Prépasup
18 avr. 2020 Q ce qui n'est pas. Exercice 2 a) Montrer que. ?. 3 est irrationnel. b) Montrer que. ?. 2 +. ?. 3 est irrationnel. c) Montrer que.
Chapitre 1 exercice 3 1. Vrai : la somme dun nombre rationnel et d
Faux : la somme de deux nombres irrationnels positifs est irrationnelle. Démonstration. Pour montrer que l'affirmation est fausse il suffit de trouver deux
Problème 1 : nombres irrationnels
On a montré que si ?n est rationnel alors ?n est entier. Par contraposition
Autour de la racine cubique de 2
La racine cubique de 2 est irrationnelle et n'est pas solution d'une équation au second degré à coefficients rationnels non tous nuls. 1. Montrer que le nombre
Démonstration de « racine carrée de 2 est irrationnel »
Est-il possible de construire un carré dont le côté b et la diagonale a soient tous deux mesurés par des nombres entiers? (La figure ci-dessous représente
1 Deux rationnels pour un irrationnel ?
Soit a b ? N
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1 I. Montrer que les nombres suivants sont irrationnels. 1. (**). ?. 2 et plus généralement n. ? m où n est un entier supérieur
Epreuve 1. Problème 1 : nombres irrationnels
Sa racine n'est pas un entier donc est irrationnelle. 3. Supposons. 3ln. 2ln rationnel. Il existerait deux entiers naturels p et q premiers entre eux tels que
? 2 est irrationnel
2 est un nombre irrationnel. (C'est tr`es facile `a démontrer par l'absurde !) ... Puisque Q est une partie non vide de N? elle.
Une nouvelle démonstration dirrationalité de racine carrée de 2 d
simplement la leçon sur les irrationnels du passage mathématique figurant dans Il s'agit de démontrer que la racine carrée de 2 n'est pas rationnelle ...
Arnaud Bodin Capes
Universite de Lille 1 2009-2010p2est irrationnelTheoreme. p2est un nombre irrationnel.1 p2 Nous allons donner une demonstration dierente de la preuve \habituelle". Avant de faire ce raisonnement remarquons les deux choses suivantes : { Pour un nombre rationnel ab , on peut toujours trouver un entierqtel que qab soit un entier. Par exemple pour124 on peut prendreq= 4 mais aussi q= 2. { On a les inegalitesp2>1 etp2<2. (C'est tres facile a demontrer par l'absurde!) Nous commencons maintenant notre raisonnement par l'absurde. Supposons donc quep2 soit un nombre rationnel. Notons parQl'ensemble de tous les entiersntel quenp2 soit un entier : Q= n2Njnp22NComme nous avons suppose
p2 rationnel alors l'ensembleQest non vide (voir la remarque preliminaire). PuisqueQest une partie non vide deNelle admet un plus petit element, notons leq: q= minQ: Si on noteq0=qp2qalorsq0est un entier avecq01 et surtoutq0< q.Calculons alorsq0p2 :
q0p2 = (qp2q)p2 = 2qqp2:
Doncq0p2 est aussi un entier (car bien s^ur 2qest un entier mais aussiqp2 par la denition deq). Autrement ditq02 Qetq0< q. Ce n'est pas possible car nous avions choisiqcomme etant le plus petit element de l'ensembleQ. Nous avons donc trouver une contradiction. Nous en deduisons que notre hypothese de depart est fausse, doncp2 n'est pas un nombre rationnel. 1Commentaires \special Capes" :
{ Je trouve cette preuve beaucoup plus elegante que la preuve classique. La contradiction de la preuve classique est basee sur fait que l'on part d'une ecriture irreductible de pq , c'est une notion pas si evidente : elle est liee a la notion de pgcd, mais surtout il faut implicitemment distinguer la notion de nombre et l'ecriture du nombre. Si on oublie de preciser que cette ecriture est irreductible on est coince! { Pour cette preuve a part la notion de divisibilite, le seul truc de base a savoir est que toute partie (non vide) deNadmet un plus petit element. Cela fait parti de la construction deN(c'est par exemple une consequence des axiomes de Peano ou alors cela peut ^etre un des axiomes). Mais aucun eleve de college ou lycee ne mettra en doute ce fait (ce qui n'est pas si clair avec l'ecriture irreductible de pq { Cela peut aussi ^etre l'occasion de presenter la methode de Newton pour la fonctionx22 qui donne, en partant par exemple dex0= 1 une suite de tres bonnes approximations deQpar des rationnels. { D'un point de vue historique le fait que l'on s'interroge sur la rationnalite dep2 et qu'on le demontre est tres important. Les civilisations egyptiennes et mesopotamiennes pensaient que tout pouvait s'exprimer comme multiple d'une unite, quitte a choisir l'unite assez petite. Cela cadrait avec leur pra- tique des mathematiques (calcul d'aire, de recolte, de partage de biens, ...). Ce sont les grecs (certainement les Pythagoriciens a la n du cin- quieme siecle avant J.C.) qui demontrerent que deux grandeurs pouvaient ^etre incommensurables : ici 1 etp2 ne peuvent pas ^etre des multiples entiers d'un m^eme nombre. 2quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47[PDF] montrer que si x appartient ? l'intervalle
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