[PDF] Manipulations algébriques et raisonnement

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Manipulations algébriques et raisonnement

Théo Lenoir

1

Factorisation

Exercice

1 Montrer que sinest un entier vérifiantn>2,4n2-1n"est pas premier.

Exercice

2 Factorisera4+4b4

Exercice

3 Déterminer tous les couples(a;b)d"entiers strictement positifs tels queab-a-b=12.

Exercice

4 Factorisera4-b4.

Exercice

5 Soitnun entier tel quen>2. Montrer quen4+n2+1n"est pas premier.

Exercice

6 Soitxun réel strictement positif tel quex+1x

=p2020. Que vautx2+1x 2?

Exercice

7 Quels sont les entiersktels que pour tout réelsa;b;c,

(a+b+c)(ab+bc+ca)+kabc=(a+b)(b+c)(c+a)

Exercice

8 Soitaetbdeux réels tels quea+b=7etab=3. Que vauta3+b3? On ne cherchera pas à exprimer

aetb.

Exercice

9 Soitaetbdes réels positifs tels quea1+b+b1+a=1, montrer quea3+b3=a+b.

Exercice

10 Déterminer les triplets de réels(a;b;c)tels quea(b2+c)=c(c+ab),b(c2+a)=a(a+bc)et

c(a2+b)=b(b+ac) 2

V iète

Exercice

11 Montrer la propriété suivante : soita;b;c;dquatre réels. Sia+b=c+detab=cd, alors

(a;b)=(c;d)ou(a;b)=(d;c). On pourra calculer pourxun réel quelconque(x-c)(x-d)

Exercice

12 Montrer la propriété suivante : soita;b;c;d;e;fsix réels. Sia+b+c=d+e+f;ab+bc+ac=

de+ef+df;abc=defalors à permutation près(a;b;c)=(d;e;f).

Exercice

13 Déterminer les réels non nulsxtels quex+1x

=2.

Exercice

14 Déterminer tous les triplets de réels(a;b;c)qui vérifient le système d"équations suivant :

a+b+c=1a +1b +1c eta2+b2+c2=1a 2+1b 2+1c 2 3

Maximum

Exercice

15 Déterminer tous les triplets(x;y;z)de réels positifs tels quex=p2y+3,y=p2z+3etz=p2x+3.

Exercice

16 Déterminer tous les triplets de réels(a;b;c)tels quea(a-1)=b-1,b(b-1)=c-1et

c(c-1)=a-1

Exercice

17 Déterminer tous les triplets(a;b;c)de réels strictement positifs tels queapb-c=a,bpc-a=b,

cpa-b=c. 1

4Solutions

Solution de l"exercice

1 On a4n2-1=(2n)2-12=(2n-1)(2n+1). De plus, commen>2,2n-1>22-1=

3>1et2n+1>22+1=5>1, donc4n2+1n"est pas premier.

Solution de l"exercice

2 Notons quea4+4b4=(a2)2+(2b2)2. Pour faire apparaître une identité de la forme

x

2+y2, on va faire apparaître du2xy, on a donc

a

Ainsia4+4b4=(a2+2b2+2ab)(a2+2b2-2ab)

Solution de l"exercice

3 Essayons de factoriser para:a(b-1)-b=12. On pourrait factoriser parb, mais cela

briserait la factorisation déjà faite, il faut donc plutôt essayer de factoriser parb-1. On aa(b-1)-b=

a(b-1)-(b-1)-1=(a-1)(b-1)-1=12donc(a-1)(b-1)=13. Commeaetbsont strictement positifs, a-1etb-1sont positifs. Comme13est premier, on a(a-1;b-1)=(1;13)ou(13;1). Ainsi(a;b)=(2;14) ou(14;2). Il reste à vérifier les solutions : si(a;b)=(2;14),ab-a-b=28-2-14=26-14=12. Si(a;b)=(14;2), ab-a-b=28-14-2=14-2=12. Les couples solutions

Solution de l"exercice

4 On aa4-b4=(a2)2-(b2)2=(a2-b2)(a2+b2)=(a-b)(a+b)(a2+b2)

Solution de l"exercice

5 On essaie de faire apparaître une identité remarquable :n4+n2+1=n4+2n2+1-n2=

(n2+1)2-n2=(n2+n+1)(n2-n+1). Or sin>2,n2+n+1>4+2+1=7>1etn2-n+1=n(n-1)+1>

2+1=3>1doncn2+n+1n"est pas premiers

Solution de l"exercice

6 Pour faire apparaîtrex2+1x

2, on va élever au carré l"égalitéx+1x

=p2020. On obtient

2020=x2+1x

2+2x1x

=x2+1x

2+2, doncx2+1x

2=2018.

Solution de l"exercice

7 Supposons l"équation vérifiée pour un entierk. En prenanta=b=c=1, on obtient

33+k=23, donck=8-9= -1.

Il reste à vérifier que(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)pour tout réela;b;c. Or donc et donc

Pourk= -1, on a bien pour tout réelsa;b;c,

(a+b+c)(ab+bc+ca)+kabc=(a+b)(b+c)(c+a)

L"unique solution est donck= -1.

