[PDF] Limites et fonctions continues

croissante ou strictement décroissante) surU.Un exemple de fonction croissante (et même strictement croissante) :

La fonction racine carrée¨[0,+1[!R

¨R!R

¨[0,+1[!R

1.5. Parité et périodicitéDéfinition 5.

SoitIun intervalle deRsymétrique par rapport à0(c"est-à-dire de la forme]a,a[ou[a,a]ouR). Soit

fest paire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l"axe des ordonnées (figure de gauche).

fest impaire si et seulement si son graphe est symétrique par rapport à l"origine (figure de droite).xy

Exemple 3.

3Définition 6.Soitf:R!Rune fonction etTun nombre réel,T>0. La fonctionfest ditepériodiquede périodeTsi

8x2Rf(x+T) =f(x).xx+T~

Exemple 4.

U=]1,0[[]0,+1[?

Pour deux fonctions paires que peut-on dire sur la parité de la somme? du produit? et de la composée? Et pour

On notefxg=xE(x)la partie fractionnaire dex. Tracer le graphe de la fonctionx7! fxget montrer qu"elle

Soitf:R!Rla fonction définie parf(x) =x1+x2. Montrer quejfjest majorée par12, étudier les variations de

On considère la fonctiong:R!R,g(x) =sinf(x), oùfest définie à la question précédente. Déduire de

LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES6

2. Limites

2.1. Définitions

Limite en un point

Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalleIdeR. Soitx02Run point deIou une extrémité deI.Définition 7.

Soit`2R. On dit quefa pour limite`enx0si8 >09 >08x2Ijxx0j< =) jf(x)`j< On dit aussi quef(x)tend vers`lorsquextend versx0. On note alors limx!x0f(x) =`ou bien limx0f=`.xy

Remarque.

L"inégalitéjxx0j< équivaut àx2]x0,x0+[. L"inégalitéjf(x)`j< équivaut àf(x)2]`,`+[.

•On peut remplacer certaines inégalités strictes "<» par des inégalités larges "6» dans la définition :8 >

09 >08x2Ijxx0j6=) jf(x)`j6

Dans la définition de la limite

8 >09 >08x2Ijxx0j< =) jf(x)`j<

le quantificateur8x2In"est là que pour être sûr que l"on puisse parler def(x). Il est souvent omis et l"existence

8 >09 >0jxx0j< =) jf(x)`j< .

N"oubliez pas que l"ordre des quantificateurs est important, on ne peut pas échanger le8avec le9: ledépend

Exemple 5.

0pour toutx0>0,

LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES7xy

01E(x)x

02ZSoitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 8.

On dit quefa pour limite+1enx0si

8A>09 >08x2Ijxx0j< =)f(x)>A

On note alors lim

On dit quefa pour limite1enx0si

8A>09 >08x2Ijxx0j< =)f(x)

On note alors lim

x!x0f(x) =1.xy A x 0x 0+x

0Limite en l"infini

Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalle de la formeI=]a,+1[.Définition 9.

Soit`2R. On dit quefa pour limite`en+1si

8 >09B>08x2I x>B=) jf(x)`j<

On note alors lim

x!+1f(x) =`ou lim+1f=`.

On dit quefa pour limite+1en+1si

8A>09B>08x2I x>B=)f(x)>A

On note alors lim

x!+1f(x) = +1.On définirait de la même manière la limite en1pour des fonctions définies sur les intervalles du type]1,a[.

LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES8xy

Exemple 6.

On a les limites classiques suivantes pour toutn>1 : limx!+1xn= +1et limx!1xn=¨+1sinest pair

1sinest impair

1x n‹ 1x n‹ =0.

Exemple 7.

SoitP(x) =anxn+an1xn1++a1x+a0avecan>0 etQ(x) =bmxm+bm1xm1++b1x+b0avecbm>0. lim x!+1P(x)Q(x)=8 :+1sin>m a nb msin=m

0 sin

Limite à gauche et à droite

Soitfune fonction définie sur un ensemble de la forme]a,x0[[]x0,b[.Définition 10. On appellelimite à droiteenx0defla limite de la fonctionf]x0,b[enx0et on la note lim x+ 0f.

