[PDF] Feuille dexercices du cours dAnalyse 2 DUMI2E — Premi`ere année

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Universite Paris Dauphine

Feuille d'exercices du cours d'Analyse 2

DUMI2E | Premiere annee

La plupart des exercices de ce fascicule sont issus de recueil d'exercices disponibles sur internet, souvent avec les corrections. Le siteexo7.emathcouvre le programme du cours (et tres largement au-dela), propose des exercices avec corrections, des cours (polycopie et MOOCS), etc... Il est heberge par la SMAI et la SMF. Adresse du site : http://exo7.emath.fr/ Quelques exercices etant un peu plus delicats, des indications, ecrites en sens inverse, sont suggerees. Il est conseille au lecteur d'essayer dans un premier temps de resoudre ces exercices sans tenir compte des indications. 1

Universite Paris Dauphine

DUMI2E 1e annee

Analyse 2 | 2015-2016

Feuille 1 de TD

Fonctions trigonometriques et hyperboliques

Exercice 11. Calculer

(i) arcsin(sin(1));(ii) arcsin(sin(195 ));(iii) arctan(tan(165

2. Determiner le domaine de denition des fonctions suivantes et les calculer :

(iv)x!arctan(tan(x)):

3. En s'inspirant de la question ci-dessus, calculer cos(arctan(x)) et sin(arctan(x)) pourx

reel donne.

Exercice 2

1. Calculer arccos(x) + arcsin(x) pour toutx2[1;1].

2. En deduire la solution de l'equation arccos(x) + arcsin(x2x+ 1) ==2.

Exercice 3On posex= arctan(p2).

1. Montrer que 0< 2x < =2 et calculer tan(2x).

2. En deduire que arctan(2

p2) + 2arctan( p2) =.

Exercice 4Soitf(x) = argsh

2xp1 +x2

1. Determiner le domaine de denition defet montrer quefest de classeC1sur son domaine

de denition.

2. Calculerf0(x) et en deduire une expression simple def.

Exercice 51. Montrer que, pour toutx2R, 2arctan(p1 +x2x) + arctan(x) ==2:

2. Montrer que la fonctionh(x) = arctan(p1 +x2x) est une bijection deRdans ]0;+1[.

3. Soitx2Rtel queh(x) ==8. En utilisant la premiere question, calculerxet en deduire

la valeur de tan(=8).

4. Calculer de m^eme tan(=12).

Exercice 6Montrer que l'equation suivante possede une unique solution dans ]0;1=2[ et la calculer : arctan(2x) + arctan(x) =4 2

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DUMI2E 1e annee

Analyse 2 | 2015-2016

Feuille 2 de TD

Developpements limites

Exercice 1Donner le developpement limite enx0a l'ordrendes fonctions:

1.f1(x) = (ln(1 +x))2(n= 4 ,x0= 0)

2.f2(x) = ln(sin(x)) (n= 3 ,x0=4

3.f3(x) =esin(x)(n= 3 ,x0= 0)

4.f4(x) = cos(x):ln(1 +x) (n= 3 ,x0= 0)

5.f5(x) = (1 +x)11+x(n= 3 ,x0= 0)

6.f6(x) = ln(tan(x2

+2 )) (n= 2 ,x0=2

7.f5(x) =p1 +

p1 +x(n= 2 ,x0= 0)

Exercice 2 (Taylor-Young)

1. Soit:g(x) =exexe

x+ex Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 3 pourx0= 0. En deduire la position de la tangente au point d'abscissex= 0 par rapport au graphe de g, au voisinage de 0.

2. Soit:h(x) = ln2(1 +x).

Ecrire la formule de Taylor-Young a l'ordre 3 pourx0= 0.

3. On considere la fonctionfdenie sur ]1;0[[]0;+1[ par:f(x) =h(x)x2xg(x).

Deduire des questions precedentes quefadmet une limite lorsquextend vers 0.

Exercice 3Calculer les limites suivantes:

1. lim

x!0e x2cos(x)x 2.

2. lim

x!0ln(1 +x)sin(x)x

3. lim

x!0cosxp1x2x 4.

4. lim

x!0ln(cos(ax))ln(cos(bx))aveca6= 0 etb6= 0. 3

5. lim

x!ax aaxx xaa, aveca >0. Exercice 4[Rattrapage 2008] Calculer, si elles existent, les limites lim x!0f(x);limx!+1f(x) et limx!1f(x); ou la fonctionfest denie surRn f0gpar f(x) :=x3+ sin(2x)2sinxarctan(x3)(arctanx)3: Exercice 5Determiner les valeurs du parametre reelatelles que lim x!0e ax+ex2x 2 existe et est nie.

Exercice 6Calculer le DL d'ordre 5 de la fonction

log(1 + sinx) au voisinage du pointx= 0.

