[PDF] Moyennes effectives de fonctions multiplicatives complexes

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Ramanujan J.

44, no3 (2017), 641-701;

Corrig.51, no1 (2020), 243-244.

Moyennes eectives de fonctions

multiplicatives complexes

Gerald Tenenbaum

Abstract.We establish eective mean-value estimates for a wide class of multiplicative arithmetic functions, thereby providing (essentially optimal) quantitative versions of Wirsing's classical estimates and extending those of Halasz. Several applications are derived, including: estimates for the dierence of mean-values of so-called pretentious functions, local laws for the distribution of prime factors in an arbitrary set, and weighted distribution of additive functions. Keywords.Quantitative estimates, multiplicative functions, eective mean-value theorems, weighted distribution of additive functions.

2010 AMS Classication.Primary 11N56, Secondary 11K65, 11N37, 11N60, 11N64.

Sommaire

1Introduction et enonce des resultats:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::1

3Preuve du Theoreme 1.1:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::10

3.1 Lemme de Gallagher::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::10

3.2 Reduction au cas exponentiellement multiplicatif::::::::::::::::::::::::::::::11

3.3 Preuve dans le cas exponentiellement multiplicatif::::::::::::::::::::::::::::12

4Preuve du Theoreme 1.2:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::16

4.1 Lemmes:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::16

4.2 Preuve dans le cas exponentiellement multiplicatif:::::::::::::::::::::::::::::21

4.3 Completion de l'argument:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::28

5Preuve du Theoreme 1.3:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::29

5.1 Inegalite de Turan-Kubilius ponderee::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::29

5.2 Completion de l'argument:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::30

6Preuve du Theoreme 1.4:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::34

7Preuves des corollaires:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::35

7.1 Preuve du Corollaire 2.1:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::35

7.2 Preuve du Corollaire 2.4:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::36

7.3 Preuve du Corollaire 2.5:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::38

7.4 Preuve du Corollaire 2.6:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::40

1. Introduction et enonce des resultats

Les estimations de valeurs moyennes de fonctions multiplicatives constituent un outil pri- vilegie de la theorie probabiliste des nombres. Elles permettent notamment d'apprehender la repartition des fonctions additives sur lesNpremiers entiers via leurs fonctions caracteristiques et, partant, d'obtenir des theoremes de convergence avec contr^ole de l'approximation. Les deux succes historiques de la theorie sont respectivement dus a Wirsing [35] et Halasz [13]. Designons parM(A;B) la classe des fonctions multiplicatives veriant (11) maxpjf(p)j6A;X p;>2jf(p)jlogpp 6B: Ici et dans la suite, nous reservons la lettreppour designer un nombre premier. Dans son remarquable article [35], Wirsing etablit notamment que, sir2M(A;B),r>0, et s'il existe% >0 tel que (12)X p6xr(p)logpp %logx(x! 1); alors toute fonction multiplicative reelleftelle quejfj6rverie, lorsquex! 1, (13)M(x;f) :=X n6xf(n) =e %(%)Y pP >0f(p)=pP >0r(p)=p+o(1)xlogxY pX p

6xr(p)p

ou le produit inni est considere comme nul lorsqu'il diverge. (1)Ici et dans la suite, nous notons la constante d'Euler. Nous incluons ici quelques corrections mineures relativement a la version publiee.

1. Le second produit est en fait ni.

2Gerald Tenenbaum

Le casr=1(la fonction constante egale a 1),%= 1, conrme une celebre conjecture d'Erd}os selon laquelle une fonction multiplicative reelle a valeurs dans [1;1] possede necessairement une valeur moyenne. Dans [13], Halasz a elucide le comportement asymptotique des fonctions multiplicatives complexesfa valeurs dans le disque unite. Son resultat principal etablit une dichotomie : soit il existe2Rtel que (14)X p1 0f(p)p (1+i)+o(x) (x! 1); soit la serie diverge pour tout2R, et l'on aM(x;f) =o(x) lorsquex! 1. Une precision supplementaire est que, sous l'hypothese (14), le terme principal de (15) est de la forme K x1+iL(logx) ouLest une fonction de module unite a croissance lente au sens de Karamata [22], c'est-a-dire telle queL(u)=L(v)!1 lorsqueuetvtendent vers l'inni sous la conditionuv. Une preuve alternative du cas de convergence a ete obtenue par Delange via une methode reposant, a partir d'une idee de Renyi, sur l'inegalite de Turan{Kubilius : voir [33], th.III.4.4, pour une demonstration de ce resultat non publiee par Delange. Indlekofer, Katai & Wagner [21] ont generalise ces resultats (2)en etablissant que, pour toutes fonctions multiplicativesr; f, telles quer2M(A;B),fa valeurs complexe,jfj6r, et sous l'hypothese (12), nous avonsM(x;f) =oM(x;r)lorsquex! 1si la condition (16)X pr(p) 0f(p)=p(1+i)P >0r(p)=p+o(1)xiM(x;r)1 +i Cette formule asymptotique resulte en fait implicitement, sous la m^eme hypothese (16), du travail de Wirsing [35]. Notons egalement que les estimations de Wirsing impliquent l'equi- valence de (17) et (18)M(x;f) =e %x1+i(1 +i)(%)logx Y p6xX >0f(p)p (1+i)+o(logx)% De plus, le cas general se reduit aisement, par sommation d'Abel, au cas= 0. Les developpements ulterieurs de la theorie ont principalement vise a rendre les resultats precedents eectifs, c'est-a-dire a expliciter les majorations dans le cas de divergence et les termes d'erreur dans le cas de convergence. La necessite de telles estimations etant naturellement plus imperieuse dans le cas ou le terme principal est nul, les recherches se sont d'abord orientees dans cette direction. Les travaux de Halasz [14], precises par Montgomery [28], Elliott [7], puis par l'auteur [33] (ch. III.4), fournissent ainsi des majorations explicites dans le cas de fonctions a valeurs dans le disque unite ou dont les valeurs sur les nombres premiers evitent un secteur xe.

