia6=17, il n"y a pas de solution, on dit que le système(S)estincompatible; sia=17, l"équation de compatibilité s"écrit0 =0et devient redondan te.Les systèmes(S)et(S00)sont alors équivalents. Le sous-système(S00)étanttriangulaire, il est facile de le résoudre en partant de l"équation du bas puis en "remontant» les équations :E02donney=4, puis en reportant dansE1, on récupèrex=y1=3. Le système(S)admet uneuniquesolution dansR2:(x;y) = (3;4).11. Exemples préliminairesa) 3 équations - 2 inconnues
Exemple 1.1
Fixons un réela. Considérons le système de trois équations à deux inconnues suivant: (S) :8 :x+y=1E12xy=2E2
3x+2y=a E3Interprétation géométrique
Chaque équation du système(S)représente une droite dans un plan rapporté à un repèreO;~i;~j. NotonsD1la droite d"équationx+y=1
D2la droite d"équation2 xy=2
D3la droite d"équation3 x+2y=a
Résoudre le système(S)revient à déterminer l"intersec- tion de ces trois droites.La résolution précédente fournit donc :
sia6=17, les droitesD1,D2,D3n"admettent pas de point d"intersection :D1\D 2\D 3=?; sia=17, les droitesD1,D2,D3admettent un point d"intersection, le pointM(3;4), elles sont concourantes:D1\D 2\D 3=fMg:xy 34O1111MD
1D 2D3(a=3)D
3(a=5)D
3(a=17)2
1. Exemples préliminairesb) 2 équations - 3 inconnues
Exemple 1.2
Considérons le système de deux équations à trois inconnues suivant : (S) :x+y+z=1E12xy+3z=2E2Résolution
On essaie de faire "disparaître» progressivement les inconnues à l"aide de combinaisons linéairessur les équations : (S)()x+y+z=1E 1 y+5z=4E02=E2+2E1()x+y=1zE
1 y=45zE 02 On obtient un systèmetriangulaire(S0)équivalent à(S)composé de deux équations à deux inconnues dites"principales»(x;y) et une inconnue dite"auxiliaire»(z). Le sous-système(S0)étanttriangulaire, il est facile de le résoudre en partant de l"équation du bas puis en "remontant» les équations :E02donney=45z,
puis en reportant dansE1, on récupèrex=y+z1=34z. Le système(S)admet une infinité de solutions dansR3: (x;y;z) = (34z;45z;z);z2R:31. Exemples préliminairesb) 2 équations - 3 inconnues
Exemple 1.2
Considérons le système de deux équations à trois inconnues suivant : (S) :x+y+z=1E12xy+3z=2E2Interprétation géométrique
Chaque équation du système(S)repré-
sente un plan dans l"espace rapporté à un repèreO;~i;~j;~k. NotonsP1le plan d"équationx+y+z=1
P2le plan d"équation2 xy+3z=2
Résoudre le système(S)revient à déter- miner l"intersection de ces deux plans.La résolution précédente montre que
les plansP1etP2admettent une infi- nité de points d"intersection, les pointsM(34z;45z;z),z2R, il s"agit en
fait d"une droiteD: P1\P 2=D:4
1. Exemples préliminairesc) 3 équations - 3 inconnues
Exemple 1.3
Fixons un réela. Considérons le système de trois équations à trois inconnues suivant: (S) :8 :x+y+z=1E12xy+3z=2E2
x+2y+6z=a E3Résolution.On essaie de faire "disparaître» progressivement les inconnues à l"aide
decombinaisons linéairessur les équations : (S)()8 :x+y+z=1E 1 y+5z=4E02=E2+2E1
y+5z=a1E03=E2E1()8
:x+y+z=1E 1 y+5z=4E 02 0=a5E003=E03E02
