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Ecole Normale Sup´erieure2007-2008

Cours d"Analyse Fonctionnelle et EDPAvril 2008

Chapitre 4bis - Fonctions continues et mesures de Radon

1 - Fonctions continues sur un espace compact.

Les compacts que l"on rencontre "dans la pratique" peuvent ˆetre de diff´erents types. Voici quelques exemples

du plus particulier au plus g´en´eral.

a) - Soit Ω un ouvert born´e deRN, alorsX=¯Ω est un compact. Si??Cc(RN) alors supp?est un compact

de cette nature. b

1) - Toujours en dimension finie, on peut consid´erer l"ensemble des compacts deRN(et non plus seulement

ceux qui sont l"adh´erance d"un ouvert). Par exemple, siTest une distribution deRN`a support compact,

alors suppTpeut ˆetre n"importe quel compact deRN. b

2) - SoitEun espace de Banach de dimension infinie etT? K(E) une application lin´eaire, compacte. Alors

T(BE) est un compact d"un e.v.n. qui est g´en´eralement non inclus dans un e.v. de dimension finie.

b

3) - SoitEun espace de Banach s´eparable. Alors¯BE?muni de la topologie de la convergenceσ(E?,E)* est

un espace m´etri(que/sable) compact.

b) - En r´esum´e, les trois exemples pr´ec´edents rentre dans le cadre des espaces m´etriques compacts, et les

d´emonstrations dans les cas b i) ne sont pas, en g´en´eral, plus simple que dans ce cadre abstrait b).

c) - On peut enfin consid´erer un espace topologique compact (X,T), non m´etrisable. La boule¯BE?munie

de la topologie de la convergenceσ(E?,E)* lorsqueEest un Banach non s´eparable (exemples:E=?∞,

E=L∞) est de ce type. Dans ce cadre les suites deXne sont pas toujours s´equentielement compactes...

Pour simplifier la pr´esentation nous allons nous restreindre dans ce cours au cas des espaces m´etriques, bien

que tous les r´esultats doivent s"´etendre au cas non m´etrique (cf. livres de P. Malliavin [Ma], H. Queffelec

[Qe], polys de B. Perthame [Pe], C. Villani [Vi]). On notera doncXun espace (m´etrique) compact (et on

suppose son cardinal infini !...). De plus, les preuves ne seront esquiss´ees que dans le cas d"un compact de

R N(a- et b1-): dans ce cadre on peut assez syst´ematiquement avoir recours `a la convolution. Un espace compactXposs`ede les propri´et´es suivantes: -Xest s´epar´e: six?=yil existeOx?x,Oy?ydeux ouverts tels queOx∩Oy=∅.

-Xest normal: siF1, F2sont deux ferm´es tels queF1∩F2=∅alors il existeO1?F1,O2?F2deux ouverts

tels queO1∩O2=∅. Une autre fa¸con de dire cela est: pour tout ferm´eFet ouvertOtels queF?O, il

existeUun ouvert tel queF?U?¯U?O. On d´efinitC(X) l"espace des fonctions continues surX, on le munit de la norme uniforme ?f?:= sup x?X|f(x)|. Th´eor`eme d"Urysohn.SoitA,Bdeux ferm´es disjoints deX; il existef:X→Rcontinue telle que 1 En particulier,C(X)s´epare les points:?x, y?X,x?=y, il existef?C(X)tel quef(x)?=f(y). Mieux, on peut trouverf:X→Rcontinue telle que

Preuve du Th´eor`eme d"Urysohn.- Prendreε >0 tel que (A+ 3εB1)∩B=∅,ρ?Cc(RN) telle que

suppρ?B1, ρ≥0,? R

Nρ= 1, ρε(x) :=ε-Nρ?x/ε?,

et d´efinir ˜f=1A+ε B1?ρεpuisf=˜f|Xla restriction de˜f`aX.

Dans le cas m´etrique g´en´eral et pour avoir la conclusion forte du th´eor`eme d"Urysohn, il suffit de poser

f(x) :=d(x,B)/(d(x,A) +d(x,B)).?? Th´eor`eme de Tietze.SoitAun ferm´e deXet soitf:A→Rcontinue; alorsfse prolonge en une fonctiong:X→Rcontinue.

Preuve du Th´eor`eme de Tietze.Soitωle module de continuit´e def, qui existe puisquefest uniform´ement

de prendre l"enveloppe concave sur [0,diam(X)] du module de continuit´e donn´e par le th´eor`eme de Heine).

On d´efinit

g:X→R, g(x) := infa?A[f(a) +ω(d(x,a))]. l"infimum est atteint ena?Adans la d´efinition deg(x), on a

Ces Th´eor`emes sont vrais pour un compact g´en´eral, et en fait, dans un espace normal. La d´emonstration est

´elementaire dans le cas a), pas tr`es compliqu´ee dans le cas b) (voir [Pe], [Qe]) et un plus compliqu´ee dans le

cas c) Th´eor`eme.C(X) est un espace de Banach s´eparable.