(3)2. Un resultat qualitatif anterieur, de m^eme nature mais valide sous des hypotheses plus fortes, est d^u

a Levin & Timofeev [24].

3. Voir egalement [30] pour des variantes relatives a des sommes ponderees.

Moyennes eectives de fonctions multiplicatives complexes3 Lorsque lesf(p) sont connes a une ellipse de diametre 2 strictement incluse dans le disque unite, Hall & Tenenbaum [19] etablissent la majoration eective

M(x;f)xexpn

KX p6x1 0,B >0,j= 0;1,x>2, la classe M j(x;A;B) des fonctions multiplicatives complexesfveriant (19) maxp6xjf(p)j6A;X p 6x >2jf(p)j(logp)1+jp 6B: Notre premier resultat etend aux fonctions deM1(x;A;B) le theoreme III.4.7 de [33], restreint aux fonctions a valeurs dans le disque unite. Pour toute fonction multiplicativef dont la serie de DirichletP n>1f(n)=nsconverge dans le demi-plan1, nous posons (110)v f(s) =vf(s;x) :=X p6xf(p)p s(s2C); H

T()2:=X

k2Zjkj6T1k

2+ 1max=1+

jkj61=2jevf(s;x)j2( >0; T>1): Dans tout ce travail, nous denissons implicitement les parties reelle et imaginaire d'un nombre complexespar la formules=+i.

Nous posons encore

(111)Z(y;f) :=X p6yf(p)p (26y6x): Theoreme 1.1.SoientA >0; B >0. Sous les hypothesesx>3,f;r2M1(x;A;B),jfj6r, etT>1, nous avons uniformement (112)M(x;f)xlogx Z1

1=logxH

T() d+eZ(x;r)pT +eZ(x;r)logx+eZ(x;r)log2xT De plus, pour toutc >0xe, et sous l'hypothese supplementaire (113)Z(x;r)Z(y;r)>cloglogxlogy +O(1) (26y6x); le dernier terme dans l'accolade de(112)peut ^etre omis.

4Gerald Tenenbaum

Le resultat suivant fournit une version eective des formules asymptotiques (17) et (18). Conformement a une remarque eectuee plus haut, nous nous restreignons, sans perte de

generalite, au cas= 0.Etant donnee une fonction arithmetique multiplicative complexef, nous posonswf:= 1 si

fest reelle, etwf:=12 dans le cas general.

Theoreme 1.2.Soient

(114)a2]0;12 ];b2[a;1[; A>2b; B >0; x>1; %=%x2[2b;A];p:=%A ; := 1sinpp ;h:=1bmin(1;%)b

Pour tout"="x2]1=plogx;12

], les assertions suivantes relatives aux fonctions multiplicatives f,rtelles quejfj6rsont veriees.

Sous les hypotheses

X p6xr(p) blog(1=");(115) X x "2,r2M0(x;A;B), (118)M(x;f) =e %x(%)logx Y pX p

6xf(p)p

+O "eZ(x;f) ou l'on a pose:=wf1: La constante implicite dans(118)depend au plus deA,B,a,b, et des constantes implicites de(116)et(117). Remarques.(i) Le Theoreme 1.2 generalise bien le theoreme de Wirsing. (ii) On ah= 1, des que%>1. (iii) L'hypothese (116) est trivialement impliquee par la condition (119)X x "6xf(p)p eZ(x;f) alors que les deux membres sont du m^eme ordre de grandeur des que (121) minp;x X

066(logx)=logpf(p)p

1: Sous cette condition generiquement veriee, la formule (118) devient (122)M(x;f) =1 +O(")e %x(%)logxY pX p

6xf(p)p

Moyennes eectives de fonctions multiplicatives complexes5 L'hypothese (117) represente une contrainte signicative pour la repartition des valeursr(p). Nous pouvons la remplacer par une minoration en moyenne sur de petits intervalles.

