[PDF] Moyenne de fonctions arithmétiques — Une introduction

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DRAFT

Moyenne de fonctions

arithm

´etiques

Une introduction

agr

´ement´ee d"exercices et

d"applications au crible

Cours donn´es `a l"universit´e de

Nouakchott

Nouakchott

25 Novembre / 6 D´ecembre 2012

Olivier Ramar´e

20 novembre 2012

DRAFT 2

20 novembre 2012Version 1

DRAFT

Introduction

Ce cours portera surtout sur les valeurs moyennes de fonctions arithm´etiques et se poursuivra par une introduction au crible de Montgomery et des applica- tions. Les fonctions arithm´etiques sont tr`es souvent mal connues, et poss`edent un comportement qui semble irr´egulier et sans coh´erence. Regardons par exemple la fonction 0() = (2) Si la suite de ses valeurs semble tr`es erratique, r´egularit´e apparaˆıt lorsque l"on consid`ere (1)

0(). Nous allons en effet d´emontrer que

Th´eor`emeSoitun r´eel positif. Nous avons

(1)

0() =C+(34)

o`u la constanteCest donn´ee par C=1 2 2

13(+ 1)

= 014630 Remarquons que dans cet ´enonc´e et de fa¸con syst´ematique dans la suite, la lettred´esigne un nombre premier. L"ordre moyen a pour effet de dissimuler certaines valeurs aberrantes prises par la fonction consid´er´ee. Nous continuerons ce cours par des applications au crible et nous ´etablirons par exemple le th´eor`eme de Brun-Titchmarsh (sous une forme l´eg`erement plus faible) : Th´eor`emePouretdeux entiers1, le nombre de nombres premiers dans l"intervalle[+ 1+]est au plus2log. D"autres applications concerneront les nombres premiers jumeaux, la conjec- ture de Goldbach et bien d"autres probl`emes concernant les nombres premiers. Le lecteur pourra consulter les livres (Apostol, 1976) ou (Ellison, 1975). Les livres (Bombieri, 1987/1974a) et (Halberstam & Richert, 1974) sont deux autres r´ef´erences incontournables. DRAFT 2

Un calendrier :

Dimanche 25/11 - 2h Introduction, bestiaire, produit de convolution et multiplicativit´e. (a) Introduction : r´egularit´e en moyenne. Fonctions multiplicatives. Bestiaire. (b) Multiplicativit´e de la fonction de diviseurs (c) Convolution de fonctions multiplicatives Apr`es midi, 2h : fonctionde Riemann, abscisse de convergence absolue, unicit´e des coefficients de Dirichlet, convolution arithm´etique.

Lundi 26/11 - 2h (a) Sommer des fonctions lisses

(b) Le principe de l"hyperbole de Dirichlet (c) Valeur moyenne de2(). Apr`es midi, 2h : Valeur moyenne du pgcd, suite des s´eries deDirichlet : multi- plicativit´e.

Mardi 27/11 - 2h Estimations de Mertens

(a) Nombres premiers, (b) Estimation de Mertens, sommation par parties, (c) Th´eor`eme de Tchebysheff. Apr`es midi, 2h : taille de la fonction de diviseurs. Exercices sur les applications et le th´eor`eme de Hall en majoration.

Mercredi 28/11 Jour f´eri´e.

Jeudi 29/11 - 2h M´ethode de convolution

(a) Via un exemple, (b) Le lemme usuel. Des applications.

Apr`es midi, 2h : Questions, corrections.

Vendredi 28/11 Jour f´eri´e.

Samedi 1/11 - 2h Th´eor`eme de Levin Fainleib

(a) Le th´eor`eme, (b) Des applications.

Pas d"exercice l"apr`es midi

Dimanche 2/11 - 2h Introduction au crible, Le th´eor`eme de Brun Titchmarsh via l"in´egalit´e.

Apr`es midi, 2h : l"in´egalit´e du grand crible. Lundi 3/12 - 2h Le crible de Montgomery, applications.

Apr`es midi, 1h30 : Applications.

