[PDF] INTÉGRATION SUR UN SEGMENT Les fonctions





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Limites et fonctions continues

x = x0 pour tout x0 ? 0. • la fonction partie entière E n'a pas de limite aux points x0 ? . Page 7. LIMITES ET FONCTIONS CONTINUES. 2. LIMITES. 7.



CONTINUITÉ DES FONCTIONS

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9SSEUoyHh2s La courbe représentative d'une fonction continue se trace sans lever le crayon.





Re(f )

?f + µg et f g sont elles aussi en escalier sur [a



Chapitre8 : Fonctions continues

4.0 International ». https://www.immae.eu/cours/ La composée quand elle est définie



Ecole Normale Supérieure 2007-2008 Cours dAnalyse

Cours d'Analyse Fonctionnelle et EDP. Avril 2008. Chapitre 4bis - Fonctions continues et mesures de Radon. 1 - Fonctions continues sur un espace compact.





Chapter 3 Les espaces L

2 mai 2011 Fait 3.3.5 (Le lemme d'Urysohn – cours de topologie). Soit U ? Rn ouvert et K ? U compact. Alors il existe une fonction continue f : Rn ...



COURS 12 : Fonctions continues (suite)

COURS 12 : Fonctions continues (suite). Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors.



Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Notamment la compacité et la continuité : toute fonction continue sur un compact est uniformément continue (nous verrons ce que cela veut dire) sur ce compact 



livre-analyse-1.pdf - Exo7 - Cours de mathématiques

l'étude des fonctions continues et des fonctions dérivables. Ces trois points sont liés et permettent de répondre à notre problème car par exemple nous 

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

INTÉGRATION SUR UN SEGMENT

Pour commencer, refaites donc un tour du côté du chapitre " Techniques élémentaires de calcul intégral ».

Dans tout ce chapitre,aetbsont deux réels,?est l"un des corps?ou?, etI,J... sont des intervalles. Quand on notera

[a,b], il sera sous-entendu quea?b.

Ce chapitre développe une théorie de l"intégrationSUR UN SEGMENTseulement, vous étudierez en spé une théorie de

l"intégration sur un intervalle quelconque. La plupart desrésultats de ce chapitre vous sont déjà connus, simplement vous ne

les avez jamais démontrés et nous allons apprendre à les utiliser à d"autres fins que le calcul bête et méchant de primitives.

1 CONTINUITÉ UNIFORME

La notion decontinuité uniformeaurait pu être présentée au chapitre " Continuité », mais conformément au programme,

nous ne l"utiliserons que pour construire proprement l"intégrale.

Définition(Continuité uniforme)Soitf:I-→?une fonction. On dit quefestuniformément continue sur Isi :

?? >0,?α >0,?x,y?I,|x-y|< α=???f(x)-f(y)??< ?. Dire quefest continue surI, c"est dire quefest continue en tout pointydeI, c"est-à-dire : ?y?I,?? >0,?αy,?>0,?x?I,|x-y|< αy,?=???f(x)-f(y)??< ?.

Avec la continuité, on se fixe donc un pointy?Iet un niveau?, et on récupère unαy,?. Si on change deyou de?, on

change a priori la valeur deαy,?. Avec la continuitéUNIFORME, on obtient unα?en ayant seulement fixé un?. Cetα?est

doncVALABLE POUR TOUT POINTy?I. L"adjectif " uniforme » est précisément là pour signifier cette indépendance deα?

par rapport ày.

1Pour une même valeur de?...

2... on arrive à trouverune valeur assez grande deα

pour la continuité en ce point...3... mais plus on s"approche de 0, plus la pente est raide et plus les valeurs deα qu"on trouve sont petites.

4À cause de cette évanescence deαen 0,

aucune valeur deαne peut convenir

POUR TOUT POINT.

Il n"y a donc pas continuité uniforme.

