[PDF] Chapter 3 Les espaces L 2 mai 2011 Fait 3.

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CHAPTER 3. LES ESPACES

Chapter 3

Les espaces

Les résultats sont formulés pour un espace mesuré(Ω)quelconque, mais nous sommes principalement intéressés par le cas oùΩest une partie borélienne de (munie de la tribu des boréliens) et la mesure est la mesure deLebesgue, ou, dans le cas oùΩest discret, avec la mesure discrète. Pour éviter des cas exceptionnels, nous étendons quelques opérations arithmétiques habituelles de[0[à[0]de la façon naturelle. Donc+=pour tout [0],=pour0 , et ainsi de suite.

Définition 3.1.1.On pose, pour1

(Ω) =: Ωmesurable t.q. 1

On pose également

(Ω) =: Ωmesurable t.q. = inf0:() -presque partout Il est facile à vérifier que pour toutetmesurable :=, où nous convenons que0 = 0. En particulier :

Lemme 3.1.2.Les espaces(Ω)sont des-e.v.

-sourcefile-17Rev: -revision-, May 2, 2011

18CHAPTER 3. LES ESPACES

Même siΩest un espace topologique compact,(Ω)est différent de(Ω) car les fonctions du premier ne sont pas forcément continues. La définition a un sens même pour 0, mais ce qui suit seulement si1. On va donc toujours supposer 1.

Si[1]on pose[1]t.q.1

+1= 1: si= 1alors=, si=alors = 1, et sinon :=1

11=1. On dit quesont desexposants conjugués. Quelques

identités pratiques pour les exposants conjugués quand 1: += ?1 = Lemme 3.1.3(Inégalité de Young).Soient0et1 deux exposants conjugués. Alors Proof.Si= 0ou= 0c"est facile, donc on peut supposer que 0. Méthode I (rapide) :la fonctionexpest convexe, ce qui veut dire que pour tous et pour tout[01]nous avonsexp(+ (1?))exp() + (1?)exp(). En particulier : = exp(ln()) = exp?ln +ln?

1exp(ln) +1exp(ln)

Méthode II (plus élémentaire) :Nous observons que?1 = . Posons() = +?. Alors() =1?= ?et() =

1. L"unique point critique de

pour0 est0= . Un calcul montre que(0) =+? +=?= 0 et(0)0, donc(0) = 0est le minimum depour0 . On en déduit que +pour tous, et qu"on a égalité si et seulement si= , ou encore, si et seulement si=.?3.1.3 1

Proof.Si= 1et=nous avons

1=? =1

3.1. DÉFINITION, INÉGALITÉS DE HÖLDER ET DE MINKOWSKI19

Le cas=,= 1est similaire. Autrement, nous avons1 et nous pouvons appliquer l"inégalité de Young. On suppose d"abord que== 1: 1=? 1 +1? =1+1 1 +1= 1 =

Traitons maintenant le cas général. Si= 0c"est que= 0presque partout, d"où?= 0et on peut conclure. Même argument si= 0, donc on peut supposer

que0. Dans ce cas, si=ou=alors=, et c"est bon aussi. Reste le cas0. Alors??? == 1,?????? = 1et :

1=????

1 1 = 3.1.4

Corollaire 3.1.5.Si (Ω), (Ω)alors 1(Ω).

= 1.

Alors pourmesurable?????

=1 1? =1 Proof.La démonstration se fait par récurrence sur. Pour= 1c"est que1= 1, et + 1. Nécessairement il existetel que1, sinon? =1+ 11 =+ 11. On peut supposer donc que+11. Nous posons =11 1

1?1+1?

1 ce qui donne 1 1 +1+1= 1et? =11=? =11=1= 1

20CHAPTER 3. LES ESPACES

Par hypothèse de récurrence :

=1????? 1? =1?? Nous observons maintenant que pour toute fonctionet tout[1[: d"où =1 =1??ou encore????? =1 =1?? ?=1,+1et à1 +1+1= 1pour obtenir : ?+1? =1

1=??????

=1 +1????? 1 =1 +1+1 =1?? +1+1=+1? =1?? et la preuve est complète.?3.1.6

Corollaire 3.1.7(Inégalité de Schwarz).

22
Lemme 3.1.8(Inégalité de Minkowski).Pourmesurables + +(3.1) Proof.Les cas= 1ou=sont faciles. On peux donc supposer que1 . Soit

1 l"exposant conjugué de. Si=ou=alors+=.