Exercice 7Soitgla fonctionx!arctanx(sinx)31x

2.

1. Donner le domaine de denition deg.

2. Montrer qu'elle se prolonge par continuite en 0 en une fonction derivable.

3. Determiner la tangente en 0 au graphe de cette fonction et la position de ce graphe par

rapport a celle-ci.

Exercice 8Pour tout entiern2N, on poseun=nX

k=1(1)k+11k En appliquant la formule de Taylor-Lagrange a la fonctionx!ln(1 +x), estimer la dierence junln(2)jet en deduire que (un)nest une suite qui converge vers ln2. Exercice 9Soitf(x) = 6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x. Ecrire le developpement limite defa l'ordre 3 au pointx0= 1 et determiner le ou les pointsqui realisent l'egalite dans la formule de Taylor-Lagrange quand on developpef(x) autour dex0= 1 et on prend apresx= 0 Exercice 10Soitf(x) = sin(x2)(sinx)2. Determiner si le pointx0= 0 est un point de minimum ou de maximum local def. Preciser egalement s'il s'agit d'un minimum ou maximum global. M^emes questions pour les fonctionsg(x) = arctan(x3)(arctanx)3eth(x) = (arctanx)2x2. Exercice 11 (Calcul d'asymptotes)Determiner si les fonctions suivantes admettent une asymptote en +1, en1. Si oui, la calculer et determiner la position de la courbe par rapport a l'asymptote. (i)f1(x) =x2lnx+ 1x (ii)f2(x) =x+ 11 +e1=x (iii)f3(x) =px

2+ 1px

21
4 Exercice 12 (Etude locale d'une courbe)Soitfla fonction denie surRpar f(x) =11 +ex:

1. Donner un developpement limite defa l'ordre 3 en zero.

2. En deduire que la courbe representative defadmet une tangente au point d'abscisse 0,

dont on precisera l'equation.

3. Prouver que la courbe traverse la tangente en 0. Un tel point est appele point d'in

exion. Exercice 13 (Position relative d'une courbe et de sa tangente)Soitfla fonction denie surRparf(x) = ln(x2+2x+2). Donner l'equation de la tangente a la courbe representative de fau point d'abscisse 0 et etudier la position relative de la courbe et de la tangente au voisinage de ce point.

Exercice 14 (Application des formules de Taylor)

1. Soitf:R!Rde classeC2telle quejf(x)j C0etjf00(x)j C2pour toutx2R(ouC0

etC2sont des constantes xees). (i) Soitx2R. En utilisant la formule de Taylor avec reste integral a l'ordre 1 entrex etx+ 2a(oua >0), montrer quejf0(x)j C0=a+aC2. (ii) En deduire quejf0(x)j 2pC

1C2pour toutx2R.

2. Soitf:R!Rde classeC2. Calculer

lim h!0f(x+h) +f(xh)2f(x)h 2

3.f:R!Rde classeC1telle quef(n)(0) = 0 pour toutn2N. On suppose qu'il existe une

constanteC >0 telle quejf(n)(x)j n!Cnpour toutx2R. Montrer alors quef(x) = 0 pour toutx2R(on pourra d'abord montrer quef(x) = 0 six2]1=C;1=C[). Exercice 15 (Recherche d'equivalent)Calculer desequivalents simples des suites suivantes : (i)8n2N;un= (nln(1 +1n ))n;(ii)8n2N;vn=pln(n+ 1)pln(n) (iii)8n2N;wn=n11+n21: 5

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Analyse 2 | 2015-2016

Feuille 3 de TD

Convexite

Exercice 1Determiner si les fonctions suivantes sont convexes ou concaves sur l'intervalle considere :

1.f1(x) =jxj3=2surR

2.f2(x) =jxj1=2surR

3.f3(x) =jxj1=2sur [0;+1[

4.f4(x) =exsurR

5.f5(x) =exsurR

6.f6(x) = log4xsur [0;+1[

7.f7(x) = sinxsur [0;3]

8.f8(x) = arctan(x) surR

Exercice 2La fonctionx7!xln(lnx) denie sur ]1;+1[ est-elle convexe sur ]1;+1[? Si ce n'est pas le cas, donner le plus grand intervalle sur lequel elle est convexe. Exercice 3Montrer que la fonctionfdeRdansRdenie par: f(x) = ex1x six6= 0

1 six= 0

est croissante et continue surR. Exercice 4Soientx1;:::;xndes reels strictement positifs. Le but de l'exercice est de montrer l'inegalite arithmetico-geometrique: (x1x2:::xn)1=nx1+:::+xnn

1. Soitf:]0;+1[!Rconcave. Montrer que

f(x1+:::+xnn )f(x1) +:::+f(xn)n

2. En deduire l'inegalite arithmetico-geometrique.

Exercice 5Soitf:R!Rconvexe telle quef(0) = 0 etf(1) = 1.