Théorème(Lien entre la continuité, la continuité uniforme et la lipschitzianité) (i) Toute fonction uniformément continue sur un intervalley est continue. (ii) Toute fonction lipschitzienne sur un intervalle y est uniformément continue.

Démonstration

(i) Évident! S"il existe unαUNIFORMEvalable pour tout point, alors bien sûr qu"il en existe un pour chacun!

(ii) Soitf:I-→?une fonctionK-lipschitzienne surIpour un certainK>0. Soit? >0. Posonsα=? K. Alors pour tousx,y?Ipour lesquels|x-y|< α:??f(x)-f(y)???K|x-y|Le théorème précédent n"a pas de réciproque en général, saufl"assertion (i) dans le cas d"unSEGMENT.

Théorème(Théorème de Heine)Toute fonction continue sur unSEGMENTy est uniformément continue.

1

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

DémonstrationSoitf? ?[a,b],?. Supposons par l"absurde quefN"estPASuniformément continue sur [a,b]. Ainsi, pour un certain? >0 :?α >0,?x,y?[a,b],|x-y|< αet??f(x)-f(y)????.

Pour toutn???, pourα=2-n, il existe donc deux réelsxn,yn?[a,b]pour lesquels|xn-yn|<2-net??f(xn)-f(yn)????.Bornée entreaetb, la suite(xn)n??possèdeune suiteextraite convergentex?(n)

n??d"après

lethéorèmedeBolzano-Weierstrass, disonsdelimite??[a,b]. Or??x?(n)-y?(n)??<2-?(n)avec limn→+∞?(n) = +∞,

donc lim

n→+∞y?(n)=?par encadrement. Pour conclure, passons à la limite dans l"inégalité??fx?(n)-fy?(n)

en utilisant la continuité defen?: 0=??f(?)-f(?)???? >0 — contradiction.

2 FONCTIONS EN ESCALIER,FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX

Définition(Subdivision d"un segment)On appellesubdivision de[a,b]toute familleσ= (x0,...,xn)de[a,b]pour

laquellea=x0<...Une subdivision de[a,b]est une famille, mais en présence de deux subdivisions de[a,b], nous nous autoriserons par

abus de langage à parler de leur réunion ou de l"inclusion de l"une dans l"autre. Par exemple, la subdivision(0,1,3,5)de

[0,5]est incluse dans la subdivision(0,1,2,3,4,5)et la réunion des subdivisions(0,1,3,5)et(0,1,2,5)vaut(0,1,2,3,5).

2.1 FONCTIONS EN ESCALIER

Définition(Fonction en escalier, subdivision adaptée) a=x0x1x2x3...xn=b On dit qu"une fonctionf:[a,b]-→?esten escaliersi pour une certaine subdi- vision(x0,...,xn)de[a,b], diteadaptée à f: fest constante sur]xi,xi+1[pour touti??0,n-1?.

Cette définition ne garantit nullement l"unicité de la subdivision adaptée(x0,...,xn)et elle n"impose aucune valeur àf

enx0,...,xn.

Théorème(Propriétés élémentaires des fonctions en escalier)Soientf:[a,b]-→?etg:[a,b]-→?deux

fonctions en escalier etλ,μ??.

•Ajout de points à une subdivision adaptée :Lorsqu"on ajoute un nombre fini de points à une subdivision de

[a,b]adaptée àf, le résultat est encore une subdivision de[a,b]adaptée àf.

•Opérations sur les fonctions en escalier :La réunion d"une subdivision de[a,b]adaptée àfet d"une subdi-

vision de[a,b]adaptée àgest une subdivision de[a,b]adaptée àfETàg. Les fonctions|f|, Re(f), Im(f),λf+μgetf gsont elles aussi en escalier sur[a,b].

