[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7

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Enoncés et corrections : Sandra Delaunay

Exo7

Sujets de l"année 2007-2008

1 Partiel

Exercice 1Soita2RetAla matrice suivante

A=0 @1a0 a0 1 0 1a1 A 1. Calculer le déterminant de Aet déterminer pour quelles valeurs deala matrice est inversible. 2.

Calculer A1lorsqueAest inversible.

Soitq2R, on considère l"endomorphismefdeR3dont la matrice dans la base canonique est la suivante A=0 @cosqsinq0 sinqcosq0

0 0 11

A 1. Quelle est la nature géométrique de cet endomorphisme ? 2. Démontrer que, pour tout q2RnpZ, la matriceAadmet une unique valeur propre réelle. Quel est le sous-espace propre associé ? Que se passe-t-il siq2pZ? Soitul"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est A=0 @422 2 0 2

3 3 11

A 1. Déterminer et f actoriserle polynôme caractéristique de A. 2.

Démontrer que les v aleurspropres de Asont 1 et2. Déterminer les sous-espaces propres associés.

3.

Démontrer que Aest diagonalisable et donner une base deR3dans laquelle la matrice deuest diagonale.

4.

T rouverune matrice Ptelle queP1APsoit diagonale.

Soitul"endomorphisme deR3, dont la matrice dans la base canonique est A=0 @3 22 1 0 1

1 1 01

A 1

1.Calculer les v aleurspropres de A. L"endomorphismeuest-il diagonalisable ? (Justifier).

2.

Calculer (AI)2. Démontrer queAn=nA+(1n)I.

Exercice 5SoitAla matrice

A=0 @1 0 0 1 2 1

0 0 21

A etfl"endomorphisme deR3associé. 1.

Déterminer les v aleurspropres de A.

2. Déterminer ,sans calculs, des v ecteurs~uet~vtels quef(~u) =2~uetf(~v) =2~v+~u. 3.

Soit ~etel quef(~e) =~e. Démontrer que(~e;~u;~v)est une base deR3et écrire la matrice defdans cette

base. 4. La matrice Aest-elle diagonalisable ? (Justifier.)

SoitAla matrice

A=0 @1 0 0 11 0 1 211 A etfl"endomorphisme deR3associé. 1. F actoriserle polynôme caractéristique de A. 2. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 0 0 01 2 0 011 A et trouver une matricePinversible telle queAP=PB(ouA=PBP1). 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5.

Pour t2R, calculer exptB.

6.

Donner les solutions des systèmes dif férentielsy0=Byetx0=Ax, oùxetydésignent des fonctions réelles

à valeurs dansR3.

Soita2RetAla matrice

A=0 @0 1 0 0a0

0a2 21

A 2

1.Pour quelles v aleursde ala matriceAest-elle diagonalisable ?

LorsqueAest diagonalisable, déterminer une base de vecteurs propres deA. 2.

Soit El"espace vectoriel des solutions du systèmex0=Ax, oùxest une fonction de la variable réelletà

valeur dansR3. (a) Lorsque Aest diagonalisable, donner une base deEen fonction des vecteurs propres et des valeurs propres deA. Ecrire la solution générale du système. (b) Lorsque An"est pas diagonalisable, intégrer directement le systèmex0=Ax. 3.

Soit E0l"ensemble des élémentssdeEtels que limt!+¥s(t) =~0. Démontrer queE0est un sous-espace

vectoriel deE. (hors barème) Déterminer sa dimension en fonction dea. 4.

Soit Fl"ensemble des élémentssdeEbornés sur[0;+¥[. Démontrer queFest un sous-espace vectoriel

deE. (hors barème) Déterminer sa dimension en fonction dea.

Exercice 8Soita2RetAa2M3(R)la matrice suivante

A a=0 @1 0a+1 12 0 1 1a1 A I 1. F actoriserle polynôme caractéristique PAa(X)en produit de facteurs du premier degré. 2.

Déterminer selon la v aleurdu paramètre ales valeurs propres distinctes deAaet leur multiplicité.

3. Déterminer les v aleursde apour lesquelles la matriceAaest diagonalisable. 4. Déterminer selon la v aleurde ale polynôme minimal deAa. II

On suppose, dans cette partie, quea=0, on noteA=A0etfl"endomorphisme deR3associé à la matriceA.