On définit de même lalimite à gaucheenx0def: la limite de la fonctionf]a,x0[enx0et on la note lim

x 0f.

On note aussi limx!x0x>x0f(x)pour la limite à droite et limx!x0x

8 >09 >0x0

Si la fonctionfa une limite enx0, alors ses limites à gauche et à droite enx0coïncident et valent limx0f.Réciproquement, sifa une limite à gauche et une limite à droite enx0et si ces limites valentf(x0)(sifest bien

définie enx0) alorsfadmet une limite enx0.

Exemple 8.

Considérons la fonction partie entière au pointx=2 : comme pour toutx2]2,3[on aE(x) =2, on a lim2+E=2 , comme pour toutx2[1,2[on aE(x) =1, on a lim2E=1. Ces deux limites étant différentes, on en déduit queEn"a pas de limite en 2.

LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES2. LIMITES9xy

0E(x)2limite à gauche lim

2Elimite à droite lim

2+E2.2. Propriétés

Proposition 1.

Si une fonction admet une limite, alors cette limite est unique.On ne donne pas la démonstration de cette proposition, qui est très similaire à celle de l"unicité de la limite pour les

suites (un raisonnement par l"absurde). Soient deux fonctionsfetg. On suppose quex0est un réel, ou quex0=1.Proposition 2.

Silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors :

limx0(f) =`pour tout2R limx0(f+g) =`+`0 limx0(fg) =``0 si`6=0, alorslimx01f =1`

De plus, silimx0f= +1(ou1) alorslimx01f

=0.

Cette proposition se montre de manière similaire à la proposition analogue sur les limites de suites. Nous n"allons

donc pas donner la démonstration de tous les résultats. Démonstration.Montrons par exemple que siftend enx0vers une limite`non nulle, alors1f est bien définie dans un voisinage dex0et tend vers1`

Supposons` >0, le cas` <0se montrerait de la même manière. Montrons tout d"abord que1fest bien définie et est

bornée dans un voisinage dex0contenu dans l"intervalleI. Par hypothèse

80>09 >08x2I x0

Si on choisit0tel que0< 0< `=2, alors on voit qu"il existe un intervalleJ=I\]x0,x0+[tel que pour toutx

dansJ,f(x)> `=2>0, c"est-à-dire, en posantM=2=`:

8x2J0<1f(x) Fixons à présent >0. Pour toutx2J, on a1f(x)1` =j`f(x)jf(x)`Donc, si dans la définition précédente de la limite defenx0on choisit0=`M, alors on trouve qu"il existe un >0

tel que

8x2J x0 Silimx0f=`etlim`g=`0, alorslimx0gf=`0.Ce sont des propriétés que l"on utilise sans s"en apercevoir!

Exemple 9.Soitx7!u(x)une fonction etx02Rtel queu(x)!2lorsquex!x0. Posonsf(x) =

Ç1+1u(x)2+lnu(x)

. Si elle existe, quelle est la limite defenx0? Tout d"abord commeu(x)!2 alorsu(x)2!4 donc1u(x)2!14 (lorsquex!x0).

De même commeu(x)!2alors, dans un voisinage dex0,u(x)>0donclnu(x)est bien définie dans ce voisinage

et de plus lnu(x)!ln2 (lorsquex!x0). Cela entraîne que1+1u(x)2+lnu(x)!1+14+ln2lorsquex!x0. En particulier1+1u(x)2+lnu(x)>0dans un voisinage dex0, doncf(x)est bien définie dans un voisinage dex0. Et par composition avec la racine carrée alorsf(x)a bien une limite enx0et limx!x0f(x) =q1+14 +ln2.

Il y a des situations où l"on ne peut rien dire sur les limites. Par exemple silimx0f= +1etlimx0g=1alors on

ne peut à priori rien dire sur la limite def+g(cela dépend vraiment defet deg). On raccourci cela en+11

est uneforme indéterminée. Voici une liste de formes indéterminées :+11; 01;11 ;00 ; 11;10.

Enfin voici une proposition très importante qui signifie qu"on peut passer à la limite dans une inégalitélarge.Proposition 4.

Si f6g et silimx0f=`2Retlimx0g=`02R, alors`6`0.