2.2 FONCTIONS CONTINUES PAR MORCEAUX

Définition(Fonction continue par morceaux, subdivision adaptée) a=x0x1x2...xn=b ??On dit qu"une fonctionf:[a,b]-→?estcontinue par morceauxsi pour une certaine subdivision(x0,...,xn)de[a,b], diteadaptée à f: f ]xi,xi+1[est continue sur]xi,xi+1[ etPROLONGEABLE PAR CONTINUITÉ ENxiETxi+1pour touti??0,n-1?. L"ensemble des fonctions continues par morceaux sur[a,b]à valeurs dans?est noté??[a,b],?. Toute fonction en escalier et toute fonction continue sont continues par morceaux.

Le théorème " Propriétés élémentaires des fonctions en escalier » reste valable pour les fonctions continues par morceaux.

En particulier,??[a,b],?est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de?[a,b]. 2

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

?Attention !Des fonctions aussi simples que la fonction inverse et la fonction logarithme ne sont pas continues par

morceaux sur[0,1]quand bien même on les prolonge artificiellement en 0 car le prolongement ne pourra jamais se faire

par continuité. L"exigence de prolongement par continuitéde la définition n"est pas anodine.

Définition-théorème(Caractère borné d"une fonction continue par morceaux)Toute fonction continue par mor-

ceaux sur[a,b]est bornée et possède donc une norme infinie?f?∞. ?Attention !Bornée oui...MAIS ELLE N"ATTEINT PAS FORCÉMENT SES BORNES!Faites un dessin.

DémonstrationSoitf? ??[a,b],?. Notons(x0,...,xn)une subdivision de[a,b]adaptée àf. Pour tout

i??0,n-1?, le prolongement par continuité de la fonctionRÉELLE|f| ]xi,xi+1[à[xi,xi+1]est borné d"après

le théorème des bornes atteintes, disons par un certainMien valeur absolue. Le maximum des réels positifs

M

1,...,Mnet??f(x0)??,...,??f(xn)??majore dès lors|f|sur[a,b]tout entier.

2.3 APPROXIMATION UNIFORME PAR DES FONCTIONS EN ESCALIER

On rappelle que pour toutes fonctionsf,g? ??[a,b],?: ?f?∞=0??f=0 et?f+g?∞??f?∞+?g?∞(inégalité triangulaire). Définition(Distance uniforme et convergence uniforme) ab g f ?f-g?∞ ab |f-g| ?f-g?∞•Distance uniforme :Pour toutes fonctions f,g? ??[a,b],?, le réel?f-g?∞est appelé ladistance uniforme entre f et g. •Convergence uniforme :Soient(fp)p??? ??[a,b],??une suite de fonctions etf? ??[a,b],?. On dit que la suite(fp)p??converge uniformément vers f sur[a,b]si limp→+∞?fp-f?∞=0.

Il existe tout plein de distances en mathématiques, pas seulement celle à laquelle on est habitué dans le plan ou l"espace.

Nous venons de définir une notion de distance sur l"ensemble??[a,b],?des fonctions continues par morceaux.

Théorème(Approximation uniforme d"une fonction continue par morceaux par des fonctions en escalier)Toute

fonction continue par morceaux sur[a,b]à valeurs dans?est la limite uniforme d"une suite de fonctions en escalier

sur[a,b]à valeurs dans?.

En d"autres termes, par analogie avec la définition que nous avons donné de la densité d"une partie de?, l"ensemble des

fonctions en escalier sur[a,b]à valeurs dans?estdense dans??[a,b],?au sens de la convergence uniforme.

DémonstrationSoitf? ??[a,b],?. Il nous suffit de montrer que pour tout? >0, il existe une fonction

?:[a,b]-→?en escalier pour laquelle?f-??∞??. Si on veut ensuite une suite(?p)p??, on peut par

exemple choisir?=2-ppour toutp??. Fixons donc? >0.

•Cas oùfest continue sur[a,b]:D"après le théorème de Heine,fest uniformément continue sur[a,b],

donc il existe un réelα >0 pour lequel pour tousx,y?[a,b]:|x-y|< α=???f(x)-f(y)??< ?.

