Systèmes linéaires
Démonstration : Observons que le n-uplet (0
Espaces vectoriels de dimension finie 1 Base
Il suffit de montrer que la famille est libre (pourquoi?) Alors t2 ?1 = 0 et donc la seule solution du système est (a = 0b = 0
Manipulations algébriques et raisonnement
Exercice 1 Montrer que si n est un entier vérifiant n ? 2 tous les triplets de réels (a
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8 mars 2018 3) Donner les solutions de cette équation. Exercice 2 – K = R. Nous consid`erons l'équation linéaire : 2x1 + x2 - x3 - 4x4 = 5. 1) Qu'est ce ...
Exo7 - Exercices de mathématiques
Montrer que (00
Systèmes linéaires1
C'est pourquoi il faut en théorie vérifier que le “candidat" qu'on a trouvé est bien solution. En fait comme on l'a dit ci-dessus
Cours darithmétique
Montrer que 2x + 3y est divisible par 7 si et seulement Montrer que abc est un cube. ... On vérifie que le triplet (x y
VECTEURS DE LESPACE
M et N sont confondus donc M appartient à (ABC). Remarque : Un plan est donc totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires.
Exercices de mathématiques - Exo7
Démontrer que A est diagonalisable et donner une base de R3 dans laquelle la Soit E l'espace vectoriel des solutions du système x = Ax où x est une ...
Systèmes linéaires
Cette dernière indique si le système (S) admet des solutions ou non : • si a = 17 il n'y a pas de solution
Systèmes linéaires
1Préliminaires:Lisez une première fois ce polycopié de manière rapide, puisrelisez-le en es-
sayant de tout comprendre. Le polycopié est long, mais rapide à lire. L"objectif est que vous sachiez
résoudre des systèmes linéaires avec ou sans paramètreset que vous connaissiez les propriétés
exposées dans les sections 3 et 5.On s"intéresse ici aux systèmes linéaires à coefficient réels, mais la façon de procéder
est tout à fait générale, et tous les résultats obtenus sont encore vrais pour les systèmes
linéaires à coefficients complexes.En pratique, vous savez déjà résoudre des systèmes linéaires de petite taille, et depuis longtemps.
Mais pour cela, beaucoup d"entre vous utilisent plutôt un ensemble d"astuces qu"une méthode précise.
Vous seriez dans doute un peu perdu si vous deviez résoudre unsystème linéaire de 150 équations
à 130 inconnues, où si vous deviez écrire un programme informatique qui permette à un ordinateur
de résoudre un tel système. Or résoudre des systèmes de très grande taille est un problème courant
dans beaucoup d"applications des mathématiques. Il est donc important de comprendre comment de tels systèmes peuvent être résolus.1 Qu"est ce qu"un système linéaire?
Informellement, une équation est linéaire si les variablesy apparaissent de manière séparées et
toujours à la puissance 1. Un système linéaire, aussi appelé"système d"équations linéaires", est un
système de telles équations. Par exemple, les trois systèmes suivants sont des systèmes linéaires :
3x+ 6y=-3
-2x+y= 12? x+ 2y+ 3z= 52x+y-4z= 0???2x1+ 4x2= 0
3x1+x2= 0
-2x1+ 2x2= 0(1)Le premier est un système de deux équations à deux inconnues (notéesxety), le deuxième un
système de deux équations à trois inconnues (x,yetz) et le troisième un système de trois équations
à deux inconnues (notéesx1etx2au lieu dexety). En revanche, les systèmes suivants ne sont pas des systèmes linéaires : ?x-y2= 12x+ 3y= 8?
x+ 3y= 52xy= 4
En effet, dans le système de gauche, dans la première équation, une des inconnues apparait à une
puissance autre que1. Dans le système de droite, dans la deuxième équation, les inconnues n"appa-
raissent pas de manière "séparée".1Pour toute remarque : yannick.viossat@dauphine.fr
1 Vous avez sans doute l"habitude de noter les inconnuesxetyquand il y en a deux etx,yetz quand il y en a trois. Mais comment les noter s"il y a 130 inconnues? La solution la plus simple estde noter la première inconnuex1, la deuxièmex2et lakièmexk. En notant ainsi les inconnues, les
deux premiers systèmes de (1) deviennent respectivement : ?3x1+ 6x2=-3 -2x1+x2= 12et?x1+ 2x2+ 3x3= 52x1+x2-4x3= 0
Définition: soientnetpdes entiers non nuls. Unsystème linéairedenéquations àpinconnues est
un système du type : ?a11x1+a12x2+···+a1pxp=b1
a a n1x1+an2x2+···+anpxp=bn(2) où les coefficientsaijetbisont des réels fixés. ?Lesinconnuessontx1,x2, ...,xp. ?les réelsaijsont lescoefficients du premier membre. Le premier indice indique la ligne, le deuxième la colonne. ?Les réelsbisont lescoefficients du second membre. L"indice indique la ligne.Exemple: pour le système?3x1+ 6x2=-3
-2x1+x2= 12(3) on aa11= 3,a12= 6,a21=-2,a22= 1,b1=-3etb2= 12.Définition: une solution du système linéaire (2) est un p-uplet de réels(x1,x2,...,xp)qui vérifie
toutes les équations du système. On dit qu"un système estcompatibles"il a au moins une solution.
