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Vibrations et Ondes (F312) : Cours et Exercices Corrigés Partie I
oscillations des systèmes mécaniques et électriques et qui a ... est infinie. Page 71. Chapitre V. Oscillations forcées à deux degrés de liberté. 68. Exercice N°2.
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Vibrations et Ondes (F312) : Cours et Exercices Corrigés Partie I
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3 – Cas de deux oscillateurs faiblement couplés battements : 4 – Exemples de deux pendules simples couplés. II – Oscillations mécaniques couplées forcées :.
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2 Chapter 1 Introduction Notion d’oscillateur Un syst eme physique poss ede des positions d’ equilibres stables lorsqu’il existe des forces au sein m^eme du syst eme qui tendent a le ramener vers les positions d’ equilibre
SERIE D’EXERCICES N° 16 : MECANIQUE : OSCILLATEURS
Exercice 8 : oscillations forcées d’une particule sur un cerceau mobile Une particule assimilée à un point matériel M de masse m se déplace sur la rainure intérieure d’un cerceau de centre O de rayon R et d’axe horizontal Oz avec une force de frottement visqueux r r f =?b mv où r
49 Chapitre 5 Les oscillations forcées - cpgeeu
50 Chapitre 5 Les oscillations forcées 5 2 Résolution La solution de l’équation (1) est la somme de la solution de l’équation sans second membre et de la solution particulière Compte tenu de la présence d’un amortissement la solution de l’équation sans second membre tend vers 0 au bout d’un temps su¢samment important
CORRIGE SERIE 11 : OSCILLATIONS MECANIQUES EXERCICE 1 PARTIE 1
CORRIGE SERIE 11 : OSCILLATIONS MECANIQUES EXERCICE 1 PARTIE 1 1°) « Evoluer de façon alternative et périodique » signifie osciller entre une valeur maximale et une valeur minimale en répétant le phénomène pendant une durée constante appelée période
Quelle est l'amplitude des oscillations forcées ?
oscillations mécaniques entretenues sont dites forcées. En régime sinusoïdal forcé l'amplitude Xm des oscillations d'un pendule. Exercice 4 : Portrait de phase des oscillations forcées On désigne par V (?) l'amplitude des oscillations de la vitesse en régime sinusoïdal permanent.
Qu'est-ce que le mouvement général de vibration des oscillateurs ?
0) que l’on appelle les frequences propres du systeme. On dit aussi que le mouvement general de vibration des oscillateurs est une superposition de modes normaux (ou propres). Les variables (y 1;y 2) qui decouplent le systeme sont appelees les coordonnees normales. 10 2.2.3 Interpretation physique des modes
Comment calculer la fréquence d'un oscillateur ?
Un oscillateur, de fréquence propre f o = 1 / T o, subit des oscillations forcées s'il oscille à une fréquence f imposée par un appareil extérieur appelée excitateur. Quand Est-ce qu'un oscillateur est harmonique ?
Quel dispositif impose la fréquence des oscillations ?
Quel dispositif impose la fréquence des oscillations ? Un oscillateur, de fréquence propre f o = 1 / T o, subit des oscillations forcées s'il oscille à une fréquence f imposée par un appareil extérieur appelée excitateur.
Oscillateurs couplés
I - Oscillations mécaniques couplées libres :1 - Etude d"un exemple :
2 - Modes propres :
3 - Cas de deux oscillateurs faiblement couplés, battements :
4 - Exemples de deux pendules simples couplés
II - Oscillations mécaniques couplées forcées :1 - Mise en équations de l"exemple :
2 - Résonances :
III - Oscillateurs électriques couplés :
1 - Couplage capacitif :
2 - Couplage par inductance mutuelle :
Physique des ondes, oscillateurs couplés
2 I - Oscillations mécaniques couplées libres :1 - Etude d"un exemple :
On considère deux points matériels de masse m1 et m2 reliés entre eux par un ressort de
constante de raideur k2 et à deux points fixes par des ressorts identiques de constantes k1.
x1Ces masses se déplacent sans frottements sur l"axe horizontal (Ox) et on repère leurs positions x
1 et x2 par rapport à leurs positions d"équilibre respectives (notées xa et xb).
Dans le cas de la figure, on a x
2 > x1 > 0.