1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 2. Démontrer que le sous-espace v ectorielk er(A+I)2est un plan stable parf. 3. Démontrer qu"il e xisteune base de R3dans laquelle la matrice defest B=0 @1 1 0 01 1 0 011 A et trouver une matricePinversible telle queA=PBP1(AP=PB). 4. Ecrire la décomposition de Dunford de B(justifier). 5. Pour t2R, calculer exptBet exprimer exptAà l"aide dePet exptB. 6. Donner les solutions des systèmes dif férentielsY0=BYetX0=AX. 3 III On suppose, dans cette partie, quea=1, on noteA=A1. 1.

Vérifier que la matrice Aest diagonalisable.

2.

Diagonaliser la matrice A.

3. Donner les solutions du système dif férentielX0=A:X. IV On suppose, dans cette partie, quea=1, on noteA=A1. 1. Déterminer les sous-espaces propres et caractéristiques de A. 2.

T rigonaliserla matrice A.

Correction del"exer cice1 NSoit a2Ret A la matrice suivante A=0 @1a0 a0 1 0 1a1 A

1.Calculons le déterminant de A et déterminons pour quelles valeurs de a la matrice est inversible.

On développe le déterminant par rapport à la première colonne, on obtient detA= 1a0 a0 1 0 1a =0 1 1a aa0 1a =1a3: La matriceAest inversible si et seulement si son déterminant est non nul. detA6=0()1+a36=0()a6=1:

2.Calculons A1lorsque A est inversible.

On supposea6=1, on aA1=1detAt˜A, où˜Aest la comatrice deAett˜Ala transposée de˜A. On a

A=0 @1a2a a2a1 a1a21 A =t˜A:

D"oùA1=11+a30

@1a2a a 2a1 a1a21 A

:Correction del"exer cice2 NSoitq2R, on considère l"endomorphisme f deR3dont la matrice dans la base canonique est la suivante

A=0 @cosqsinq0 sinqcosq0

0 0 11

A

1.Déterminons la nature géométrique de cet endomorphisme.

Notons(~i;~j;~k)la base canonique deR3, la matriceAest la matrice de la rotation d"axeR~kd"angleq. On peut ajouter que les vecteurs colinéaires à ~ksont fixes. Un vecteur de coordonnées(x;y;z)est envoyé sur le vecteur(xcosqysinq;xsinq+ycosq;z), sa composante dans le plan engendré par~iet~jsubit la rotation plane d"angleq.

2.Démontronsque, pourtoutq2RnpZ, lamatriceAadmetuneuniquevaleurpropreréelleetdéterminons

son sous-espace propre associé. Calculons le polynôme caractéristique de la matriceA. P

A(X) =

cosqXsinq0 sinqcosqX0

0 0 1X

= [(cosqX)2+sin2q](1X) = (1X)(X22Xcosq+1 Cherchons les racines du polynômeX22Xcosq+1, pour cela on calcule son discrimminant réduit D

0=cos2q1=sin2q<0;

5 en effet, siq2RnpZ, alors sinq6=0, donc le polynômePAn"admet qu"une racine réellel=1. Son sous-espace propre associé est de dimension 1, c"est l"axeR~kde la rotation.

Cas oùq2pZ

On distingue les casq=npavecnpair ou impair :

- Siq=2np;n2Z, alorsA=0 @1 0 0 0 1 0

0 0 11

A , c"est la matrice de l"identité. - Siq= (2n+1)p;n2Z, alorsA=0 @1 0 0 01 0

0 0 11

A , c"est la matrice de la symétrie orthogonale par

rapport à l"axeR~k. Elle admet deux valeurs propres, la valeur propre 1 dont le sous-espace propre est

l"axeR~ket la valeur propre1 dont le sous-espace propre est le planR~i+R~j.Correction del"exer cice3 NSoit u l"endomorphisme deR3dont la matrice dans la base canonique est

A=0 @422 2 0 2

3 3 11

A

1.Déterminons et factorisons le polynôme caractéristique de A.

Par opérations sur les colonnes puis les lignes, on a P

A(X) =

4X22 2X2

3 3 1X

4X02 2X2 2

3 2+X1X

d"où P

A(X) =

4X02 2X2 2

5 0 3X

et, en développant par rapport à la deuxième colonne P A(X) =(X+2)[(4X)(3X)+10] =(X+2)(X2+X2) =(X+2)2(X1):

2.Démontrons que les valeurs propres de A sont1et2et déterminons les sous-espaces propres associés.