Fixons un entiern???pour lequelb-a

n< αet posonsxk=a+kb-anpour toutk??0,n?. Notons enfin?la fonction définie sur[a,b]par : ?i??0,n-1?,?x?[xi,xi+1[,?(x) =f(xi) et?(b) =f(b).

Par construction,?est en escalier sur[a,b].

a=x0x1x2x3x4x5x6...xn-1xn=b f

Il reste à vérifier que?f-??∞??. Or pour toutx?[a,b[,xappartient à[xi,xi+1[pour un certain

i??0,n-1?, donc|x-xi|Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

•Cas général :Soit(x0,...,xn)une subdivision de[a,b]adaptée àf. Grâce au point précédent,fétant

continue sur]xi,xi+1[et prolongeable par continuité enxietxi+1, il existe pour touti??0,n-1?une fonction en escalier?i:[xi,xi+1]-→?pour laquelle??f(x)-?i(x)????pour toutx?]xi,xi+1[. On en

tire une fonction en escalier?sur[a,b]en " accolant »?1,...,?nles unes à la suite des autres, sauf aux

points de subdivision où l"on pose?(xi) =f(xi)pour touti??0,n?. Ainsi?f-??∞??.

En vue d"une utilisation ultérieure, remarquez bien que dans cette preuve, sifest réelle positive,?l"est aussi car les

valeurs de?ont été choisies comme des valeurs def. A fortiori, dans ce cas,fest la limite uniforme d"une suite de fonctions

en escalier réelles positives.

3 CONSTRUCTION DE L"INTÉGRALE

Le principe " base×hauteur » va nous permettre de définir l"intégrale d"une fonction en escalier assez facilement, mais

c"est l"intégrale d"une fonction continue que nous visons.Comment définir " l"aire sous la courbe » pour une fonction continue

quelconque? Réponse : par approximation de celle-ci par desfonctions en escalier grâce au résultat de densité précédent.

Mais soyons plus précis. Pour construire l"intégrale d"unefonction continue, on a commencé par augmenter le stock des

fonctions étudiées en introduisant le concept de fonction continue par morceaux. L"espace vectoriel??[a,b],?contient

ainsi à la fois celui des fonctions en escalier sur[a,b]qui nous intéresse peu mais sur lequel nous savons définir facilement

l"intégrale, et?[a,b],?qui nous intéresse mais sur lequel nous ne savons pas définir l"intégrale. Par densité, la notion

d"intégrale d"une fonction en escalier va être étendue aux fonctions continues par morceaux. En particulier, les fonctions

continues auront ainsi chacune une intégrale. Ce qui est assez cocasse dans cette affaire de densité, c"est que l"intersection

de?[a,b],?et de l"ensemble des fonctions en escalier sur[a,b]est toute petite, c"est juste l"ensemble des fonctions

constantes. La construction de l"intégrale consiste donc àtransporter un concept d"un premier endroit vers un deuxième qui

n"a presque rien à voir avec le premier. Vive la densité!

3.1 INTÉGRALE D"UNE FONCTION EN ESCALIER

Définition-théorème(Intégrale d"une fonction en escalier)Soientf:[a,b]-→?en escalier et(x0,...,xn)une

subdivision de[a,b]adaptée àf. Siyidésigne pour touti??0,n-1?la valeur defsur]xi,xi+1[, le nombre complexe

n-1? i=0y i(xi+1-xi)ne dépend pas de la subdivision(x0,...,xn)choisie. On l"appelle l"intégrale de f sur[a,b], notée? [a,b]fou? [a,b]f(t)dt. xixi+1 yi ????Aire algébrique y i(xi+1-xi) dans le cas où fest réelle

On définit ici directement l"intégrale d"une fonction en escalierCOMPLEXE. Une telle intégrale ne peut bien sûr pas être

interprétée en termes d"" aire sous la courbe », fût-elle algébrique. DémonstrationPour toute subdivisionσ= (x0,...,xn)de[a,b]adaptée àf, posonsIσ=n-1? i=0y i(xi+1-xi).