Montrer que:8x2[0;1],f(x)xet8x62[0;1],f(x)x.

6

Exercice 6Soitf:]0;+1[!Rconvexe.

Montrer que

f(x)x possede une limite nie ou innie lorsquextend vers +1.

Exercice 7Soitf:I!R.

Montrer que sifest convexe et concave surIalorsfest ane surI.

Exercice 8Soitf:R!Rconvexe.

Montrer que sifest majoree alors elle est constante.

On pourra raisonner par contraposee.

7

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Analyse 2 | 2015-2016

Feuille 4 de TD

Integration

Exercice 1 (Calcul direct)Determiner les primitives des fonctions sivantes : (a)x(x3+ 1); (b)1x3; (c) sin(2x6 ); (d)1cos 2(x+2 (e) sin2(x); (f) cos4(x); (g)1(2x+ 5)3; (h) tan2(x)

Exercice 2Sur l'intervalleI=]2

;2 [ on considereFla primitive decos(x)cos(x)+sin(x)telle que F(0) = 0 etGla primitive desin(x)cos(x)+sin(x)telle queG(0) = 0. CalculerF+GetFGet en deduireFetG.

Exercice 3 (Relation de Chasles)

1. Soientm;n2Zavecmn. CalculerZ

n m

E(x)dxouE(x) designe la partie entiere dex.

2. Calculer

Z 2

1(x+ 1)jxjdx.

Exercice 4 (Integration par parties)Calculer les primitives des fonctions suivantes a l'aide d'une ou plusieurs integrations par parties. (a) (x+1)ex; (b) ln(x); (c) (x2+x+1)e2x; (d)exsinx; (e)xarctanx; (f) ln2(x); (g)e2xcos2x; (h)pxln(x); (i) sin(ln(x))

Exercice 5Calculer les integrales suivantes :

(a)Z 1 0 t2etdt; (b)Z =2 0 (cost)ln(1 + cost)dt(c)Z 2

1ln(1 +t)t

2dt Exercice 6Calculer les integrales suivantes a l'aide d'une integration par parties : I=Z e 1 cos(logx)dx,J=Z e 1 sin(logx)dx. Exercice 7Determiner une primitive dexexpuis calculer les integrales suivantes : I=Z 0 xexsin2xdx,I=Z 0 xexcos2xdx. 8 Exercice 8 (Changement de variables)Calculer les primitives des fonctions suivantes en utilisant, si necessaire, un changement de variable : (a)dxx p1 +x(b)2px px

dx(c)sin(x)1cos(x)dx(d)1sin(x)dx:Indication pour le (d) :multiplier numerateur et denominateur de la fraction par sin(x)Exercice 9Soitf:R!Rune fonction continue periodique de periodeT. Montrer que

Z a+T a f(x)dx=Z T 0 f(x)dx8a2R:

Exercice 10SoitZ

0xsinxdx3 + sin

2x. Utiliser le changement de variablet=x, puis determiner

la valeur deI. Exercice 11 (Examen 2008)Calculer l'integrale suivante Z ln4 0pe x1dx et dire si sa valeur est superieure, inferieure, ou egale a 3=2.Indication:Poseru=pe x1.Exercice 12Calculer une primitive de la fonction

f(x) = (1 +x2)3=2:Indication:poserx= sinh(u).Exercice 13 (Fractions rationelles)Decomposer chacune des fractions suivantes enelements

simples et en calculer une primitive : (a)2x+ 3x

24(b)3x+ 7x

23x+ 2(c)x2+ 1x

21
(d)x21x

3+ 4x2+ 5x(e)x3+ 2x

2+ 3x+ 2(f)2x5x(x1)(x+ 3)

Exercice 14Determiner une primitive de1(x+1)(x2+1)puis utiliser un changement de variable adequat pour obtenir la valeur de l'integraleR=4

0dt1+tant.

Exercice 15On noteIn=R1

0(1t2)ndt.

1. Etablir un relation de recurrence entreInetIn1.

2. CalculerIn.

3. En deduire la valeur denX

k=0(1)k2k+ 1Ckn(le coecientCkn, qu'on ecrit aussin k, est donne par n!k!(nk)!et est celui qui appara^t dans le bin^ome de Newton et dans le triangle de Pascal). 9

Exercice 16On noteFnune primitive surRde1(1+x2)n.

1. En integrant par partiesFnFn1, trouver une relation de recurrence entreFnetFn1(pour

n2). Donner les expressions deF1,F2,F3.