Si f6g et silimx0f= +1, alorslimx0g= +1.

Théorème des gendarmesSi f6g6h et silimx0f=limx0h=`2R, alors g a une limite en x0etlimx0g=`.x 0fh glim x0f=limx0g=limx0hMini-exercices. 1.

Déterminer ,si elle existe, la limite de

2x2x23x2+2x+2en 0. Et en+1?

2. Déterminer ,si elle existe, la limite de sin 1x en+1. Et pourcosxpx 3. En utilisant la définition de la limite (avec des ), montrer que limx!2(3x+1) =7. 4. Montrer que si fadmet une limite finie enx0alors il existe >0 tel quefsoit bornée sur]x0,x0+[. 5.

Déterminer ,si elle existe, lim

x!0p1+xp1+x2x . Et limx!2x24x

23x+2?

LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES3. CONTINUITÉ EN UN POINT11

3. Continuité en un point

3.1. Définition

SoitIun intervalle deRetf:I!Rune fonction.Définition 11.

On dit quefestcontinue en un pointx02Isi8 >09 >08x2Ijxx0j< =) jf(x)f(x0)j< c"est-à-dire sifadmet une limite enx0(cette limite vaut alors nécessairementf(x0)).

On dit quefestcontinue surIsifest continue en tout point deI.xy x

0f(x0)

Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle, si on peut tracer son graphe " sans lever le crayon »,

c"est-à-dire si sa courbe représentative n"admet pas de saut. Voici des fonctions qui ne sont pas continues enx0:xy x 0xy x 0xy x

0Exemple 10.

Les fonctions suivantes sont continues :

une fonction constante sur un intervalle, la fonction racine carréex7!pxsur[0,+1[, les fonctions sin et cos surR, la fonction valeur absoluex7! jxjsurR, la fonction exp surR, la fonction ln sur]0,+1[.

Par contre, la fonction partie entièreEn"est pas continue aux pointsx02Z, puisqu"elle n"admet pas de limite en ces

points. Pourx02RnZ, elle est continue enx0.

3.2. Propriétés

La continuité assure par exemple que si la fonction n"est pas nulle en un point (qui est une propriété ponctuelle) alors

elle n"est pas nulle autour de ce point (propriété locale). Voici l"énoncé :

LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES3. CONTINUITÉ EN UN POINT12Lemme 1.Soitf:I!Rune fonction définie sur un intervalleIetx0un point deI. Sifest continue enx0et sif(x0)6=0,

alors il existe >0tel que

8x2]x0,x0+[f(x)6=0x

0f(x0)x

0x

0+Démonstration.

Supposons par exemple quef(x0)>0, le casf(x0)<0se montrerait de la même manière. Écrivons ainsi la définition de la continuité defenx0:

8 >09 >08x2I x2]x0,x0+[ =)f(x0)

Il suffit donc de choisirtel que0< toutxdansJ, on af(x)>0.

La continuité se comporte bien avec les opérations élémentaires. Les propositions suivantes sont des conséquences

immédiates des propositions analogues sur les limites.Proposition 5. Soient f,g:I!Rdeux fonctions continues en un point x02I. Alors f est continue en x0(pour tout2R), f+g est continue en x0, fg est continue en x0, si f(x0)6=0, alors1f est continue en x0.Exemple 11.

La proposition précédente permet de vérifier que d"autres fonctions usuelles sont continues :

les fonctions puissancex7!xnsurR(comme produitxx), les polynômes surR(somme et produit de fonctions puissance et de fonctions constantes), les fractions rationnellesx7!P(x)Q(x)sur tout intervalle où le polynômeQ(x)ne s"annule pas.

La composition conserve la continuité (mais il faut faire attention en quels points les hypothèses s"appliquent).Proposition 6.

Soientf:I!Retg:J!Rdeux fonctions telles quef(I)J. Sifest continue en un pointx02Iet sigest continue en f(x0), alors gf est continue en x0.3.3. Prolongement par continuité

Définition 12.

SoitIun intervalle,x0un point deIetf:Infx0g !Rune fonction.

On dit quefestprolongeable par continuitéenx0sifadmet une limite finie enx0. Notons alors`=limx0f.