Également, si+= 0, il n"y a rien à démontrer. On peut supposer donc que

3.1. DÉFINITION, INÉGALITÉS DE HÖLDER ET DE MINKOWSKI21

0+et. Démontrons d"abord que0+. En effet,

pour tous0nous avons(+)(2)+ (2), si bien que ??(2)+ (2)?= 2+ 2 Multipliant (3.1) par+1, il suffirait donc de démontrer que +(+)+1 (+)+1 ?+1??1+??+1??1 ??+1??+??+1?? = (??+)??+1??

Pour conclure, nous nous rappelons que?1 =

, d"où : +1=+ 1 1 ??=??+1???3.1.8 Théorème 3.1.9.Soit[1].(Ω)est un espace vectoriel etune seminorme sur(Ω). Le quotient (est le sous-espace des fonctions qui s"annulent sur le complément d"un ensemble de mesure nulle) est un espace normé pour la norme . (Ω)est appelé l"espace des fonctionssurΩ, bien que ses éléments soient des classes d"équivalence des fonctions. On a l"habitude dedire qu"un élément de (Ω)est une fonction, bien que strictement il s"agisse d"une classe de fonctions. En particulier, dire pour(Ω)que()pour une partien"a pas de sens pour une mesure qui donne mesure0aux points. Par contre,() -p.t.Ωa un sens (-p.t.Ωveut dire : pour toutΩà l"exception d"un ensemble de mesure0). Nous concluons avec un résultat qui est, en quelque sorte, laréciproque de

22CHAPTER 3. LES ESPACES

Lemme 3.1.10.SoitΩRun ouvert et soit: ΩCmesurable. Supposons en outre qu"il existe une constanteRtelle que? oùdésigne la mesure de Lebesgue. Alors(Ω)(oùetsont conjugués) et Proof.Quitte à remplacerparnous pouvons supposer queest positive. Con- sidérons d"abord les cas spéciaux où= 1ou=. Si= 1et=, le résultat est immédiat en prenant= 1(la fonction constante). Si=et = 1, nous raisonnons par l"absurde. Supposons, en effet, que , et po- sons=Ω:()+

2. Alors()0, et il existe un sous-ensemble

mesurable tel que0 (). Prenons=1. Nous obtenons 2()? 1=() une contradiction. Nous pouvons donc supposer que1 . PourN, posons() =1[]min(()). Alors chaqueest positive mesurable,, etquelque soit[1]. Se rappelant que?1 = nous obtenons : 1 1 =1 Si= 0il n"y rien à démontrer, nous supposons donc que= 0. Donc, pour tout assez grand nous avons= 0. Nous pouvons donc diviser par1, d"où . Comme, nous obtenons.?3.1.10

3.2 Complétude des espaces

Théorème 3.2.1(Fischer Riesz - complétude de).(Ω)est un espace normé complet pour la norme. De plus si()est une suite de(Ω)qui converge vers pour la norme, alors il existe une suite extraite()qui converge-presque partout vers, c.-à.-d.-p.t.Ω:lim() =(). Proof.Soitune suite de Cauchy dans(Ω). Nous pouvons toujours passer à une sous-suitetelle que?+121. Posons : =0+1? =? =0+1?

3.3. DENSITÉ DES FONCTIONS CONTINUES À SUPPORT COMPACT23

Alors1pour tout,est une suite croissante de fonctions positives qui tend vers, d"où par convergence monotone :1. En particulier on a() p.p. Cela veux dire que la série suivante converge absolument pour presque tout, et l"on peut définir : () =0() +? =0(+1?)() Là où la série ne converge pas absolument (ensemble de mesurenulle) nous pouvons poser() = 0. Doncp.p. En particulier,est mesurable en tant que limite p.p. de fonctions mesurables. Il reste à montrer que(Ω)et que= lim= limen. En effet,

0+d"où??0+?? 0+. Nous pouvons aussi

poser : =+1? =? =+1? Alors2, d"où par convergence monotone2. Or,? , d"où ? 20 Nous avons démontré queen. Commeest une suite de Cauchy en , elle doit converger à la même limite.?3.2.1 Corollaire 3.2.2.Si()est une suite de(Ω)qui converge vers(Ω)pour la normeet-p.t.Ω:lim() =()pour une fonction, alors-p.t.Ω: Corollaire 3.2.3.Soit()une suite de(Ω)t.q. la série?=0converge nor- malement dans la norme , c.-à.-d.?=0. Alors la série converge dans (Ω), c.-à.-d. il existe(Ω)t.q.lim??=0= 0.