Solution de l"exercice

8 Essayons de factoriser :a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).

Il reste à exprimer(a2-ab+b2)viaa+betab. Pour faire apparaître lea2et leb2, on peut utiliser(a+b)2.

On aa2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab.

On a donca3+b3=(a+b)((a+b)2-3ab)=7(72-9)=740=280.

Solution de l"exercice

9 En multipliant par(1+a)et(1+b), on obtienta(1+a)+b(1+b)=(1+a)(1+b)donc

a+a2+b+b2=1+a+b+abdonca2+b2=1+ab. On a donca2-ab+b2=1. Pour faire apparaître a

3+b3, il suffit de multiplier l"égalité précédente para+b: on aa+b=(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3ce

qui donne le résultat voulu.

Solution de l"exercice

10 Leségalitésseréécriventab(b-c)=c(c-a),bc(c-a)=a(a-b)etca(a-b)=b(b-c).

En multipliant ces trois égalités, on obtient(abc)2(c-a)(b-c)(a-b)=abc(c-a)(b-c)(a-b). En particulier

deux cas se présentent : 2

-Soit abc=0. Les égalités étant cycliques, supposonsa=0. Par la première égalitéc2=0doncc=0.

Par la troisième égalitéb2=0doncb=0

Soit deux des é lémentsparmi a;b;csont égaux, on supposea=b. Dans ce casbc(c-a)=0. Sib=0 ouc=0on retombe dans le cas précédent, sinona=b=c. Soit abc=1,danscecasa;b;c.sontnonnulsLeségalitésseréécrivent:b-c=c2(c-a),c-a=a2(a-b) eta-b=b2(b-c). En particuliera-b,b-cetc-asont de même signe, mais de somme nulle et on a donc nécessairementa-b=b-c=c-a=0i.e;a=b=c.

Solution de l"exercice

11 Soitxun réel, calculons comme indiqué(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab=x2-(c+

d)x+cd=(x-c)(x-d). En particulier pourx=a, on obtient que(a-c)(a-d)=0donca=coua=d. Sia=c,b=c+d-a=d. Sia=d,b=c+d-a=c, donc(a;b)=(c;d)ou(d;c)

Solution de l"exercice

12 On va calculer de même ce que vaut(x-a)(x-b)(x-c)pourxun réel quelconque.

On a donc

La dernière égalité est justifiée car on peut faire les mêmes premiers calculs en remplaçant(a;b;c)par

(d;e;f).

Pourx=a, on obtient quea=doueouf.

Si a=d, alorsa+b+c=d+e+fdevientb+c=e+fet commede+ef+df=ab+bc+ca= a(b+c)+bc=d(e+f)+bc, on obtientbc=ef. Par la propriété précédente,(b;c)=(e;f)ou(f;e), donc(a;b;c)=(d;e;f)ou(d;f;e). Si a=e, alorsa+b+c=d+e+fdevientb+c=d+fet commede+ef+df=ab+bc+ca= a(b+c)+bc=e(d+f)+bc, on obtientbc=df. Par la propriété précédente,(b;c)=(f;d)ou(d;f), donc(a;b;c)=(e;d;f)ou(e;f;d). Si a=f, alorsa+b+c=d+e+fdevientb+c=d+eet commede+ef+df=ab+bc+ca= a(b+c)+bc=f(d+e)+bc, on obtientbc=de. Par la propriété précédente,(b;c)=(e;d)ou(d;e), donc(a;b;c)=(f;d;e)ou(f;e;d). Dans tous les cas(a;b;c)est une permutation de(d;e;f)ce qui donne bien le résultat voulu.

Solution de l"exercice

13 On remarque que1est solution, il serait donc bien de prouver que(x;1x

)=(1;1)via Viète. On vérifie donc que ces deux couples ont même somme et même produit :x+1x =2=1+1etx1x =1=

11. Donc d"après Viète,(x;1x

)=(1;1)ou(x;1x )=(1;1). Bilan dans les deux casx=1. Réciproquement on vérifie que six=1,x+1x =1+1=2, donc l"unique solution est bienx=1.

Solution de l"exercice

14 Ici, les équations sont très symétriques et font penser à des relations de Viète avec

(a;b;c)et(1a ;1b ;1c ). Notons tout d"abord quea;b;cne peuvent être nuls. Pour obtenir une nouvelle équa-

tion, on peut essayer de faire apparaître des carrés via la première équation, puis d"utiliser la seconde.

Elevons au carré la première équation : on obtient : +1b +1c 2 =1a 2+1b 2+1c 2+2ab +2ac +2bc En retranchant la seconde équation à celle-ci et en divisant par2, on obtient ab+bc+ca=1ab +1ac +1bc

On a deux relations sur les3ce qui n"est malheureusement pas suffisant pour Viète : essayons donc de les

manipuler! ab+bc+ca=1ab +1ac +1bc =a+b+cabc et a+b+c=1a +1b +1c =ab+bc+acabc

En combinant les deux équations,

a+b+c=ab+bc+acabc =a+b+c(abc)2 En particulier sia+b+c6=0, on obtient que1(abc)2=1, donc(abc)2=1doncabc=1. Trois cas se présentent donc : 3 -Si a+b+c=0, on aab+bc+ca=a+b+cabc =0. Ainsi0=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)= a

2+b2+c2, donca=b=c=0ce qui est impossible.