Nous posons

(123)0=0(b;A) := 1sin(2b=A)2b=A; 0(b) =0(b;A) :=13 b0:

Theoreme 1.3.Soient

a2]0;14 ];b2[a;12 [; A>2b; B >0; :=0(b;A); x>2;1=plogx < "612 Supposons que les fonctions multiplicativesf,r, telles quer2M0(x;2A;B),jfj6r, verient les conditions(115),(116)avech:= (1b)=b,(119)avech= 1, et (124)X y4b"1logye1="16y6x1=(1+"1) ou l'on a pose"1:=p". Supposons de plus que12]0;0(b)]. Nous avons alors (125)M(x;f) =M(x;r)Y pP p

6xf(p)=pP

p

6xr(p)=p+Ox"eZ(x;r)cZ(x;jfjf)logx

ou:=wf1, etc:=b=A. La constante implicite de(125)depend au plus deA,B,aetb. Remarques.(i) Le recent et tres elegant article d'Elliott [8], nalise simultanement au present travail, fournit une condition susante pour la validite de (17) dans laquelle l'hypothese (16) est remplacee par une minoration en moyenne de m^eme nature que (124). (ii) Les Theoremes 1.2 et 1.3 precisent le theoreme 2.6 de l'article [25], apparu en ligne posterieurement a la diusion du present travail sur le reseau. Il est possible de supprimer la condition (119) au prix d'un renforcement des hypotheses sur les nombresr(p). Theoreme 1.4.Dans les hypotheses du Theoreme 1.3, la formule asymptotique(125)persis- te sans la condition(119)avech= 1si l'hypothese(124)est remplacee parminx"4b.

Nous fournissons les details aux6.

Les methodes developpees dans le present travail reposent principalement sur l'approche de Halasz [13], assortie de ranements introduits dans [28] et [33]. La preuve du Theoreme 1.3 fait usage d'une version ponderee de l'inegalite de Turan{Kubilius (Lemme 5.1) et d'arguments de convolution des fonctions arithmetiques. Ainsi que l'attestent les formules asymptotiques obtenues aux Corollaires 2.4 et 2.5, les termes d'erreur eectifs des Theoremes 1.2, 1.3 et 1.4 sont essentiellement optimaux sous les hypotheses eectuees. Notation.Dans tout ce travail, nous employons la notation de Vinogradovfgpour signier qu'il existe une constanteCtelle quejfj6Cjgjdans le domaine indique. Nous attirons l'attention du lecteur sur le fait que, selon une pratique largement repandue, nous etendons l'usage de cette notation au cas de quantites complexes.

2. Applications

Nous enoncons ici, de facon non exhaustive, quelques applications des resultats presentes plus haut. La premiere est une consequence simpliee du Theoreme 1.1 analogue a une majoration de Halasz [16] valable pour les fonctions de module au plus 1, et dont une version optimale est etablie au cor. III.4.12 de [33]. Lorsquer2M0(x;A;B) etfest une fonction multiplicative telle quejfj6r, nous posons (21)mf(y;T) := minjj6TX p6yr(p) 2):

6Gerald Tenenbaum

Corollaire 2.1.SoientA >0; B >0,b>0. Sous les conditionsx>3,f;r2M1(x;A;B), jfj6r,T>1, et (22)X ybloglogxlogy +O(1) (26y6x); nous avons uniformement (23)M(x;f)M(x;r)1 +mf(x;T)e mf(x;T)+1pT +1logx Une illustration simple du Theoreme 1.2 peut ^etre obtenue de la facon suivante. SoientA etBdes constantes positives etfune fonction multiplicative complexe deM0(A;B) telle que max pjf(p)j6%. Supposons encore que l'analogue de (14) est satisfait avec= 0, autrement dit (24)X p% 0f(p)p +o(1)x(logx)%1(%) Nous pouvons a present preciser le terme d'erreur en fonction de la vitesse de convergence de la serie (24). En eet, l'hypothese (24) implique immediatement, par sommation d'Abel, que (26)X p6xf% 6xlogx(x! 1) pour une fonction convenablextendant vers 0 a l'inni. Choisissonsb:=12 min(1;%),A:=%, de sorte quep=,= 1,h= 2=min(1;%)1. Posant (27)1:=13 min(1;%)623 b; nous avons alors1h=23 13 min(1;%) et X x "0,B >0,% >0, etf2M0(A;B)une fonction multiplicative complexe telle quejf(p)j6%pour tout nombre premierp. Sous l'hypothese(24)et avec les notations(26),(27), nous avons (28)M(x;f) =e %x(%)logx Y pX p

6xf(p)p

+O axeZ(x;f)+eZ(x;f)(logx)b ou l'on a posea:=wfmin(1;%)=f5min(1;%)g,b:=wfmin(1;%)=6. Remarque.Sous la condition (121), nous deduisons de (28) que l'on peut remplacer le terme d'erreur de (25) parOax+ 1=(logx)b.