3.3 Densité des fonctions continues à support compact

Ici nous supposons queΩRest un ouvert, que l"on munit de la topologie usuelle, ainsi que de la tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue induites deR. Définition 3.3.1.Une fonction: ΩCestà support compacts"il existe un compact Ωtel quevaut zéro surΩ. Nous définissons l"ensemble des fonctions continues à support compact surΩ: (Ω) =: ΩC:est continue et à support compact

24CHAPTER 3. LES ESPACES

Nous appelons lesupportdedansΩl"ensemble

supp

Ω:()= 0 Ω

où l"adhérence est relative à la topologie deΩ. Alorsest à support compact précisé-

ment quandsuppΩ()est compact (pourquoi ?) Lemme 3.3.2.L"espace(Ω)est unC-espace vectoriel. Proof.Soient(Ω)etC. Alors+etsont des fonctions continues. Pour voir qu"elles sont à support compact nous vérifions aisément que : supp supp

Ω()= 0

= 0 supp

Ω(+)suppΩ()suppΩ()

Pour+nous utilisons aussi le fait que la réunion de deux compacts est un compact. 3.3.2

Lemme 3.3.3.Pour toutΩRouvert et tout[1],

(i)Toute fonction continue à support compact appartient à(Ω), et pour=nous avons= supΩ(). (ii)Si deux fonctions(Ω)sont égales p.p. alors elles sont égales. En conséquence, nous pouvons identifier l"espace(Ω)avec un sous espace vectoriel de Proof.Soit(Ω). Il existe donc un compactΩtel queest nulle hors de. Commeest continue etcompact,est bornée sur, et nous pouvons poser = sup ()= sup Il est clair queest une borne presque partout pour, d"où. Soitune autre borne presque partout pour, donc() = 0où=Ω:() . Commeest continue,est ouvert deΩet donc deR. Or, un ouvert non vide deR a mesure de Lebesgue non nulle, d"où=. En d"autres mots ()pour tout , ou encore,. On a démontré queest la plus petit borne presque partout pour, c.à.d.: == sup

3.3. DENSITÉ DES FONCTIONS CONTINUES À SUPPORT COMPACT25

En particulier,(Ω).

Pour1 , on rappelle également que commeest compact, il est borné, donc()est fini et 1 1?()? 1 =()1 d"où(Ω). On a donc démontré la première affirmation. Pour la deuxième, il suffit de montrer que si() = 0presque partout alors= 0. En effet, l"ensemble=Ω:()= 0est un ouvert deΩet donc deR. Comme avant, si() = 0c"est que=, i.e.,= 0.?3.3.3 Avant de démontrer le théorème de Lusin on a besoin de4résultats, dont3rappels. Fait 3.3.4(Régularité de la mesure de Lebesgue - cours d"intégration).SoitR mesurable de mesure finie alors pour tout 0il existe un compactRet un ouvert

Rtels que

et()() SiΩoùΩRest un ouvert alors on peut remplacerparΩ, et obtenir en plusΩ. Fait 3.3.5(Le lemme d"Urysohn - cours de topologie).SoitRouvert et compact. Alors il existe une fonction continue:R[01]qui vaut1suret0en dehors de. Fait 3.3.6(Topologie - tout compact admet un voisinage compact).SoitR, oùest compact etouvert. Alors il existe un ouverttel que¯, et¯ est compact. Lemme 3.3.7.Soit: Ω[01]mesurable. Alors il existe une suite d"ensembles mesur- ablestels que=?=121.

Proof.Nous définissons pour chaque1:

0() = 0 () =1?

=12 1() =?:()1() + 2? Autrement dit,() =1() + 21(). Nous prétendons que()() () + 2pour toutet. En effet, pour= 0c"est vrai car0()1. Si on

26CHAPTER 3. LES ESPACES

suppose pour?1, alors1()()1()+2+1=1()+22. Dans le cas où1()() 1()+2(donc et() =1()) comme dans le cas où1()+2()1()+2+2(iciet() =1()+2) nous avons()() () + 2.

