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Universite Paris-Dauphine
DUMI2E
Annee 2015-2016
ALGEBRE LINEAIRE 1
Denis Pasquignon
Ce polycopie reprend en grande partie celui ecrit par Yannick Viossat pour l'annee univer- sitaire 2010-2011 sur ce m^eme cours. 2Table des matieres
1 Elements de logique
71.1 Les propositions
71.1.1 Equivalence logique
71.1.2 Negation
81.1.3 Sens de "et", "ou"
81.1.4 Implication
91.2 Les quanticateurs \pour tout" et \il existe"
101.2.1 Denitions
101.2.2 Enonces avec plusieurs quanticateurs
111.2.3 Negation
111.3 Quelques formes de raisonnement
121.3.1 Par contre-exemple
121.3.2 Par contraposee
121.3.3 Par l'absurde
121.3.4 Par recurrence
132 Calcul algebrique
152.1 Somme et produit
152.2 Formules a connaitre
183 Un peu de theorie des ensembles
193.1 Denitions
193.2 Union et intersection de deux ensembles
203.3 Dierence de deux parties, complementaire d'une partie
213.4 Produit cartesien
233.5 Union et intersection d'un nombre quelconque d'ensembles
243.6 Partitions d'un ensemble
253.6.1 Denition
253.6.2 Relations d'equivalence
254 Applications
274.1 Generalites
274.2 Antecedents, image directe, image reciproque
294.3 Applications injectives, surjectives, bijectives
314.4 Application reciproque d'une application bijective
324.5 Prolongements et restrictions
343
4TABLE DES MATIERES
5 Ensembles nis, ensembles denombrables
355.1 Ensembles nis
355.2 Ensembles denombrables
376 Les nombres complexes
416.1 Denitions elementaires
416.2 Conjugue d'un nombre complexe
446.3 Module d'un nombre complexe
456.4 Argument d'un nombre complexe
466.5 Racinesniemes d'un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6.6 Equation du second degre dansCI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
6.7 Geometrie dans le plan complexe
527 Les nombres entiers et les nombres rationnels
537.1 Le principe de recurrence
537.2 La division euclidienne
557.3 Le ppcm d'une famille d'entiers
567.4 Le pgcd d'une famille d'entiers
577.5 Nombres premiers entre eux
607.6 Nombres premiers
637.7 Decomposition d'un entier en facteurs premiers
648 Les polyn^omes
678.1 Denitions et vocabulaire
678.2 Division euclidienne
698.3 Le ppcm d'un famille de polyn^omes
708.4 Le pgcd d'une famille de polyn^omes
718.5 Polyn^omes premiers entre eux
748.6 Polyn^omes premiers
778.7 Decomposition d'un polyn^ome en facteurs premiers
778.8 Racine d'un polyn^ome
788.9 Derivee d'un polyn^ome et formule de Taylor
818.10 Multiplicite d'une racine
838.11 Applications aux fractions rationnelles
849 Matrices87
9.1 Denitions et terminologie
879.1.1 Denitions et notations
879.1.2 Matrices particulieres
879.2 Operations sur les matrices
899.2.1 Egalite de deux matrices
899.2.2 Somme de deux matrices deMn;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
9.2.3 Multiplication d'une matrice deMn;ppar un scalaire. . . . . . . . . . . 90
9.2.4 Produit de deux matrices
919.2.5 Transposee d'une matrice
959.3 Les matrices carrees
969.3.1 Quelques matrices carrees particulieres
969.3.2 Operations dansMn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
9.3.3 Puissances d'une matrice carree
979.3.4 Matrices inversibles
99TABLE DES MATI
ERES510 systemes lineaires
10110.1 Denitions et ecriture matricielle
10110.2 Systemes faciles a resoudre
10210.2.1 Systemes triangulaires
10210.2.2 Systemes echelonnes
10310.3 Operations elementaires sur les lignes
10410.3.1 Denition et propriete
10410.3.2 Disposition pratique des calculs
10510.4 Methode de Gauss
10610.4.1 Expose de la methode
10610.4.2 Reduite de Gauss d'une matrice A
10710.4.3 Exemples
10710.4.4 Choix des pivots
10910.4.5 Cas general : resolution du systeme
11110.4.6 Solutions d'un systeme lineaire quelconque
11210.5 Matrices et systemes lineaires
11310.5.1 Interpretation matricielle des operations elementaires
11310.5.2 Calcul de l'inverse d'une matrice par la methode du pivot
1156TABLE DES MATIERES
Notations
Dans toute le polycopie, nous utiliserons les notations suivantes : |INdesigne l'ensemble des entiers naturels,INl'ensemble des entiers naturels non nuls, |ZZdesigne l'ensemble des entiers relatifs,ZZl'ensemble des entiers relatifs non nuls, |Qdesigne l'ensemble des rationnels,Ql'ensemble des rationnels non nuls, |IRdesigne l'ensemble des reels,IRl'ensemble des reels non nuls, |CIdesigne l'ensemble des nombres complexes,CIl'ensemble des nombres complexes non nuls, |IR[X] designe l'ensemble des polyn^omes a coecients reels, |CI[X] designe l'ensemble des polyn^omes a coecients complexes. Si zest un nombre complexe,Re(z) designe sa partie reelle tandis queIm(z) designe sa partie imaginaire. Quelques lettres grecques frequemment utilisees en mathematiques :MinusculeMajuscule alphaA b^etaB gamma delta epsilonE zetaZ etaN theta kappaK lambda muM nuN xi pi rh^oR sigma tauT phi khiX psi omega!Chapitre 1
Elements de logique
Le lecteur pourra consulter egalement le chapitre "S'exprimer en mathematiques" dans le cours d'Algebre 1ere annee de D. Liret et F. Martinais, chez Dunod.1.1 Les propositions
Une proposition est unenonce mathematique complet qui est soit vrai soit faux. Par exemple, "2310" est une proposition fausse; "Dans tout triangle rectangle, le carre de l'hypothenuse
est egal a la somme des carres des deux autres cites" est une proposition vraie. Un axiome est une proposition dont on admet qu'elle est vraie. Un theoreme est une proposition dont on demontre qu'elle est vraie, a l'aide des axiomes, des theoremes deja demontres, et des regles de logique que nous allons etudier. A partir de propositions existantes et d'expression comme "non", "et", "ou", "implique",..., on peut former de nouvelles propositions. Dans la suite, les lettres P, Q, R designent des propositions.1.1.1 Equivalence logique
Denition 1.1.1Les propositions P et Q sont equivalentes si elles sont vraies simultanement et fausses simultanement et on note P,Q:On dit quePest vraie si et seulement siQest vraie.On dit que deux propositions equivalentes sont deux propositions ayant les m^emes valeurs
de verite. Pour prouver que P et Q sont equivalentes, on construit un tableau appele table de verite dans lequel on fait appara^tre les dierentes valeurs de verite possibles pour le couple (P, Q) (Vrai et Vrai, Vrai et Faux, ...) et, en correspondance, les valeurs de verite de la proposition P,Q. Ainsi, la table de verite de l'equivalence logiqueP,Qest :PQP,QVVV VFF FVF FFV 78CHAPITRE 1. ELEMENTS DE LOGIQUE
La premiere ligne de ce tableau signie que si les propositions P et Q sont vraies, la pro- position P,Q est vraie. La deuxieme ligne signie que si P est vraie et Q fausse alors la proposition P,Q est fausse.Exemple 1.1.2Pour tout reelx,
x24, jxj 2, 2x2:
1.1.2 Negation
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