2. On poseIn=Ru

01(1+x2)ndx. Ecrire la relation de recurrence entreInetIn1et donner la

valeur deIn. Exercice 17Soitf: [a;b]!Rune fonction continue sur [a;b] (aveca < b), telle quef(x)0 pour toutx2[a;b] etRb af(x)dx= 0. Montrer quef(x) = 0 pourx2[a;b]. Exercice 18Soitf: [a;b]!Rune fonction continue sur [a;b] (aveca < b), telle queZ b a f(x)dx=Z b a jf(x)jdx. Montrer quefgarde un signe constante sur [a;b].

Exercice 19Soitf: [0;1]!Rcontinue telle queR1

0f(x)dx=12

. Montrer qu'il existec2]0;1[ telle quef(c) =c. Exercice 20Soient 0< a < betf: [0;+1[!Rune fonction continue. Determiner la limite lim h!0+Z bh ahf(x)x dx. Exercice 21Soitf: [a;b]!R,a < b, une fonction continue non identiquement nulle. On suppose qu'il existe un entierntel que, pour tout entier naturelktel quekn, on aZb a xkf(x)dx= 0. On souhaite prouver que, dans l'intervalle [a;b], il existe au moinsn+ 1 points oufs'annule en changeant de signe.

1. Traiter le casn= 0.

2. Traiter le casn= 1.

3. Traiter le cas general.

Exercice 22 (Sommes de Riemann)Determiner les limites suivantes : (a) limn!+1n X k=1nk

2+n2(b) limn!+1n1X

k=01pn 2+kn Exercice 23Soitf: [0;1]!Rune application continue. Monter que lim n!+11n n X k=0(1)kfkn = 0:Indication:utiliser la continuite uniforme defExercice 24Montrer que 1 +xex1 +x+e2 x2pour toutx2[0;1]. En deduire que la suite (un) denie par : u n=n+nX k=1e1n+k a une limite et la calculer. 10

Exercice 25Montrer quexx22

ln(1 +x)xpour toutx2[0;1]. En deduire que la suite (un) denie par : u n=nY k=1 1 +kn 2 a une limite et la calculer.

Exercice 26

1. Montrer que, pour touti2, on a

Z i i1ln(x)dxln(i)Z i+1 i ln(x)dx et en deduire que, pour toutn2, Z n 1 ln(x)dxln(n!)Z n+1 2 ln(x)dx

2. En deduire que ln(n!) est equivalent anln(n) lorsquentend vers +1.

Exercice 27Soitf: [0;1]!Rstrictement croissante telle quef(0) = 0 etf(1) = 1. Prouver que lim n!+1Z 1 0 (f(x))ndx= 0: Exercice 28Soitf: [0;+1[!Rune fonction continue admettant une limite nieaen +1.

Montrer que

lim x!+11x Z x 0 f(x)dx=a :

Exercice 29 (Integrales de Wallis)SoitIn=Z

=2 0 (sin(x))ndxpourn0.

1. Montrer que la suite (In) est strictement decroissante.

2. Montrer que (In) converge vers 0.

Dans la suite, on va chercher a determiner un equivalent deInau voisinage de +1.

3. Etablir que, pour toutn2N, on a : (n+ 2)In+2= (n+ 1)In.

4. Montrer que

I

2p=(2p)!2

2p(p!)22

etI2p+1=22p(p!)2(2p+ 1)!

5. Montrer que (n+ 1)In+1In=2

6. Montrer que

n+1n+2In+1I n1.

7. En deduire nalement queInr

2n. 11

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Analyse 2 | 2015-2016

Feuille 5 de TD

Fonctions de 2 variables reelles

Exercice 1 (Representation graphique)Pour chacune des fonctionsfsuivantes, determiner le domaine de denition defet dessiner les ensembles de niveauf(x;y)2Dfavecf(x;y) =kg pour les valeurs dekdonnees. f(x;y) =x2+yx+y2; k= 0; k=1; f(x;y) =xyx+yxy ; k= 1; k= 2; f(x;y) =xy jxyj; k2R

Exercice 2Soientf;g;hles fonctions denies par

f(x;y) =8 :xypx

2+y2si (x;y)6= 0

0 sinon; g(x;y) =8

:x+ypx

2+y2si (x;y)6= 0

0 sinon

eth(x;y) =8 :sin(xy)y siy6= 0

0 sinon

Les fonctionsf,gethsont-elles continues en (0;0) ? Exercice 3Soitf:R2!Rdenie parf(x;y) = 5x26xy+ 2x+ 2y22y+ 1. Calculer les derivees partielles d'ordre 1 et 2 def. Exercice 4Soitf:R!Rune fonction de classeC2. On considere la fonctiong:R2!R denie par g(x;y) =fpx 2+y2

8(x;y)2R2:

Calculer les derivees partielles defa l'ordre 1 et 2 en dehors de (0;0). Exercice 5Determiner toutes les fonctions deR2dansRde classeC2telles que@2f@x@y = 0:

M^eme question pour

@f@x +@f@y = 0: 12quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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