Prépasup
18 avr. 2020 Q ce qui n'est pas. Exercice 2 a) Montrer que. ?. 3 est irrationnel. b) Montrer que. ?. 2 +. ?. 3 est irrationnel. c) Montrer que.
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
Problème 1 : nombres irrationnels
On a montré que si ?n est rationnel alors ?n est entier. Par contraposition
Autour de la racine cubique de 2
La racine cubique de 2 est irrationnelle et n'est pas solution d'une équation au second degré à coefficients rationnels non tous nuls. 1. Montrer que le nombre
Démonstration de « racine carrée de 2 est irrationnel »
Est-il possible de construire un carré dont le côté b et la diagonale a soient tous deux mesurés par des nombres entiers? (La figure ci-dessous représente
1 Deux rationnels pour un irrationnel ?
Soit a b ? N
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1 I. Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. 1. (**). ?. 2 et plus généralement n. ? m où n est un entier supérieur
Epreuve 1. Problème 1 : nombres irrationnels
Sa racine n'est pas un entier donc est irrationnelle. 3. Supposons. 3ln. 2ln rationnel. Il existerait deux entiers naturels p et q premiers entre eux tels que
? 2 est irrationnel
2 est un nombre irrationnel. (C'est tr`es facile `a démontrer par l'absurde !) ... Puisque Q est une partie non vide de N? elle.
Une nouvelle démonstration dirrationalité de racine carrée de 2 d
simplement la leçon sur les irrationnels du passage mathématique figurant dans Il s'agit de démontrer que la racine carrée de 2 n'est pas rationnelle ...
Solution
Soitx2R, on rappellexest rationnel si et seulement si il existe(a;b)2ZZtels quex=ab :On montre dans ces conditions qu' il existe un unique couple(p;q)2ZNtel quex=pq avecpetqpremiers entre eux. a)C'est vrai(il sut de l' ecrire).
b) C'est faux. Ain sisi x=y=p2, alorsx+y= 02Q, etxy=22Q. c) C'est vrai. Soit x2Qety2RnQet soitz=x+y. Par l'absurde, supposons quez2Qalors : y=zx2Qce qui n'est pas. Ainsiz =2Q. d) C'est f aux.Ainsi si x= 0 ety =2Q, alorsz=xy= 02Q. Par contre, six2Qn f0g, le resultat est vrai. En eet par l'absurde, si on avaitz=xy2Qavecx6= 0, on auraity=z1x2Qce qui n'est pas.
Exercice 2
a)Mon trerque
p3 est irrationnel. b)Mon trerque p2 +
p3 est irrationnel. c)Mon trerque
ln2ln3 est irrrationnel. d)Soit ( a;b;c;d)2Q4.
Que penser de l'assertion :ap2 +bp3 =cp2 +dp3 =)a=cetb=d?Solution
a) P arl'absurde, si p3 etait dansQ, il existerait (p;q)2N2tel quep3 = pq avec (p;q) premiers ente eux. En elevant au carre, on aurait : (?)p2= 3q2et 3 diviseraitp2. Comme 3 est premier, 3 diviseraitpd'ou l'existence dep02Ntel quep= 3p0. En reportant dans l'egalite (?), on aurait 3p02=q2donc 3 diviseraitq, ce qui contredit (p;q) premiers ente eux.La contradiction assure quep3 est irrationnel.
b)P arl'absurde, si p2 +
p3 etait rationnel, alors son carre le serait, donc 5 + 2 p6 serait dansQ. Il en decoulerait quep6 serait dansQ. On adapte alors la preuve faite en a) pour montrer quep6 est irrationnel, ce qui etablit la contradiction et etablit le resultat. c)T oujourspar l'absurde si
ln2ln3 est rationnel, alors . il existerait (p;q)2N2tel queln2ln3 =pqOn a alorsqln2 =pln3 donc ln(2q) = ln(3p). Par injectivite de la fonction ln, il en resulte que 2q= 3p.
Orqest non nul donc 2qest pair et 3pest impair d'ou la contradiction (aucun entier n'est pair et impair). Ainsi ln2ln3 est irrrationnel. 1 d)Elle est juste. Il sut pour la valider de montrer que pour (;)2Q2, l'egalitep2+p3 = 0 implique :== 0.Supposons que : (1)p2 +p3 = 0 avec (;)2Q2.
Par passage au carre, on obtient : 22+ 32=2p6.
Par l'absurde, si6= 0 alors on aurait :p6 =22+ 3222Qce qui n'est pas. Ainsi= 0. Mezalors,= 0 ou= 0 et il en decoule en reportant dans (1) que== 0. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que si x appartient ? l'intervalle
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