On aurait pu aussi obtenir cette contradiction en utilisant que sixest un réel,(x-a)(x-b)(x-c)= x

3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3-abc. En particulier pourx=aon aa3=abc, de

mêmeb3=abc=a3=c3, donca=b=c. Commea+b+c=3a=0, on aa=b=c=0ce qui est impossible.

Si abc=1, on aabc=1abc

qui est la troisième relation nécessaire pour utiliser Viète. On sait donc que(a;b;c)est une permutation de(1a ;1b ;1c

Sia=1a

, on aa2=1donca1. Supposons quea6=1, queb6=1et quec6=1. Quitte à échangerb etc, comme(a;b;c)est une permutation de(1a ;1b ;1c ),a=1b . Sib=1a , alorsc=1c ce qui est impossible.

On a doncb=1c

etc=1a , donca=1b =c=1a contradiction. Ainsi soita;b;cvaut1. Quitte à renommer les variables par symétrie, on peut supposera=1, on a donca=1a , donc(b;c)=(1b ;1c )ou(1c ;1b ). Dans le premier cas, on a(a;b;c)=(1;1;1). Dans le second cas, on a(a;b;c)=(1;b;1b Réciproquement les triplets de la forme(1;1;1),(1;t;1t )avectun réel non nul et leurs permutations sont solutions : en effet si(a;b;c)=(1;1;1),a=1a ,b=1b etc=1c donc les équations sont vérifiées. Si (a;b;c)=(1;t;1t ),a=1a ,b=1c etc=1b donc les équations sont vérifiées. En fait on peut même oublier les

triplets de la forme(a;b;c)=(1;1;1), par principe des tiroirs on a deux variables égales (par exemplebet

c, et dans ce casb=1c , donc on est ramené au deuxième cas. Les triplets solutions sont donc les permutations de triplets de la forme(1;t;1t On aurait pu aussi montrer dans le casabc=1, quea=1via l"astuce suivante. Siabc=1, on aa+b+c=ab+bc+ca. PosonsS=a+b+c. On sait que(x-a)(x-b)(x-c)= x donca=1oub=1etc=1. Le produit des deux restants valant1on obtient(a;b;c)est une permutation d"un triplet de la forme(1;t;1t Siabc= -1, on aa+b+c= -(ab+bc+ca). PosonsS=a+b+c. On sait que(x-a)(x-b)(x-c)= x

3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3-sx2-sx+1. Pourx= -1, on a(x-a)(x-b)(x-c)=

x

3-sx2-sx+1= -1-s+s+1=0donca= -1oub= -1etc= -1. On conclut alors en utilisant que le

produit des deux autres vaut1.

Solution de l"exercice

15 L"énoncé est cyclique : remplacer(x;y;z)par(y;z;x)ne change pas le système. On peut

donc supposer quexest le maximum de(x;y;z). L"égalitéx=p2y+3implique quex6p2x+3=z, donc par maximalité,x=z=p2x+3. On a doncx2=2x+3, doncx2-2x-3=0, ce qui se réécrit(x+1)(x-3)=0, doncx=3=z. Ory=p2z+3=p9=3doncx=y=z=3. Réciproquement six=y=z=3,p2x+3=p2y+3=p2z+3=p9=3=x=y=z, donc (x;y;z)=(3;3;3)est bien l"unique solution.

Solution de l"exercice

16 L"énoncéestcyclique:remplacer(a;b;c)par(b;c;a)nechangepaslesystème.Onpeut

donc supposer queaest le maximum de(a;b;c). On a0>b-a=a(a-1)+1-a=(a-1)(a-1)=(a-1)2>0

donc comme on a égalité dans les inégalités,a=1eta=b. En particulier commeb=1,c-1=b(b-1)=0

donca=b=c=1. Réciproquement sia=b=c=1, comme1(1-1)=1-1, le triplet(1;1;1)est bien l"unique solution.

Solution de l"exercice

17 L"énoncé est cyclique : remplacer(a;b;c)par(b;c;a)ne change pas le système. On

peut donc supposer queaest le maximum de(a;b;c). La première équation donne quea(pb-1)=c. Si b >4,c=a(pb-1)> a(2-1)=a, ce qui contredit la maximalité dea. On a doncb64. La deuxième équation se réécritb(pc-1)=a>b, doncpc-1>1doncpc>2, i.e.c>4. Commea>c, a>4. La troisième équation se réécritc(pa-1)=b, or4>b=c(pa-1)>4(p4-1)=4(2-1)4. On a donc égalité dans toutes les inégalités donca=b=c=4. Réciproquement si(a;b;c)=(4;4;4), comme4p4-4=42-4=4,(a;b;c)=(4;4;4)est l"unique solution du système. 4quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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