Ainsi, la longueur du ressort de constante k
2 est, l"instant t quelconque :
2102xx+-=ll
et celles des deux autres ressorts identiques :20,110,1xetxdg-=+=llll
Le théorème du CI appliqué aux deux masses donne, en projection sur l"axe (Ox) (dans le
référentiel du laboratoire supposé galiléen) : On obtient alors un système d"équations différentielles couplées.Dans un 1
er temps, on suppose que les deux masses sont identiques : mmm==21. Alors :On pose
2121xxetxx-=+=δσ, solutions des équations différentielles :
δδσσ)2(211kkmetkm+-=-=&&&&
On définit deux pulsations caractéristiques : mkketmk212112+==ωω
Alors :
δωδσωσ2221-=-=&&&&et
Les solutions générales de ces deux équations différentielles sont de la forme :En revenant aux variables initiales :
Physique des ondes, oscillateurs couplés
3 t AtAxt AtAx Les quatre constantes d"intégration s"obtiennent à partir des CI.2 - Modes propres :
On suppose que les CI sont telles que A
2 = 0, alors :
Les deux masses effectuent des oscillations harmoniques de même pulsationω1 : ce régime
correspond à un 1 er mode propre du système couplé.Interprétation du 1
er mode propre : on constate que x1 = x2. Par conséquent, le ressort du milieu n"est ni tendu ni comprimé (puisque02102lll=+-=xx). Tout se passe comme si on avait deux
oscillateurs harmoniques indépendants identiques ramenés vers leur position d"équilibre par un
unique ressort de constante de raideur k 1. On suppose désormais que les CI sont telles que A1 = 0, alors :
Les deux masses effectuent des oscillations harmoniques de même pulsationω2 en étant en
opposition de phase : ce régime correspond à un 2ème mode propre du système couplé.
Interprétation du 2
nd mode propre : le milieu C du ressort central reste immobile lors du mouvement des deux masses. Tout se passe comme si on avait deux oscillateurs harmoniques indépendants identiques ramenés vers leur position d"équilibre par un ressort de raideur k1 associé
en parallèle à la moitié d"un ressort de raideur k2, c"est-à-dire d"un ressort de raideur 2k2.
L"ensemble de ces ressorts est équivalent à un seul de raideur k1 + 2k2, d"où la pulsation
mkk2122+=ω.
Plus généralement, on appelle " mode propre » d"un système d"oscillateurs couplés une solution
des équations du mouvement de telle sorte que tous les oscillateurs vibrent avec la même
pulsation, les différents oscillateurs étant indifféremment en phase ou en opposition de phase.
Les pulsations des modes propres sont appelées " pulsations propres ».Un système de N oscillateurs couplés possède N modes propres, donc N pulsations propres et la
solution générale est la superposition des modes propres. Méthode générale de recherche des modes propres : Les équations différentielles des deux oscillateurs couplés sont : Afin de déterminer les modes propres, on cherche des solutions harmoniques de la forme :Physique des ondes, oscillateurs couplés
4 tAxettAxωωcoscos2211==Alors, avec
121xxω-=&& et 222xxω-=&& :
Soit :
002212
12221221=))
x mk mkxmkx mkxmk mkCe système linéaire homogène ne possède de solutions non triviales que si son déterminant est
nul. Soit : 0 2 222 21
-+-mk mk mkω
D"où :
0221221=))
-+ωωmk mk mkFinalement :
221112ωωωω=+===mkketmk
On retrouve ainsi les deux pulsations propres. En reportant dans le système, on constate que x1 = x2 pour 11ωω==mk et x2 = - x1 pour 2212ωω=+=mkk.
3 - Cas de deux oscillateurs faiblement couplés, battements :
On suppose que k
2 << k1. Alors :
12 12/1 1 2 12121212
kk kk mkkωωω Les deux pulsations propres sont proches l"une de l"autre : 11 12
12ωωωω<<≈-kk
On choisit pour fixer les idées les CI suivantes :0)0()0(;0)0(;)0(:02121=====xxxaxtA&&
Alors :
Soit :
0;;0;2211====??aAaA
Et finalement :
Physique des ondes, oscillateurs couplés
5 ( )( )ttaxetttax212211coscos2coscos2ωωωω-=+=Avec :
Il vient :
Soit, avec
12112
12ωωωωω≈≈-etkk :
ttkkaxetttkkax11 12 21112
1sin)21sin(cos)21cos(ωωωω==
La figure suivante donne une illustration obtenue avec la simulation de JJ.Rousseau :Avec Regressi, en choisissant :
1;201;.10
12 1 1 ===-akksradωOn obtient un phénomène de battements :
Physique des ondes, oscillateurs couplés
6Les deux masses oscillent à la pulsation 1ω ; leurs amplitudes varient à la pulsation 1
1221ωkk
beaucoup plus faible (donc une période bien plus grande). De plus, lorsque l"amplitude de la 1ère
masse est maximale, celle de la 2 nde est nulle et réciproquement.4 - Exemples de deux pendules simples couplés
L"illustration suivante donne un exemple d"oscillateurs couplés en rotation :La mise en équation de ce système s"obtient en écrivant le théorème du moment cinétique à
chacun des pendules, en supposant que les élongations angulaires de chaque pendule restent faibles afin de confondre l"angle et son sinus : )()(2122222211112
Soit, en introduisant
l g=0ω :
)()(21 2220221
112
On obtient un système différentiel semblable à celui obtenu précédemment : et la résolution est ainsi en tout point identique. II - Oscillations mécaniques couplées forcées :
1 - Mise en équations de l"exemple :
On revient aux oscillateurs couplés de translation et on suppose qu"une force tFmωcos est appliquée sur la masse 1. Les nouvelles équations du mouvement sont : )(cos)(21221222121111xxkxkxmtFxxkxkxm m La solution de ce système est, une fois le régime transitoire disparu, une solution harmonique forcée de pulsationω. En se plaçant en notation complexe :
Physique des ondes, oscillateurs couplés
7 tjj mtjj meeXxeteeXxω?ω?212211==Il vient :
)()()()(212212222121112
1xxkxkxmeFxxkxkxm
tj mAprès calculs :
tjmtjmekmkkFkxekmkkFmkkxωωωωω2222212
22222212
211)(;)()(
On en déduit les amplitudes réelles des deux masses :22222212
211--+=--+-+=
2 - Résonances :
On trace les amplitudes maximales de x
1(t) et de x2(t) en fonction de la pulsation de l"excitateur, :
2 222212
22
222
212
211)(;)()(
kmkkFkXkmkkFmkkX mmmm (m = 1 ; Fm = 1 ; k1 = 9 ; k2 = 3.5 SI)On remarque qu"il y a résonances pour :
mkkoumksoitkmkkPhysique des ondes, oscillateurs couplés
8Ainsi, en l"absence de frottements, un système d"oscillateurs couplés entre en résonance lorsque la
pulsation de l"excitateur est égale à l"une des pulsations propres du système couplé. Ce résultat
généralise celui obtenue pour un simple oscillateur en 1ère année.