Preuve.- Dans le casX?RNon peut avoir recours au th´eor`eme de Stone-Weierstrass dedensit´e des

polynˆomes dans les espaces de fonctionsC([-R,R]N) ou avoir recours `a un argument moins subtil: on d´efinit

Ql"ensemble des partitions dyadiques de [-R,R]NavecX?[-R,R]N, puis l"ensemble d´enombrable

A:=???

iλ i1Qi? ?ρε,(Qi)? Q, λi?Q, ε?Q∩[0,1]?

Alors les restrictions `aXdes fonctions deAconstituent un ensemble d´enombrable et dense dansC(X).

- Dans le cas m´etrique g´en´eral, on proc`ede de la mani`eresuivante. Pour toutn?N?on peut recouvrirX

deNnboulesB(xnj,1/n). Pour toutα?QNnon d´efinit alors n,α(x) =N n? j=1α jψn,j, ψn,j(x) =N n? j=1(1/n-d(x,xnj))+ ?Nnk=1(1/n-d(x,xnk))+ La famille des (?n,α) est d´enombrable et dense dansC(X).??

Th´eor`eme. (partition de l"unit´e)Soit (Oi) une famille (finie) d"ouverts recouvrantX. Il existe une

2

Preuve.Par compacit´e, on commence par se ramener `a un (sous-)recouvrement fini (Oi)i?J. D"apr`es le

i≡1 surX\ ?j?=iOjetψi≡0 surX\Oi. On pose?i=ψi/(? j?Jψj). En fait, commeXest compact, on peut aussi juste d´efinirψi(x) =d(x,X\Oi) ce qui assure que? j?Jψj(x)?(0,∞) pour toutx?X.??

Th´eor`eme de Riesz.La boule unit´eBC(X)n"est pas compacte pour la (topologie de la) convergence

uniforme. Th´eor`eme d"Ascoli-Arzel`a.SoitH ?C(X). Les deux assertions suivantes sont ´equivalentes (i)Hest relativement compact pour la convergence uniforme; (ii)Hsatisfait

-Hest uniform´ement ´equicontinu:?ωun module de continuit´e (ω?C(R+,R+),ω(0) = 0) tel que

Preuve du th´eor`eme en exercice.Remarquer que l"uniforme ´equicontinuit´e s"´ecrit ´egalement

?ε >0?δ >0 tel que" d(x1,x2)< δ" |f(x1)-f(x2)|< ε?f? H"

a) - Montrer que toute fonctionfdeC(X) est uniform´ement continue. Donner un exemple d"ensembleborn´eHde

C([0,1]) qui n"est pas relativement compact.

b) - Pourquoi existe-t-il une famille d´enombrable{xm}dense dansX? Montrer queC(X), muni de la norme de la

convergence uniforme, est un espace de Banach. c) - Montrer que siHest compact, alors il est born´e et uniform´ement ´equicontinu.

Dans la suite on suppose queHest born´e et uniform´ement ´equicontinu, et on consid`ereune suite de fonctions (fn)

appartenant `aH. On va montrer que l"on peut extraire une sous-suite qui converge (uniformement) versf?C(X).

d) - Montrer, par un proc´ed´e diagonal, qu"il existe une sous-suite (fn?) de (fn) telle que (fn?(xm)) converge pour tout

m?N.

e) Montrer que pour toutx?Xla suite (fn?(x)) converge, on notef(x) sa limite. Montrer quefest continue, puis

quefn?converge uniform´ement versf. Th´eor`eme de Stone-Weierstrass (version 1).SoitGun sous-ensemble deC(X) tel que (i)Gest r´eticul´e: pour toutu,v?Gon a max(u,v),min(u,v)?G; (ii) pour toutα, β?Ret pour toutx,y?Xil existeu?Gtel queu(x) =α,u(y) =β. AlorsGest dense dansC(X) (au sens de la convergence uniforme). Th´eor`eme de Stone-Weierstrass (version 2).SoitGun sous-ensemble deC(X) tel que (i)Gcontient les constantes; (ii)Gest r´eticul´e; (iii)Gs´epare les points deX: pour toutx,y?Xil existeu?Gtel queu(x)?=u(y). AlorsGest dense dansC(X) (au sens de la convergence uniforme). Th´eor`eme de Stone-Weierstrass (version 3).SoitGun sous-ensemble deC(X) tel que (i)Gcontient les constantes; (ii)Gest une sous-alg`ebre deC(X):?λ?R,?uv?Gon au+λv,uv?G (iii)Gs´epare les points deX. AlorsGest dense dansC(X) (au sens de la convergence uniforme). Exemples.(i) Lip(X) est dense dansC(X) pour tout m´etrique compact (X,d). (ii) L"espace vectoriel des polynˆomesP(X) est dense dansC(X) pour tout compactX?Rd. 3

(iii) L"espace des fonctions `a variables s´epar´eesC(X1)?C(X2) est dense dansC(X) pour tous compacts

m´etriquesX1etX2. Par d´efinition,f?C(X1)?C(X2) si f(x,y) =? i?I,I finiu i(x)vi(y). (iv) L"espace vectoriel des polynˆomes trigonom´etriquespN(x) =N? n=-Na nein xest dense dans l"espace des fonctions p´eriodiquesCper([0,2π];C).