Exemple:(-5,2)est une solution du système (3). En effet, pourx1=-5etx2= 2, on a bien3x1+6x2=-3et-2x1+x2= 12. En revanche,(1,-1)n"est pas une solution de (3) car pourx1= 1
etx2=-1, la deuxième équation n"est pas satisfaite.2 Résolution d"un système linéaire
Définition: deux systèmes linéaires sontéquivalentss"ils ont le même ensemble de solutions.
Résoudreun système linéaire, c"est en déterminer toutes les solutions. Pour ce faire, on transforme
le système initial en un système équivalent plus simple, puis en un système encore plus simple, jusqu"à
aboutir à un système qu"on sache résoudre. Les principales opérations qui permettent de transformer
un système linéaire en un système linéaire équivalent sont les suivantes : ?multiplier une ligne par une constante non nulle ?ajouterλfois la lignekà la lignei, oùλest un réel quelconque eti?=k ?échanger la ligneiet la lignekLes trois opérations ci-dessus sont appelées "opérations élémentaires". Ce sont les plus impor-
tantes. On peut aussi : 2 ?ajouter à une ligne une combinaison des autres lignes (remplacer la kième ligneLkparLk+? i?=kλiLi). Cela revient à faire plusieurs opérations élémentaires successives. ?supprimer les lignes0 = 0 ?conclure que le système n"a pas de solutions s"il comporte une ligne du type0 =biavecbi?= 0.Dans les exemples de résolution de systèmes linéaires ci-dessous, on écrira en face de la ième ligne
du système :?Li←λLi, ou simplementλLi, pour dire que la ième ligne du nouveau système est égale àλ
fois la ième ligne de l"ancien système.?Li←Li+λLk, ou simplementLi+λLk, pour dire que la nouvelle ligneiest égale à l"ancienne
ligneiplusλfois l"ancienne lignek ?Li↔Lkpour dire que les lignesietkont été échangées2.1 Exemple de résolution d"un système linéaire
Considérons le système suivant :
?3x+ 6y=-3 -2x+y= 12(4) En multipliant la première ligne par1/3, on obtient le système équivalent : 1 3L1 L 2? x+ 2y=-1 -2x+y= 12(5) Puis en ajoutant deux fois la première ligne à la seconde ligne, on obtient : L 1 L2+ 2L1?
x+ 2y=-15y= 10(6)
En divisant la deuxième ligne par5, on obtient
L 1 1 5L2? x+ 2y=-1 y= 2(7) Enfin, en soustrayant deux fois la deuxième ligne à la première ligne, on obtient : L 1-2L2 L 2? x=-5 y= 2(8)Le système a donc une solution unique :(-5,2)
2.2 Résolution en travaillant directement sur le tableau des coefficients
Lorsqu"on travaille sur des systèmes de grande taille, recopier à chaque fois le nom des inconnues
est vite fatiguant. Aussi, les mathématiciens, qui sont desêtres paresseux, préfèrent-ils travailler
directement sur le tableau des coefficients. Au lieu d"écrire: ?3x+ 6y=-3 -2x+y= 12 3 on écrit?3 6 -3 -2 1 12? (9)Les coefficients du premier membre apparaissent à gauche de labarre verticale, et les coefficients du
second membre à droite. La résolution se fait comme précédemment, sauf qu"on ne s"embête plus à
recopier les inconnues. On obtient successivement : 1 3L1 L 2? 1 2-1 -2 1 12? L 1 L2+ 2L1?
1 2 -1 0 5 10? L 1 1 5L2? 1 2 -1 0 1 2? et enfin L 1-2L2 L 2? 1 0 -5 0 1 2? c"est à dire le système : ?x=-5 y= 2(10) On conclut comme précedemment que le système a une unique solution :(-5,2). Dans la suite, on travaillera directement sur le tableau descoefficients.2.3 Solutions de quelques systèmes linéaires simples.