Mardi 4/12 - 2h Le groupe multiplicatif de

(a) Les notions. Les caract`eres modulo 3 et 4,3(-1) =-1 =4(-1). Non- annulation de(13) et(14). (b) Nombres premiers en progressions arithm´etiques par lam´ethode de Mer- tens. Apr`es midi, 1h30 : equation fonctionnelle de la fonction, et celle de. Exercice sur le groupe multiplicatif modulo 5. Mercredi 5/12 - 2h - Selon ce qui a ´et´e fait.

Apr`es midi, 1h.

Jeudi 6/12 - 2h Devoir surveill´e.

Au total : 32 heures

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Table des mati`eres

Table des mati`eres1

Introduction1

1 Convolution arithm´etique5

1.1 Bestiaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Fonctions multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 La fonction nombre de diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Convolution et fonctions multiplicatives . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Initiation aux s´eries de Dirichlet 11

2.1 Abscisse de convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 S´eries de Dirichlet et produit de convolution . . . . . . . . . . . . 12

2.3 S´erie de Dirichlet et multiplicativit´e . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 La fonctionde Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Quelques digressions sans preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Sommer des fonctions lisses19

4 Le principe de l"hyperbole23

4.1 Un premier terme d"erreur pour la moyenne de la fonction de

nombre de diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Le principe de l"hyperbole de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 Un meilleur terme d"erreur pour la moyenne de la fonction de

nombre de diviseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 Sommer des nombres premiers27

5.1 La fonction de von Mangoldt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5.2 De la fonction log `a la fonction Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.2.1 Une majoration `a la Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2.2 Un th´eor`eme `a la Mertens . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.3 Un r´esultat de type postulat de Bertrand . . . . . . . . . . . . . 31

5.4 Le th´eor`eme des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Taille de la fonction nombre de diviseurs 35

DRAFT

4TABLE DES MATI`ERES

7 La m´ethode de convolution39

7.1 Preuve du th´eor`eme 7.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7.2 Un exercice de sommations par parties . . . . . . . . . . . . . . . 43

7.3ˆEtre sans facteurs carr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8 Exemples et pratique45

8.1 Trois exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.2 Un th´eor`eme g´en´eral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.3 Un quatri`eme exemple d´etaill´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9 Le th´eor`eme de Levin-Fainleib53

9.1 Une premi`ere borne sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.2 Une formule asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

10 Le th´eor`eme de Brun-Titchmarsh : une approche moderne 59

10.1 Des nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10.2 Une approche "crible" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

10.3 L"in´egalit´e de Brun-Titchmarsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

10.4 Consid´erations hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

10.5 Un peu d"arithm´etique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.6 Preuve de l"in´egalit´e de Brun-Titchmarsh . . . . . . . . . . . . . 63

10.7 Compl´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.8 Optimalit´e? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.9 Des nombres premiers jumeaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11 L"in´egalit´e du grand crible71

11.1 Une in´egalit´e de Parseval approch´ee . . . . . . . . . . . . . . . . 71

11.2 L"in´egalit´e du grand crible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

11.2.1 Une transform´ee de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11.2.2 Preuve du th´eor`eme 11.3 (forme faible) . . . . . . . . . . 74

11.3 La suite de Farey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

12 Le crible de Montgomery77

13 Nombres premiers en progressions arithm´etiques : une intro-

duction79

13.1 Le groupe multiplicatif de

??. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

13.2 Les caract`eres de Dirichlet modulo 3 et modulo 4 . . . . . . . . . 79

13.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

14 Exercices81

Notations87

References89

Index92

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Chapitre 1

Convolution arithm´etique

Il s"agit ici d"une pr´esentation des acteurs.

1.1 Bestiaire

1. La fonction de Moebius() vaut1 sur chaque nombre premier et 0 sur

toutes leurs puissances.

2.() est l"indicateur d"Euler, c"est `a dire le nombre d"entiers entre 1 et

qui sont premiers `a.

3.() est le nombre de diviseurs (positifs) de.

4.() est la somme des diviseurs (positifs) de.

5. La fonction de Liouville() = (1)Ω()en est assez proche : en effet

cette derni`ere est la fonction multiplicative qui vaut (1)sur chaque.