On obtient un système composé d"un sous-systèmetriangulairede deux équations à deux inconnuesprincipales(x;y) et uneauxiliaire(z)(S00) :x+y+z=1 y+5z=4et d"une équation decompatibilitésans inconnuea5=0. Cette dernière indique si le système(S)admet des solutions ou non : sia6=5, il n"y a pas de solution, le système(S)estincompatible; sia=5, l"équation de compatibilité s"écrit0 =0et devient r edondante.Les systèmes(S)et(S00)sont alors équivalents. Le sous-système(S00)a été résolu dans l"exemple précédent. Ainsi, le système(S)admet une infinité de solutions dansR3: (x;y;z)=(34z;45z;z);z2R:51. Exemples préliminairesc) 3 équations - 3 inconnues
Exemple 1.3
Fixons un réela. Considérons le système de trois équations à trois inconnues suivant: (S) :8 :x+y+z=1E12xy+3z=2E2
x+2y+6z=a E3Interprétation géométrique Chaque équation de(S)représente un plan dans l"espace rapporté à un repèreO;~i;~j;~k. NotonsP1le plan d"équationx+y+z=1
P2le plan d"équation2 xy+3z=2
P3le plan d"équationx+2y+6z=a
Résoudre le système(S)revient à déterminer l"in- tersection de ces trois plans.La résolution précédente fournit donc :
sia6=5, les plansP1,P2,P3n"admettent pas de point d"intersection : P1\P 2\P 3=?;
sia=5, les plansP1,P2,P3admettent comme intersection une droiteD: P1\P 2\P 3=D:6
1. Exemples préliminairesc) 3 équations - 3 inconnues
Exemple 1.4
Considérons le système de trois équations à trois inconnues suivant : (S) :8 :x+y+z=1E12xy+3z=2E2
x+2y+5z=4E3Résolution On essaie de faire "disparaître» progressivement les inconnues à l"aide de combinaisons linéairessur les équations : (S)()8 :x+y+z=1E 1 y+5z=4E02=E2+2E1
y+4z=3E03=E2E1()8
:x+y+z=1E 1 y+5z=4E 02 z=1E003=E03E02
On obtient un systèmetriangulairequi se résout en partant de l"équation du bas puis en remontant les équations :E003donnez=1,
que l"on reporte dansE02qui donney=45z=1, que l"on reporte dansE1qui donnex=y+z1=1. Le système(S)admet uneuniquesolution dansR3:(x;y;z) = (1;1;1).71. Exemples préliminairesc) 3 équations - 3 inconnues
Exemple 1.4
Considérons le système de trois équations à trois inconnues suivant : (S) :8 :x+y+z=1E12xy+3z=2E2
x+2y+5z=4E3Interprétation géométriqueChaque équation du système(S)représente
un plan dans l"espace rapporté à un repèreO;~i;~j;~k. NotonsP1le plan d"équationx+y+z=1
P2le plan d"équation2 xy+3z=2
P3le plan d"équationx+2y+5z=4
Résoudre le système(S)revient à déterminer l"intersection de ces trois plans. La résolution précédente montre que les plans P1,P2,P3admettent un point d"intersection,
le pointM(1;1;1), ils sontconcourants: P1\P 2\P 3=fMg:8
Sommaire
1Exemples préliminaires
2Définition d"un système linéaire
Forme générale
Opérations
3Méthode du pivot de Gauss
2. Définition d"un système linéairea) Forme générale
Dans la suite de ce chapitre,KdésigneRouC.Définition 2.1 (Système linéaire)Unsystème linéaire dennnéquations àpppinconnuesx1;:::;xpx1;:::;xpx1;:::;xpest un système
d"équations de la forme : (S) :8 >>>>>>>>>:a11x1+a12x2++a1jxj++a1pxp=b1
a i1x1+ai2x2++aijxj++aipxp=bi a n1x1+an2x2++anjxj++anpxp=bn où lesaij,16i6n,16j6p, et lesbi,16i6n, sont des éléments fixés deKqui forment respectivementles coefficientset lesecond membredu système.92. Définition d"un système linéairea) Forme générale