Par conséquent= lim=?=121.?3.3.7

Théorème 3.3.8(Lusin).Soient: ΩCune fonction mesurable telle que:()=

0. Alors pour tout 0il existe (ΩC)tel que

En outre nous pouvons choisirtel que .

Proof.Posons=:()= 0. Nous considérons d"abord un cas très particulier, et pas la suite nous enlèverons les hypothèses une par une. Premier cas :: Ω[01]etest compact.D"après Fait 3.3.6 il existe un ouvert tel que¯Ωet¯est compact. D"après le Lemme,s"exprime de la forme=?=121, où les boréliens

Ωsont mesurables. Sialors()0, doncpour tout.

Puisque(), nous avons aussi(). D"après la régularité de la mesure, pour chaqueil existe un ouvertet un compacttels queet ()2. Posons=. Alorsest ouvert, et puisqu"on a vu que , c"est que. En outre,()()2. D"après le Lemme d"Urysohn, pour chaqueil existe une fonction continue: Ω [01]qui vaut1suret0hors. Nous posons=?=12, et prétendons que c"est la fonction recherchée. Continue :puisque?=12uniformément, et une limite uniforme de fonctions continues est continue. À support compact :Si()= 0c"est que()= 0pour au moins un, donc

¯. Or,¯est compact.

Mesure de l"erreur :ConsidéronsΩet1. Si, c"est que et() = 1 =1(). Et si , c"est que et() = 0 =1(). En d"autres mots, si()=1()c"est que. Maintenant, rappelons-nous que=?=12et=?=121. Donc, si()=(), c"est que()=1() (et donc) pour au moins un. Alors =1() d"où =1()? =12

3.3. DENSITÉ DES FONCTIONS CONTINUES À SUPPORT COMPACT27

Ceci conclut le premier cas.

Second cas :: Ω[01].(Maisn"est pas nécessairement compact.) Puisque (), d"après la régularité de la mesure, nous trouvonsoùest ouvert,compact et() 2. Posons=1. Alors: Ω[01], et :()= 0=, et c"est un compact. Doncvérifie les hypothèses du premier cas, et il existe (ΩC)tel que:()=() 2. Nous observons que si ()=()alors()= 0. Comme1() = 0,. Alors : d"où Troisième cas :: ΩR0.On considère la suite=:(). C"est une suite croissante et?=, donc()(). Puisque(), cela veut dire que poursuffisamment grand,() ()?2, i.e., que() 2. Nous fixons un tel, et posons=1 . Alors: Ω[01], et d"après le cas précédent on trouve (ΩC)tel que(:()=()) 2. Alors (ΩC), et si ()=(), c"est que. Comme dans le cas précédent : d"où Quatrième cas :: ΩR.Posons+= max(0),= max(?0). Donc =+?et: ΩR+. D"après le cas précédent : il existe12 (ΩC)tels que :+()=1() 2 :()=2() 2 d"où :()= (1?2)() :+()=1() 2 +:()=2() 2 Cinquième cas :: ΩC(le cas général).Posons=+, oùetsont

les parties réelle et imaginaire de, respectivement. D"après le cas précédent : il existe

12 (ΩC)tels que

(:()=1()) 2 (:()=1()) 2

28CHAPTER 3. LES ESPACES

d"où (:()= (1+2)())(:()=1()) +(:()=2()) 2 +2 = Il reste la partie " en outre. » Soit donc: ΩCcomme dans les hypothèse, etcomme dans la conclusion. Si=alors et c"est bon. Si = 0on remplacepar la fonction0, et c"est encore bon. Supposons donc que

0. Nous définissions:CCpar

Nous remarquons que les deux définitions coïncident quand=. La fonction est continue, donc=est continue également. Aussi,()= 0si est seulement si ()= 0, doncsupp= suppest compact, et (ΩC). En outre,() pour tout, d"où . Pour conclure, nous observons que si() =(), alors() (en dehors d"un ensemble de mesure nulle, dont on peut faire abstraction) et donc() =() =(). Ainsi :

Ceci termine la preuve.?3.3.8

Lemme 3.3.9.Soit(Ω)l"ensemble des fonctions étagées: ΩCtel que(:()=

0), à égalité presque partout près. Alors(Ω)est dense dans(Ω)pour tout

1 (mais non pour=).

Proof.D"abord il est facile à vérifier que(Ω)(Ω), et que c"est en outre un sous-quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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