Prépasup
18 avr. 2020 Q ce qui n'est pas. Exercice 2 a) Montrer que. ?. 3 est irrationnel. b) Montrer que. ?. 2 +. ?. 3 est irrationnel. c) Montrer que.
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
Problème 1 : nombres irrationnels
On a montré que si ?n est rationnel alors ?n est entier. Par contraposition
Autour de la racine cubique de 2
La racine cubique de 2 est irrationnelle et n'est pas solution d'une équation au second degré à coefficients rationnels non tous nuls. 1. Montrer que le nombre
Démonstration de « racine carrée de 2 est irrationnel »
Est-il possible de construire un carré dont le côté b et la diagonale a soient tous deux mesurés par des nombres entiers? (La figure ci-dessous représente
1 Deux rationnels pour un irrationnel ?
Soit a b ? N
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1 I. Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. 1. (**). ?. 2 et plus généralement n. ? m où n est un entier supérieur
Epreuve 1. Problème 1 : nombres irrationnels
Sa racine n'est pas un entier donc est irrationnelle. 3. Supposons. 3ln. 2ln rationnel. Il existerait deux entiers naturels p et q premiers entre eux tels que
? 2 est irrationnel
2 est un nombre irrationnel. (C'est tr`es facile `a démontrer par l'absurde !) ... Puisque Q est une partie non vide de N? elle.
Une nouvelle démonstration dirrationalité de racine carrée de 2 d
simplement la leçon sur les irrationnels du passage mathématique figurant dans Il s'agit de démontrer que la racine carrée de 2 n'est pas rationnelle ...
Démonstration de "
p2est irrationnel »Un exemple de démonstration par l"absurde
Introduction
On peut construire un triangle rectangle dont les trois côtés ont pour mesure des nombres entiers :4335Est-il possible de construire un carré dont le côtébet la diagonaleasoient tous deux
mesurés par des nombres entiers? (La figure ci-dessous représente la moitié du carré qui est un triangle rectangle isocèle).bb aD"après le théorème de Pythagore b2+b2=a2
2b2=a2
2 = ab 2 ab =p2 S"il est possible de trouver des entiersa,bqui vérifient cette égalité, on dit quep2 est un nombre rationnel, sinon on dit quep2est un nombre irrationnel. Lemme " Pour tout nombre entiera, sia2est pair, alorsaest pair. » Démonstration par contraposition: Montrons que, siaest impair, alorsa2est impair. Posonsa= 2n+ 1. Alorsa2= (2n+ 1)2= 4n2+ 4n+ 1qui est impair.Démonstration de "
p2est irrationnel » 2Démonstration de " p2est irrationnel »Supposons par l"absurde que
p2soit rationnel : alorsp2 = ab oùa,bsont des nombres entiers positifs. Il est possible de simplifier la fraction ab jusqu"à ce quea,bsoient premiers entre eux (c"est-à-dire la fraction ab ne puisse plus être simplifiée). p2 = ab p2b=a2b2=a2
Puisquea2est pair,aest pair eta= 2poùpest un entier positif.2b2= (2p)2
2b2= 4p2
b2= 2p2
Puisqueb2est pair,best pair. Par conséquent, il est possible de simplifier la fraction ab par 2, ce qui contredit l"hypothèse quea,bsont premiers entre eux. Puisque l"hypothèse "p2est rationnel » conduit à une contradiction, c"est le contraire qui est vrai, à savoir "p2est irrationnel ».Marcel Délèze
Généralisation :
Démonstration de "
pnest irrationnel sinn"est pas un carré» par contraposition generalisation.pdfProlongement :
Le dév eloppementdécimal de tout nom breirrationnel est illimité et non périodiqueLien vers la page mère :
Mathématiques dans la culture générale
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