•Soientσ= (x0,...,xn)etσ?deux subdivisions de[a,b]adaptées àf. On supposeσ?incluse dansσ.

Montrons queIσ=Iσ?. L"inclusion deσdansσ?nous permet écrire queσ?=x?(1),...,x?(n?)pour un

certainn???et une certaine fonction?:?0,n??-→?0,n?strictement croissante pour laquelle?(0) =0 et?(n?) =n— c"est le principe des suites extraites. Pour touti??0,n-1?, notonsyila valeur defsur ]xi,xi+1[, et pour toutj??0,n?-1?,y?jsa valeur sur]x?(j),x?(j+1)[. I

σ?=n

?-1? j=0y jx?(j+1)-x?(j)=n ?-1? j=0?(j+1)-1? k=?(j)y j(xk+1-xk)y j=yk=n ?-1? j=0?(j+1)-1? k=?(j)y k(xk+1-xk) =n-1? i=0y i(xi+1-xi) =Iσ.

•Montrons enfin queIσne dépend pas du choix deσ. Soientσ,σ?deux subdivisions de[a,b]adaptées à

f. La réunion deσetσ?est encore une subdivision de[a,b]adaptée àfet contient à la foisσetσ?, donc

d"après le point précédent :Iσ=Iσ?σ?=Iσ?.

ExemplePour toutn??:?

[0,n+1]?t?2dt=n k=0k

2(k+1)-k=n

k=0k

2=n(n+1)(2n+1)6.

4

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Théorème(Deux propriétés de l"intégrale d"une fonction en escalier)Soientf:[a,b]-→?etg:[a,b]-→?

en escalier etλ,μ??. (i)Linéarité :? [a,b](λf+μg) =λ? [a,b]f+μ? [a,b]g. (ii)Inégalité triangulaire et même mieux :????? [a,b]f???? [a,b]|f|?(b-a)?f?∞.

DémonstrationDonnons-nous une subdivision(x0,...,xn)de[a,b]adaptée àfet àg, donc àλf+μget|f|.

(i) [a,b](λf+μg) =n-1? i=0Valeur deλf+μgsur]xi,xi+1[? (λf+μg) xi+xi+1 2 (xi+1-xi) =λn-1? i=0f xi+xi+1 2

Valeur defsur]xi,xi+1[(xi+1-xi) +μn-1?

i=0g xi+xi+12

Valeur degsur]xi,xi+1[(xi+1-xi) =λ?

[a,b]f+μ? [a,b]g. (ii) [a,b]f???? =????n-1? i=0f xi+xi+1 2 (xi+1-xi)???? ?n-1? i=0??? f xi+xi+12 ?(xi+1-xi) =? [a,b]|f| n-1? k=0?f?∞(xi+1-xi) = (b-a)?f?∞.

3.2 INTÉGRALE D"UNE FONCTION CONTINUE PAR MORCEAUX

Nous avons vu qu"IL EXISTEtoujours une suite(?p)p??de fonctions en escalier sur[a,b]dontfest la limite uniforme.

On aurait bien envie du coup de définir l"intégrale? [a,b]fcomme la limite limp→+∞? [a,b]? pdans l"idée que l"aire algébrique sous

ptend vers l"aire algébrique sousflorsqueptend vers+∞. Cette " définition » pose hélas trois problèmes :

— La limite existe-t-elle?

— Ne dépend-elle pas du choix de la suite(?p)p???

— Pour les fonctions en escalier, la limite obtenue coïncide-t-elle bien avec l"intégrale du paragraphe précédent?

Définition-théorème(Intégrale d"une fonction continue par morceaux)Soitf? ??[a,b],?.

Pour toute suite de fonctions en escalier(?p)p??sur[a,b]qui converge uniformément versf, la suite"?