6.(2) est le nombre de diviseurs (positifs) de2. Il s"agit aussi d"une

fonction multiplicative de.

7.() est le nombre de diviseurs premiers deet par exemple(12) =

2 puisque 2 et 3 sont les deux seuls nombres premiers divisant 12. On

dit aussi "sans multiplicit´e" car, en fait, 2

2divise aussi 12. Le nombre

de diviseurs avec multiplicit´e est Ω() qui v´erifie Ω(12) = 3. Ces deux fonctions sontadditives, i.e.() =() +() si () = 1 et de mˆeme pour Ω. Cette notion est bien sˆur le pendant additif de la notion de fonction multiplicative introduite ci-apr`es.

8.2() vaut 1 siest divisible par un carr´e1 et 0 sinon.

9. Λ() est a fonction de van Mangoldt

10.=1ou1est la fonction qui vaut 1 en= 1 et 0 ailleurs, alors que

?est la fonction qui vaut uniform´ement 1 sur tous les entiers.

11.() est le nombre de nombres premiers inf´erieurs `a, de sorte que

(3) = 2 par exemple.

Nous pouvons aussi consid´erer

1. la fonction2qui `a chaque entierassocie le nombre d"entiers modulo

qui sont premiers `aet tels que+ 2 qui le sont aussi,

2. la fonction qui `a chaque entierassocie le nombre de carr´es modulo.

DRAFT

6CHAPITRE 1. CONVOLUTION ARITHM´ETIQUE

1.2 Fonctions multiplicatives

Une fonction:

? 0 ?est ditemultiplicativesi (1) = 1 () =()() sietsont premiers entre eux.(1.1) De fa¸con ´equivalente, nous pouvons ´ecrire (1.2) o`u le produit porte sur tous les nombres premiers et o`u lessont des entiers positifs ou nuls, dont tous sauf un nombre fini sont nuls. Cette expression montre clairement que la fonctionest compl`etement d´etermin´ee par sa valeur sur les entiers qui sont des puissances de nombres premiers. R´eciproquement la donn´ee de telles valeurs d´etermine bien une fonction multiplicative, tout simplement en la d´efinissant `a partir de l"´egalit´e ci-dessus. Exercice 1.Montrer que,etsont trois entiers, et siest premier `a, alors le pgcd deetest ´egal au pgcd deet de, i.e. pgcd() = pgcd() Indication :Utiliser les d´ecompositions en facteurs premiers. Cette notion de multiplicativit´e va s"av´erer fondamentale. Nous constaterons en particulier que beaucoup de fonctions arithm´etiques a priori myst´erieuses se comprennent beaucoup mieux lorsque l"on regarde leurs valeurs surles puis- sances de nombres premiers. Avant d"examiner des exemples, notons le lemme suivant que nous utiliserons tr`es souvent : Lemme 1.1Soitune fonction multiplicative etetdeux entiers. Nous avons o`u[]et()d´esigne respectivement le ppcm et le pgcd des entierset. Exercice 2.D´emontrer le lemme pr´ec´edent. Indication :Utiliser les d´ecompositions en facteurs premiers.

Exercice 3.

1Montrer que la fonction somme de diviseursest multiplicative.

2Soitun nombre premier et1un entier. Montrer que

() =+11 1 o`u()est la somme des diviseurs entiers positifs de.

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1.3 La fonction nombre de diviseurs7

Exercice 4.

1Montrer que sietsont sans facteurs carr´es et distincts, alors

2Montrer que la fonction()v´erifie la mˆeme propri´et´e (i.e. que

celle de()exhib´ee `a la question pr´ec´edente).

3Que pensez-vous de la fonction()()vis `a vis de cette pro-

pri´et´e?

4Que pensez-vous de la fonction

(+ 2)(+ 1)vis `a vis de cette propri´et´e?

Exercice 5.

1Montrer que la fonctionqui `a l"entierassocieadmet la fonction

d´efinie par comme inverse de convolution.

