[PDF] Calcul de la valeur moyenne du produit de deux fonctions

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Calcul de la valeur moyenne du produit de deux fonctions harmoniques du temps, de même pulsationω, en notation complexe. Sif(?r,t)etg(?r,t)sont deux fonctions harmoniques du temps, de même pulsationω, on peut les

écrire sous la forme :

??????f(?r,t) =?f(?r,t)????

A(?r)ejωt?

avecA(?r) =|A(?r)|ej?A(?r) g(?r,t) =??

B(?r)ejωt?

g(?r,t)avecB(?r) =|B(?r)|ej?B(?r) Alors on montre que lavaleur moyenne temporelledu produit des deux fonctions peut se calculer à partir de leurs représentations complexes sous la forme suivante :< f(?r,t)g(?r,t)>=12 f(?r,t)g? (?r,t)?On note?la partie réelle, et?la conjugaison complexe.

Remarque :Le fait que les fonctions dépendent de la variable spatiale?rest accessoire ; cette variable ne joue

en réalité aucun rôle ici. Tout ce que l"on dit est valable à l"identique pour deux fonctionsf(t)etg(t)

du tempstseulement. On n"a gardé la dépendance en?rque comme exemple, car elle est extrêmement

répandue pour toutes les grandeurs ondulatoires.

Démonstration :*) pour les réels :

f(?r,t) =|A(?r)|cos(ωt+?A(?r)) g(?r,t) =|B(?r)|cos(ωt+?B(?r)) donc f(?r,t)g(?r,t) =|A(?r)B(?r)|12 [cos(2ωt+?A(?r) +?B(?r)) + cos(?A(?r)-?B(?r))] d"où < fg >=12 |A(?r)B(?r)|cos(?A(?r)-?B(?r)) *) pour les complexes : f(?r,t)g? (?r,t) =A(?r)B? (?r) =|A(?r)||B? (?r)|ej(?A(?r)-?B(?r)) d"où f(?r,t)g? (?r,t)? =|A(?r)B(?r)|cos(?A(?r)-?B(?r)) Cas particulier : valeur quadratique moyenne d"une fonction < f

2(?r,t)>=12

??f(?r,t)???2(la partie réelle n"est plus nécessaire, et par ailleurs ce résultat peut se démontrer bien plus facilement)

Cas particulier : valeur moyenne nulle.

On retrouve comme cas particulier le fait que la valeur moyenne temporelle de deux fonctions en

quadrature temporelle est nulle. (En notation réelle, on peut toujours se ramener, avec un éventuel

changement de l"origine des temps, à= 0). La quadrature temporelle se traduit, en complexes, par le fait quegfest imaginaire pur.

Le produitf·g?

est alors, lui aussi, imaginaire pur et sa partie réelle est donc nulle. Dans les deux premiers exemples ci-dessous, les grandeurs ne dépendent que detet pas de?r, mais cela ne change rien au résultat.

Exemples de valeurs moyennes nulles :•Puissancemoyenneconsommée par un condensateur :u=Z·iavecZ=

1jCω

imaginaire pur (la puissanceinstantanéevautu(t)i(t)) •Puissancemoyenneconsommée par une bobine :u=Z·iavecZ=jLωimaginaire pur (la puissanceinstantanéevautu(t)i(t))

•Puissance volumiquemoyennedonnée par le champ électromagnétique à un plasma peu dense

(sans collisions) : ?j=γ· ?Eavecγimaginaire pur (la puissance volumiqueinstantanéevaut ?j(t)·?E(t))quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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