Représentation matricielle(facultatif, voir chapitre "Matrices»)1Introduisons lestableauxde nombres suivants :
A=0 B @a 11a1p a n1anp1 C AX=0 B @x 1 x p1 C AB=0 B @b 1 b n1 C A: Le tableau "rectangulaire»Aest unematrice ànnnlignes etpppcolonnes, à coefficients dansK; la "colonne»Xest unematrice-colonneàplignes;la "colonne»Best unematrice-colonneànlignes.2Définissons formellement le"produit matriciel»deAparXselon
AX=0 B @a11x1++a1pxp
a n1x1++anpxp1 C A: Résoudre le système(S)est équivalent àrésoudre l"équation matricielleAX=BAX=BAX=B d"inconnueX, les matricesAetBétantfixées.102. Définition d"un système linéaireb) Opérations
Définition 2.2
On appellesolutiondu système(S)toutp-uplet(x1;:::;xp)2Kpqui satisfait aux équations du système. Lorsque(b1;:::;bn) = (0;:::;0), le système(S)est dithomogène.Deux systèmes(S)et(S0)sont ditséquivalentss"ils ont les mêmes solutions.Proposition 2.3 (Opérations équivalentes)
On obtient un système(S0)équivalentau système(S)si on applique à ce dernier l"une des opérations suivantes :échangede deux lignes (on noteLi !Lj);
multiplicationd"une ligne par un coefficientnon nul(on noteLi Li); ajoutà une ligne d"un multiple d"une autre (on noteLi Li+Lj), et plus généralementajoutà une ligne d"unecombinaison linéairedes autres (on noteLi Li+P j6=i jLj).11Sommaire
1Exemples préliminaires
2Définition d"un système linéaire
3Méthode du pivot de Gauss
Description
Système échelonné
Résolution
Discussion
Exemple de synthèse
3. Méthode du pivot de Gaussa) Description
Description d"une méthode de résolution
On va décrire laméthode du pivot de Gausspour résoudre un système de la forme :8>>>>>>><
>>>>>>:a11x1+a12x2+a13x3++a1pxp=b1
a21x1+a22x2+a23x3++a2pxp=b2
a31x1+a32x2+a33x3++a3pxp=b3
a n1x1+an2x2+an3x3++anpxp=bn1Choix du pivot : Sitousles coefficientsaijsontnuls, et sib1=b2==bn=0, tous les p-uplets d"éléments deKsont solutions :S=Kp. Sitousles coefficientsaijsontnuls, et sil"un au moinsdesbiestnon nul, alors le système n"admet pas de solution :S=?. Si l"undes coefficientsaijestnon nul, on peut le choisir commepivot. Quitte à échanger lignes et/ou colonnes, on peut supposer par exemple a116=0.12
3. Méthode du pivot de Gaussa) Description
2On utilisea11commepivotpour " éliminer »x1des lignesL2àLn, à l"aide des
opérationsLi Liai1a 11L1. On obtient alors un système de la forme :8>>>>>>>< >>>>>>:a11x1+a12x2+a13x3++a1pxp=b1
a022x2+a023x3++a02pxp=b02L2 L2a21a
11L1 a032x2+a033x3++a03pxp=b03L3 L3a31a
11L1 a0n2x2+a0n3x3++a0npxp=b0nLn Lnan1a
11L13On recommence la même démarche sur les lignesL2àLn(en supposant
a0226=0) :8>>>>>>>><
>>>>>>>:a11x1+a12x2+a13x3++a1pxp=b1
a022x2+a023x3++a02pxp=b02
a0033x3++a003pxp=b003L3 L3a032a
022L2a
00n3x3++a00npxp=b00nLn Lna0n2a
022L24On recommence ce procédé jusqu"à l"obtention d"un systèmeéchelonné:13
3. Méthode du pivot de Gaussb) Système échelonné
Proposition 3.1 (Triangularisation)
Tout système linéaire ànéquations etpinconnues est équivalent à un système de la
forme suivante pour un certain entierr6min(n;p):8>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>:b11y1+b12y2++b1ryr++b1pyp=c1
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