2D´emontrer l"identit´e suivante

()2= (2)

1.3 La fonction nombre de diviseurs

Commen¸cons par d´etailler ce pourquoi la fonction qui `aassocie son nombre de diviseurs est multiplicative. Ceci repose en fait sur la structure de l"ensemble () des diviseurs de. Tout d"abord () =121(1.3) Ensuite, si1et2sont deux nombres premiers distincts, chaque diviseur du produit1122est de la forme1122avec 011et 022. Par ailleurs, chaque entier de cette forme est bien un diviseur de1122. Ceci nous donne

1122=11 22(1.4)

Nous montrons de la mˆeme fa¸con que() =() () sietsont premiers entre eux. De fa¸con explicite la fonction suivante est unebijection : ()()(1.5) Il s"agit l`a d"une forme de multiplicativit´e au niveau des ensembles, etque nous allons exploiter sous la forme suivante : pour toute fonction, l"identit´e suivante a lieu d`es queetsont deux entiers premiers entre eux 1

2(12)(1.6)

Le cours de Nouakchott20 novembre 2012

DRAFT

8CHAPITRE 1. CONVOLUTION ARITHM´ETIQUE

D´emonstration.SoitD() l"ensemble des diviseurs positifs de.´Etant donn´e deux entiers premiers entre euxet, nous consid´erons :D()D()D() () :D()D()D() (pgcd()pgcd()) Nous montrons que= Id. En effet ()() = (pgcd()pgcd()). Commediviseet queest premier `a, les entiersetsont premiers entre eux. L"exercice 1 nous donne alors pgcd() = pgcd() =et de mˆeme pgcd() = pgcd() =. Ce qu"il fallait d´emontrer.

1.4 Convolution et fonctions multiplicatives

Nous d´efinissons le produit de convolution arithm´etique par ()() (1.7) o`u la somme porte sur les diviseursde. En notant ?la fonction qui vaut 1 sur tous les entiers, nous avons() = ??. La lectrice v´erifiera que ce produit est associatif et commutatif. La fonction=1en est l"´el´ement neutre, puisque pour toute fonction arithm´etique, nous avons (1 )() =

1()() =()

Ce produit est par ailleurs distributif vis-`a-vis de l"addition de deux fonctions arithm´etiques et ces deux lois permettent de munir l"ensemble de fonctions arithm´etiques d"une structure d"alg`ebre commutative unitaire sur ?. Nous pour- rions aussi enrichir cette structure en consid´erant la d´erivation : (())1(()ln)1 qui est lin´eaire et v´erifie de surcroˆıt( ) = () + () mais nous sortons ici de notre cadre. La lectrice trouvera une ´etude assez d´etaill´ee de cette structure dans le livre de Bateman & Diamond (Bateman & Diamond, 2004). Exercice 6.Montrer que, si()converge absolument, il en est de mˆeme de()pour . Que penser de la r´eciproque? Peut-on affaiblir cette condition `a? Le th´eor`eme g´en´eral suivant nous donne la multiplicativit´e de toute une kyrielle de fonctions : Th´eor`eme 1.2Sietsont deux fonctions multiplicatives, il en est de mˆeme de . D´emonstration.La valeur en 1 est ais´ee : (1) =(1)(1) = 1. Soit ensuite deux entiersetpremiers entre eux. Nous avons

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1.4 Convolution et fonctions multiplicatives9

et appliquons (1.6) : 1 2 12 (12) 1 2 1 2 (1)(2) = ( )()( )() comme requis. Ceci nous donne d"un seul coup la multiplicativit´e de beaucoup de fonctions, en partant des exemples simples que sont les fonctions ?et plus g´en´eralement :. En particulier, le lecteur v´erifiera que Cette convolution nous permet aussi d"exprimer simplement certaines relations, comme

1.(2) = (

?2())().

2.2() = (

??2)() o`u ?2est la fonction caract´eristique des carr´es.

Exercice 7.Montrer que(2) =

2 Exercice 8.SoitFl"espace vectoriel sur?des fonctions de?0dans?.

Sietsont dansF, rappelons que est d´efini par

Alors

1. Montrer que ( ) = ( ) .

2. Montrer que(F+)est une alg`ebre commutative sur

3. D´eterminer une unit´epour.

4. Montrer que

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