Avant de donner d"autres exemples de résolutions de systèmes linéaires, voici quelques exemples
du type de systèmes auquel on souhaite aboutir.Exemple 2.3.1Le système
?x+y= 30 = 5(11)
n"a pas de solutions, car la deuxième équation ne peut pas être satisfaite. D"une manière générale, si
lors de la résolution d"un système, on obtient un système équivalent qui comporte une équation du
type0 =βavecβ?= 0, on s"arrête et on conclut que le système n"a pas de solutions.Exemple 2.3.2Le système
?2x+2y+2z= 123y+6z=-3
5z=-10(12)
a les propriétés suivantes : (a) il a autant d"équations que d"inconnues (b) il est triangulaire (au sens où les coefficientsaijaveci > jsont nuls) 4 (c) les coefficients situés sur la diagonale sont non nuls.Un tel système se résoud aisément, et a toujours exactement une solution. Voici deux méthodes de
résolutions :Première méthode(sans doute la plus rapide) : on calculezà l"aide de la dernière équation, puis
yà l"aide de la deuxième équation et de la valeur dez, puis enfinxà l"aide de la première équation et
des valeurs deyet dez. On obtient ici :z=-10/5 =-2, puisy=13(-3-6z) =13(-3+12) = 3et
enfinx=12(12-2y-2z) =12(12-6+4) = 5. Il y a donc une seule solution possible :(5,3,-2). De
plus,(5,3,-2)est bien solution des trois équations du système. Le systèmea une solution unique :
(5,3,-2).2Deuxième méthode(la plus intéressante d"un point de vue théorique) : on transforme le système
(12) en un système équivalent encore plus simple. Le but est d"obtenir à la fin un système avec des
coefficients 1 sur la diagonale et des0à la fois en dessous de la diagonale (comme c"est déjà le cas)
et au dessus. En pratique, en partant du système initial (2 2 2 12 0 3 6 -3 0 0-5 10)) (13) on commence par mettre des1sur la diagonale : 1 2L1 1 3L2 1 5L3(( 1 1 1 6 0 1 2 -1 0 0 1 -2)) (14)puis on fait apparaître des0au-dessus de la diagonale, en commençant par la dernière colonne. On
obtient : L 1-L3 L 2-2L3 L 3(( 1 1 0 8 0 1 0 3 0 0 1 -2)) puis L 1-L2 L 2 L 3(( 1 0 0 5 0 1 0 3 0 0 1 -2)) c"est à dire : ?x= 5 y= 3 z=-2(15) Ce système a à l"évidence une solution unique :(5,3,-2)2On n"a pas raisonné en transformant le système initial en un système équivalent, mais en disant que si(x,y,z)
est solution, alors on a forcémentx= 5,y= 3etz=-2. C"est pourquoi il faut en théorie vérifier que le "candidat"
qu"on a trouvé est bien solution. En fait, comme on l"a dit ci-dessus, on peut montrer qu"un système qui vérifie les
propriétés (a), (b) et (c) ci-dessus a toujours une solutionet donc on est sûr que le "candidat" trouvé par la méthode
ci-dessus est bien solution du système. 5Exemple 2.3.3Le système?x+z=-1
y-2z= 2(16)a une infinité de solutions :zpeut prendre n"importe quelle valeur, et chaque valeur dezdétermine
un unique couple(x,y)tel que(x,y,z)est solution du système. Pour bien le voir, remarquez que le système (16) est équivalent à : ?x=-1-z y= 2-2z L"ensembleSdes solutions est l"ensemble des triplets(x,y,z)?R3tels quex=-1 +zet y= 2 + 2z(zpouvant prendre n"importe quelle valeur réelle). On noteS={(-1 +z,2 + 2z,z),z?R}
Cela signifie la même chose queS={(x,y,z)?R3,x=-1 +zety= 2 + 2z}. La variablezest ditelibre: elle peut prendre n"importe quelle valeur. Les variablesxetysont ditesliées: leur valeurs sont déterminées par la valeur dez.Dans le système (15), il n"y avait aucune variable libre. Dans le système (16), il y avait exactement
une variable libre. Dans d"autres systèmes, il peut y avoir plusieurs variables libres. Par exemple,
dans le système???x1+ 2x4+ 3x5= 2
x2+ 2x5=-3
x3-2x5= 0(17)
il y a deux variables libres :x4etx5, et trois variables liées :x1,x2, etx3. Le système peut se réécrire
sous la forme : ?x1= 2-2x4-3x5
x2=-3-2x5
x3= 2x5
L"ensembleSdes solutions est l"ensemble des quintuplets(x1,x2,x3,x4,x5)?R5tels quex1=2-2x4-3x5,x2=-3-2x5etx3= 2x5(x4etx5pouvant prendre n"importe quelles valeurs). On
écrit :
Exercice (réponse dans la note de bas de page) : (a) déterminer l"unique solution du système
précédent telle quex4= 1etx5= 0; (b) même question avecx4= 0etx5= 1.3 Exemple 2.3.4Considérons maintenant le système suivant : ?x1+ 2x2+ 3x5= 2
x3+ 2x5=-3
x4-2x5= 0(18)
A première vue, les solutions peuvent paraître plus difficiles à trouver que dans le système (17),
mais en fait, c"est exactement le même système, sauf qu"on a changé le rôle des inconnues. Le système
3Réponses : (a) :(0,-3,0,1,0); (b) :(-1,-5,2,0,1)
6 peut se réécrire sous la forme : ?x1= 2-2x2-3x5
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