On note qu"entre deux résonances existe une pulsation mkkar21+=ω pour laquelle x1 est nulle et x2 minimale : on dit qu"il y a anti-résonance.
Bien évidemment, les frottements (faibles) adoucissent les résonances et les anti-résonances d"un
système d"oscillateurs couplés.III - Oscillateurs électriques couplés :
1 - Couplage capacitif :
On considère le circuit suivant où deux circuits (LC) sont couplés par le condensateur de capacité
C" : L L C C C" E v1 v2 v" i2 i1 i" Initialement, on suppose les condensateurs non chargés. On cherche les équations différentielles vérifiées par les tensions v1 et v2. Les intensités dans les
branches peuvent s"écrire : dtdvCidtdvCidtdvCi''';;2211===
La loi des noeuds donne :
dtdvCdtdvCdtdvCsoitiii2121'''-=+=
On intègre en tenant compte des CI :
)(''21vvCCv-= La loi des mailles permet d"autre part d"écrire :2211''vdtdiLvetvdtdiLvE+=++=
Soit :
22222121212
1)(')('vdtvdLCvvCCetvvCC
dtvdLCvE+=--++=Ou encore :
Physique des ondes, oscillateurs couplés
9 )('11)('11212222211212vvCvCdtvdLetEvvCvCdtvdL+---=++-+-=
Ce système est formellement identique à celui obtenu en mécanique : )(cos)(21221222121111xxkxkxmtFxxkxkxm mLes tensions sont les analogues des déplacements, l"inductance est l"analogue de la masse,
l"inverse de la capacité 1 / C est l"analogue de la raideur k1 et 1 / C" est l"analogue de la raideur du
ressort de couplage. Les pulsations des deux modes propres du circuit s"obtiennent par analogie : '2'121LCCCCetLC+==ωωEn régime sinusoïdal forcé, le circuit entre en résonance lorsque la pulsation du générateur BF
prend les valeursω1 ou ω2.
2 - Couplage par inductance mutuelle :
On considère désormais le circuit suivant :
L C C E i2 i1 L M v1 v2 Les tensions et les intensités sont reliées : dtdvCietdtdvCi2211==
La loi des mailles donne :
0122211=++++=dtdiMdtdiLvetdtdiMdtdiLvE
D"où :
02122 22
2 222
2 12
1=++++=dtvdMCdtvdLCvetdtvdMCdtvdLCvE
Recherche des modes propres :
On suppose que E = 0 (régime libre). On cherche des solutions harmoniques de même pulsationω. Alors :
D"où le système homogène :
Physique des ondes, oscillateurs couplés
10 Ce système possède une solution non triviale si son déterminant est nul :0)()1(2222=--ωωMCLC
Soit :
0)1)(1(2222=+---ωωωωMCLCMCLC
On en déduit les deux pulsations propres (avec M < L) :CMLetCML)(1
)(121-=+=ωω
Pour le 1
re mode propre, v1 = v2 : les deux tensions oscillent en phase.Pour le 2
nd mode propre, v1 = - v2 : les deux tensions oscillent en opposition de phase. Le régime libre correspond à une superposition linéaire de ces deux modes propres.L"étude du régime forcé harmonique conduit aux mêmes courbes qu"en mécanique (paragraphe
II-2).
Physique des ondes, oscillateurs couplés
11Exercices
Oscillateurs couplés
1) Modes propres d"un système de trois mobiles couplés : écrire le système d"équations du
mouvement d"un système de trois mobiles couplés identiques, tel que dessiné sur la figure : (les
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