[a,b]? p" p??converge et sa limite ne dépend pas du choix de(?p)p??. Cette limite unique est appelée l"intégrale de f sur[a,b]et notée? [a,b]fou? [a,b]f(t)dt. En outre, sifest en escalier sur [a,b], cette définition coïncide avec la précédente.

Démonstration

•Soient(?p)p??et(ψp)p??deux suites de fonctions en escalier sur[a,b]dontfest la limite uniforme. Pour

toutp??, d"après les deux propriétés de l"intégrale d"une fonctionen escalier déjà démontrées :?????

[a,b]? p-? [a,b]ψ p???? [a,b](?p-ψp)???? ?(b-a)??p-ψp?∞?(b-a) ?f-?p?∞+?f-ψp?∞ Il en découle par encadrement queSI JAMAISles suites"? [a,b]? p" p??et"? [a,b]ψ p" p??convergent, elles ont la même limite, indépendante de(?p)p??et(ψp)p??.

•Il reste à montrer que la suite"?

[a,b]? p" p??converge. Or limp→+∞?f-?p?∞=0, donc?f-?p?∞?1 à

partir d"un certain rang, et ainsi :??p?∞=??p-f+f?∞??f?∞+?f-?p?∞??f?∞+1, donc :?????

[a,b]? p???? [a,b]|?p|?? [a,b] ?f?∞+1= (b-a)?f?∞+1. Bornée, la suite"? [a,b]? p" p??possède alors une suite extraite [a,b]?

θ(p)"

p??convergente de limite?d"après le théorème de Bolzano-Weierstrass. 5

Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI

Ainsi, d"après?appliquée à?pet?θ(p):????? [a,b]? p-? [a,b]?

θ(p)????

?(b-a) ?f-?p?∞+?f-?θ(p)?∞ donc lim p→+∞? [a,b]? p=?par encadrement. •Que dire enfin sifest en escalier sur[a,b]? Nous pouvons dans ce cas poser?p=fpour toutp??et aussitôt lim p→+∞?f-?p?∞=0. La limite limp→+∞? [a,b]? pse trouve ainsi égale à l"intégrale? [a,b]fdefau sens

des fonctions en escalier. Nos deux définitions de l"intégrale d"une fonction en escalier coïncident.

On vous demandera souvent de " justifier la bonne définition » de telle ou telle intégrale. Il s"agit simplement de montrer

que la fonction intégrée est continue — éventuellement par morceaux — sur le segment concerné.

Exemple

•L"intégrale?

[0,1]ln(1+t)tdtest bien définie car la fonctiont?-→ln(1+t)test continue sur]0,1]et prolongeable par

continuité en 0 par la valeur 1.

•L"intégrale?

[0,π]sh 2t

1-costdtest bien définie car la fonctiont?-→sh2t1-costest continue sur]0,π]et prolongeable

par continuité en 0 par la valeur 2 : sh2t

1-cost≂

t→0t 2t2

2≂

t→02.

3.3 PROPRIÉTÉS DE L"INTÉGRALE

Théorème(Propriétés de l"intégrale d"une fonction continue par morceaux)Soientf,g? ??[a,b],?.

(i)Linéarité :Pour tousλ,μ??:? [a,b](λf+μg) =λ? [a,b]f+μ? [a,b]g. (ii)Inégalité triangulaire :????? [a,b]f???? [a,b]|f|. (iii)Relation de Chasles :Pour toutc?[a,b]:? [a,b]f=? [a,c]f+? [c,b]f. (iv)Lien avec les parties réelle et imaginaire :? [a,b]f=? [a,b]Re(f)+i? [a,b]Im(f). En particulier, sifest réelle, son intégrale sur[a,b]est un réel.

(v)Modification d"un nombre fini de valeurs :Sifetgsont égales sur[a,b]sauf en un nombre fini de points :?

[a,b]f=? [a,b]g.

DémonstrationLes propriétés se démontrent toutes de la même façon. On la prouve d"abord pour les fonctions

en escalier, puis dans le cas général par passage à la limite.