Lorsquefest reelle et%= 1, nous avons donca=14

,b=16 . Cela precise un resultat, mentionne plus haut, de Indlekofer [20], qui obtient dans ce casa=136 par une methode reposant sur une technique de convolution des fonctions arithmetiques. Dans le m^eme esprit, nous pouvons enoncer le resultat suivant. Nous notonsP+(n) le plus grand facteur premier d'un entiern>1 avec la conventionP+(1) = 1 et rappelons la notation

0(b) denie en (123).

Moyennes eectives de fonctions multiplicatives complexes7 Corollaire 2.3.Soientx>2,rune fonction multiplicative positive ou nulle satisfaisant aux hypotheses du Theoreme 1.3 etf,gdeux fonctions multiplicatives telles quejfj26r;jgj26r. Supposons que, pour une fonctionxtendant vers 0 lorsquex! 1et telle quexplogx1, les majorations (29)X p6xr(p)h(p)p 638

0blog1

x ;X p6xr(p)h(p)p logp6xlogx; ou0est deni en(123), aient lieu pourh=jfj2,h=jgj2eth=0=f3 + (1b)0g. Pour etablir cette assertion, il sut d'observer que les fonctionsretfg(respective- mentjfj2,jgj2) satisfont aux hypotheses du Theoreme 1.3 pour le choix":=1=(1+1h)x,

1:=0(b),h:= (1b)=b,:=12

1. Nous appliquons ensuite ce resultat aux couplesr;fg

etr;fg (respectivement (r;jfj2), (r;jgj2)) en negligeant la contribution impliquant le parametrec. Le casr=1du Corollaire 2.3 releve de la theorie des fonctionshhsimulatricesii(pretentiousen anglais) telle que developpee depuis quelques annees par Granville, Soundararajan et d'autres auteurs | voir par exemple [4], [12], [23]. Sifetgsont des fonctions multiplicatives a valeurs dans le disque unite et si (29) est satisfaite avecr=1pourh=jfj2,jgj2etLe terme principal de (211) vaut alors

M(x;jfj2) +M(x;jgj2)xeD2(x;f;g)+O(1)(x! 1);

ouD2(x;f;g) :=E(x) :=X p6x;p2E1p Halasz a montre que, pour tout2]0;1[ xe et uniformement pour (212) 06m6(2)E(x); le nombreNm(x;E) des entiersn6xtels que (n;E) =mverie (213)Nm(x;E) =xeE(x)E(x)mm!n

1 +OjmE(x)jE(x)+1pE(x)o

:4. Cette hypothese est en particulier impliquee, pour une valeur convenable dex, par la convergence des trois seriesP pf1 8Gerald Tenenbaum Sarkozy [31] a ensuite etabli que le terme principal de (213) fournit en fait l'ordre de grandeur du membre de gauche dans l'intervalle (214)E(x)6m6(2)E(x): Autrement dit, sous la contrainte (214), nous avons, pourxassez grand, (215)Nm(x;E)xeE(x)E(x)mm! des queE(x) tend vers l'inni avecx.(5)Cet encadrement a ete ulterieurement precise et generalise par Balazard [2]. Soit2]0;1[. Un argument de convolution standard fournit (216)S(x;r;E) :=X n6xr (n;E)=xe(r1)E(x) 1 +O jr1j+1(logx)1=2 uniformement pour6r62.(6)De plus, il resulte par exemple du theoreme 1.1 de [34] que, dans les m^emes conditions, (217)S(x;r;E)xe(r1)E(x): Nous obtenons le resultat suivant, qui precise (213) lorsquemE(x)pE(x) et implique (215). NotantN(E) l'ensemble des entiers dont tous les facteurs premiers sont dansE, nous posons, lorsqueEest ni, (218)F(z;E) :=X n2N(E)z (n)n =Y p2E 1zp

1(z2C;jzj<2);

ett(x;E) :=pflogE(x)g=E(x): Corollaire 2.4.SoientE[1;x]un ensemble de nombres premiers tel quelimx!1E(x) =quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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