Les valeurs propres deAsont les racines du polynôme caracteristique, c"est-à-dire, 1, valeur propre

simple et,2, valeur propre double. NotonsE1le sous-espace propre associé à la valeur propre 1, E

1=f~u= (x;y;z);A:~u=~ug:

Ainsi ~u= (x;y;z)2E1()8 :5x2y2z=0

2xy+2z=0

3x+3y=0()(y=x

3x+2z=0

Le sous-espace propreE1est donc unedroite vectorielle dont un vecteurdirecteur est donné, par exemple,

par~e1= (2;2;3). NotonsE2le sous-espace propre associé à la valeur propre2, E

2=f~u= (x;y;z);A:~u=2~ug:

6 Ainsi ~u= (x;y;z)2E2()2x2y2z=0

2x+2y+2z=0

3x+3y+3z=0()x+y+z=0

Le sous-espace propreE2est donc le plan vectoriel d"équationx+y+z=0, dont une base est donnée, par exemple, par~e2= (1;1;0)et~e3= (1;0;1).

3.Démontrons que A est diagonalisable et donnons une base deR3dans laquelle la matrice de u est

diagonale.

Les sous-espaces propres associés aux valeurs propres sont de dimension la multiplicité de la valeur

propre correspondante, ce qui prouve que la matriceAest diagonalisable. Dans la base(~e1;~e2;~e3)la matrice de l"endomorphisme associé àAest diagonale, elle s"écrit D=0 @1 0 0 02 0 0 021 A

4.Trouvons une matrice P telle que P1AP soit diagonale.

La matrice de changement de base qui exprime la base(~e1;~e2;~e3)des vecteurs propres, trouvés ci-dessus,

dans la base canonique est la matricePcherchée P=0 @2 1 1 21 0
3 011 A etP1=13 0 @1 1 1 21 2

3 3 01

A

elle est inversible et on aP1AP=D. (Le calcul deP1n"était pas demandé, ni nécessaire).Correction del"exer cice4 NSoit u l"endomorphisme deR3, dont la matrice dans la base canonique est

A=0 @3 22 1 0 1

1 1 01

A

1.Calculons les valeurs propres de A et voyons si l"endomorphisme u est diagonalisable.

En opérant sur les colonnes et les lignes du déterminant, on obtient P

A(X) =

3X22 1X1 1 1X 3X02 1 1X1 1 1XX d"où P

A(X) =

3X02 1 1X1 2 0X1 et, en développant par rapport à la deuxième colonne P

A(X) = (1X)[(3X)(1X)+4] = (1X)(X22X+1) = (1X)3:

Ainsi, la matriceAadmet 1 comme valeur propre triple. Elle n"est donc pas diagonalisable, sinon elle serait égale àI=I3, la matrice identité. 7

2.Calculons(AI)2et démontrons que An=nA+(1n)I.

On calcule d"abord la matriceAI,

AI=0 @2 22 11 1 1 111 A puis la matrice(AI)2, (AI)2=0 @2 22 11 1 1 111 A0 @2 22 11 1 1 111 A =0 @0 0 0 0 0 0

0 0 01

A c"est donc la matrice nulle. Nous allons donner deux méthodes pour démontrer queAn=nA+(1n)I.

Première méthode: En utilisant le binôme de Newton. On écritAn= (AI+I)n, or, les matricesAI

etIcommutent, on a donc (AI+I)n=nå k=0Ckn(AI)kI(nk)=C0nI+C1n(AI) =I+n(AI) =nA+(1n)I:

Deuxième méthode: Par récurrence surn. Le résultat est vrai pourn=0 etn=1. Fixonsnarbitrairement

pour lequel on suppose queAn=nA+(1n)I, on a alors A n+1=A(nA+(1n)I) =nA2+(1n)A; sachant que(AI)2=0, on en déduit queA2=2AIainsi A n+1=n(2AI)+(1n)A= (n+1)AnI= (n+1)A+(1(n+1))I: L"égalité est donc vraie pour toutn2N.Correction del"exer cice5 NSoit A la matrice A=0 @1 0 0 1 2 1

0 0 21

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