Donnons-nous une fois pour toutes une suite de fonctions en escalier(?p)p??sur[a,b]dontfest la limite

uniforme et une suite de fonctions en escalier(ψp)p??sur[a,b]dontgest la limite uniforme.

(i) Pour toutp??:??(λf+μg)-(λ?p+μψp)??∞?|λ|?f-?p?∞+|μ|?g-ψp?∞, donc par encadrement :

lim p→+∞??

(λf+μg)-(λ?p+μψp)??∞=0. Enfin, par linéarité de l"intégrale d"une fonction en escalier :

[a,b](λf+μg) =limp→+∞? [a,b](λ?p+μψp) =limp→+∞" [a,b]? p+μ? [a,b]ψ p" [a,b]f+μ? [a,b]g. (ii) Pour toutp??:??|f| - |?p|???|f-?p|, donc :??|f| - |?p|??∞??f-?p?∞, donc par enca- drement : lim p→+∞?? |f| - |?p|??∞=0. En retour, d"après l"inégalité triangulaire pour les fonctions en escalier : [a,b]f???? =limp→+∞????? [a,b]? p???? ?limp→+∞? [a,b]|?p|=? [a,b]|f|. 6

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(iii)Cas oùfest en escalier :Quitte à ajouter le pointcà la subdivision(x0,...,xn), on peut supposer que

x k=cpour un certaink??0,n?. La fonctionf [a,c]est alors en escalier sur[a,c]de subdivision adaptée (x0,...,xk)etf [c,b]l"est sur[c,b]de subdivision adaptée(xk,...,xn). Enfin :? [a,b]f=n-1? i=0f xi+xi+1 2 (xi+1-xi) =k-1? i=0f xi+xi+12 (xi+1-xi)+n-1? i=kf xi+xi+12 (xi+1-xi) =? [a,c]f+? [c,b]f.

Cas général :Pour toutp??,?p

[a,c]et?p[c,b]sont en escalier et??f[a,c]-?p[a,c]??∞??f-?p?∞, donc lim p→+∞?? f [a,c]-?p[a,c]??∞=0 par encadrement, et de même limp→+∞?? f[c,b]-?p[c,b]??∞=0. Ainsi, f [a,c]est la limite uniforme de p[a,c] p??etf[c,b]de p[c,b] p??. Finalement : [a,b]f=limp→+∞? [a,b]? p=limp→+∞"? [a,c]? p [a,c]+? [c,b]? p[c,b]" [a,c]f+? [c,b]f. (iv)Cas oùfest en escalier :? [a,b]f=n-1? i=0f xi+xi+1 2 (xi+1-xi) n-1? i=0Re(f) xi+xi+1 2 (xi+1-xi)+in-1? i=0Im(f) xi+xi+12 (xi+1-xi) =? [a,b]Re(f)+i? [a,b]Im(f). Cas général :Pour toutp??:??Re(f)-Re(?p)???|f-?p|, donc??Re(f)-Re(?p)??∞??f-?p?∞, donc lim p→+∞?? Re(f)-Re(?p)??∞=0 par encadrement, et de même limp→+∞??

Im(f)-Im(?p)??∞=0. Ainsi :

[a,b]f=limp→+∞? [a,b]? p=limp→+∞"? [a,b]Re(?p)+i? [a,b]Im(?p)" [a,b]Re(f)+i? [a,b]Im(f).

(v) Sifetgsont égales sauf en un nombre fini de points,g-fest nulle partout sauf en ces points, donc est

en escalier sur[a,b]et son intégrale vaut? [a,b](g-f) =0. Par linéarité enfin :? [a,b]f=? [a,b]g.

Théorème(Propriétés de l"intégrale d"une fonction continue par morceaux réelle)Soientf,g? ??[a,b],?.

(i)Positivité :Sif?0, alors? [a,b]f?0. (ii)Croissance :Sif?g, alors?quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29
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