Enfin, dans le casK= [0,1] (en fait dans le cas plus g´en´eralK?Rd) on peut avoir des versions plus pr´ecises

(et dont les preuves sont plus ´el´ementaires) des th´eor`emes de Stone-Weierstrass. Th´eor`eme de Weierstrass-Bernstein-Jackson.(cf. [Pe, p. 34]). Il existe une constanteCtelle que pour toutf?C([0,1]) on a E n),

o`uPnd´esigne l"espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur `an,ωle module de continuit´e defet

B n(f) est le polynˆome de Bernstein de degr´enassoci´e `afpar la relation B n(f)(x) =n? k=0C knf(k/n)xk(1-x)n-k.

2 - Espace des mesures de Radon sur un ensemble compact.

On suppose toujours queXest un espace m´etrique compact.

D´efinition 2.1.On appelle "mesure de Radon" toute forme lin´eaire continueTsurC(X):T:C(X)→R

est lin´eaire et?C?R+tel que On noteM1(X) l"espace vectoriel des mesures de Radon. C"est un espace deBanach lorsqu"il est muni de la norme duale ?T?M1(X)?T?M1:= sup

D´efinition 2.2.On appelle "mesure de Radon positive" toute forme lin´eaireTsurC(X) qui satisfait

??C(X), ?≥0 =?T(?)≥0. Lemme 2.3.Toute "mesure de Radon positive" est continue (donc est une "mesure de Radon"). Preuve du Lemme 2.3.Pour??C(X) prendreψ:=??? -?≥0 et utiliser la d´efinition.??

On appelle tribu bor´elienne la tribu engendr´ee par les ouverts deX, on la noteBX. On appelle mesure

bor´elienne deXune "mesure ensembliste" (une fonction positiveσ-additive) sur la tribuBX.

Th´eor`eme 2.4 (Riesz-Radon-Markov, 1`ere version).Soitμune mesure bor´elienne finie. On d´efinit

la mesure de Radon positiveTμsurC(X) en posant T

μ(f) :=?

X f dμ?f?C(X). 4

Inversement, pour toute mesure de Radon positiveTsurC(X) il existe une unique mesure bor´elienne (finie)

μtelle queT=Tμ. De plus?T?M1(X)=μ(X).

Preuve du Th´eor`eme 2.4.Cet ´enonc´e contient un th´eor`eme d"existence et d"unicit´e: toute forme lin´eaire

positive se repr´esente `a l"aide d"une int´egrale par rapport `a une mesure bor´elienne et celle-ci est unique.

Unicit´e.On montre que si?

f dμ=? f dν?f?C(X),

alorsμetνco¨ıncident sur les parties ouvertes (th d"Urysohn + th de cvgce domin´ee), sur les parties s"´ecrivant

comme inersection d"un ouvert et d"un ferm´e (parties de type o.f.) et donc sur les r´eunions finies d"ensembles

o.f. disjoints (ensembles ´el´ementaires). De plus,C={A? BX;ν(A∩Xn) =μ(A∩Xn)?n}est une classe

monotone qui contient les ensembles ´el´ementaires et les ensembles ´el´ementaires forment une alg`ebre de Boole

de parties deX. On en d´eduit queC=BXet queν≡μ. Existence.1) Mesure d"un ouvert.´Etant donn´e un ouvertOdeXon note ΛO:={f?C(X); suppf?

μ(O) = sup

f?ΛOT(f). nμ(On) pour toute suite (On) d"ouverts, (iii)μ(?nOn) =? nμ(On) pour toute suite (On) d"ouverts disjoints.

2) Mesure d"un compact.

´Etant donn´e un compactKdeXon pose

μ(K) = inf{μ(O), Oouvert, K?O}.

μ(?iKi) =?

iμ(Ki) pour toute famille finie (Ki) de compacts disjoints.

3) Mesure int´erieure. Mesure ext´erieure. Pour une partiequelconqueAdeXon pose

?(A) = inf{μ(O), Oouvert, A?O}, ?(A) = sup{μ(K), Kcompact, K?A}.

On d´efinitB:={A? P(X);μ?(A) =μ?(A)}. On v´erifie que les ouverts et les ferm´es appartiennent `aB.

On ´etend la d´efinition deμ`aBen posantμ(A) =μ?(A) =μ?(A) siA? B. On v´erifie queμestσ-additive,

que l"on a la caract´erisation suivante deB: pour toutA? P(X) on a A? Bssi?ε >0,?Kcompact,?Oouvert, K?A?O μ(O\K)< ε.

On montre enfin queBest une tribu qui contient la tribu bor´elienneBX, queμest une mesure surBet

queBestμ-compl`ete. Par restriction deμ`aBXon associe `aμune mesure bor´elienneμ?(que l"on note

simplementμpar la suite). On montre queBest la tribu compl´et´ee deBXpour la mesureμ?.??

On appelleramesure de Radonassoci´ee `a la forme lin´eaire positiveTla mesureμ(ou sa restrictionμ?)

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