•On définit alors la fonction˜f:I!Ren posant pour toutx2I f(x) =¨f(x)six6=x0 `six=x0. Alors ˜fest continue enx0et on l"appelle leprolongement par continuitédefenx0. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES3. CONTINUITÉ EN UN POINT13xy x 0` Dans la pratique, on continuera souvent à noterfà la place de˜f. Exemple 12.Considérons la fonctionfdéfinie surRparf(x) =xsin1x . Voyons sifadmet un prolongement par continuité en 0? Comme pour toutx2Ron ajf(x)j6jxj, on en déduit queftend vers0en0. Elle est donc prolongeable par continuité en 0 et son prolongement est la fonction˜fdéfinie surRtout entier par : f(x) =¨xsin1x six6=0

0 six=0.

3.4. Suites et continuitéProposition 7.

Soit f:I!Rune fonction et x0un point de I. Alors :f est continue en x

0()pour toute suite(un)qui converge vers x0

la suite(f(un))converge vers f(x0)Démonstration.

On suppose quefest continue enx0et que(un)est une suite qui converge versx0et on veut montrer que(f(un))

converge vers f(x0). Soit >0. Commefest continue enx0, il existe un >0 tel que

8x2Ijxx0j< =) jf(x)f(x0)j< .

Pour ce, comme(un)converge versx0, il existeN2Ntel que

8n2Nn>N=) junx0j< .

On en déduit que, pour toutn>N, commejunx0j< , on ajf(un)f(x0)j< . Comme c"est vrai pour tout >0, on peut maintenant conclure que(f(un))converge versf(x0).

On va montrer la contraposée : supposons quefn"est pas continue enx0et montrons qu"alors il existe une suite

(un)qui converge vers x0et telle que(f(un))ne converge pas vers f(x0).

Par hypothèse, commefn"est pas continue enx0:

90>08 >09x2Itel quejxx0j< etjf(x)f(x0)j> 0.

On construit la suite(un)de la façon suivante : pour toutn2N, on choisit dans l"assertion précédente=1=net

on obtient qu"il existeun(qui estx1=n) tel que junx0j<1n etjf(un)f(x0)j> 0. La suite(un)converge versx0alors que la suite(f(un))ne peut pas converger versf(x0).Remarque.

On retiendra surtout l"implication : sifest continue surIet si(un)est une suite convergente de limite`, alors(f(un))

converge versf(`). On l"utilisera intensivement pour l"étude des suites récurrentesun+1=f(un): sifest continue et

un!`, alorsf(`) =`. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES4. CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE14Mini-exercices.

1.Déterminer le domaine de définition et de continuité des fonctions suivantes :f(x) =1=sinx,g(x) =1=qx+12,

h(x) =ln(x2+x1). 2. Trouver les couples(a,b)2R2tels que la fonctionfdéfinie surRparf(x) =ax+bsix<0etf(x) =exp(x) six>0 soit continue surR. Et si on avaitf(x) =ax1+bpourx<0? 3. Soitfune fonction continue telle quef(x0) =1. Montrer qu"il existe >0tel que : pour toutx2]x0,x0+ [f(x)>12 4. Étudierla continuité def:R!Rdéfinie par :f(x) =sin(x)cos1x six6=0etf(0) =0. Etpourg(x) =xE(x)? 5. La fonction définie par f(x) =x3+8jx+2jadmet-elle un prolongement par continuité en2? 6.

Soit la suite définie paru0>0etun+1=pu

n. Montrer que(un)admet une limite`2Rlorsquen!+1. À l"aide de la fonctionf(x) =pxcalculer cette limite.4. Continuité sur un intervalle

4.1. Le théorème des valeurs intermédiairesThéorème 1(Théorème des valeurs intermédiaires).

Soit f:[a,b]!Rune fonction continue sur un segment.Pour tout réel y compris entre f(a)et f(b), il existe c2[a,b]tel que f(c) =y.

Une illustration du théorème des valeurs intermédiaires (figure de gauche), le réelcn"est pas nécessairement unique.

De plus si la fonction n"est pas continue, le théorème n"est plus vrai (figure de droite).xy af(a)bf(b)y c 1c 2c 3xy af(a)bf(b)y

Démonstration.

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