[PDF] Définition 25 (Intégrabilité au sens de Riemann) Une fonction PDF

On suppose que la fonction réelle f:[ab] R est intégrable sur [ab] Considérons alors une subdivision régulière a = x0 < x1 < < xn?1 < xn = b (n ?2) de pas

[PDF] Chapitre 7 : Intégrales généralisées

f est intégrable sur ]ab[ si f est intégrable au sens généralisé sur chaque Seule l'intégrabilité proche de +? se comporte comme les séries de Rie-

[PDF] Fonctions intégrables Fonctions définies par une intégrale

Fonctions continues par morceaux intégrable sur un intervalle quelconque Définition de l'intégrabilité d'une fonction positive continue par morceaux sur

[PDF] Intégrale de Riemann

Intégrabilité Exemples Propriétés Formule de la moyenne 3 Primitives Théorème fondamental de l'analyse Lien intégrale/primitive Exemple de synthèse

[PDF] Résumé sur les Intégrales Impropres & exercices supplémentaires

Une fonction définie sur un intervalle I est dite localement intégrable sur I si f est Riemann- intégrable sur tout intervalle [a b] ? I 1 Définitions

[PDF] MAT2050 : analyse 2 - Université de Montréal

On en déduit facilement que f est intégrable sur [01] avec intégrale 1/2 : si ? > 0 et Théorème 1 10 (le critère d'intégrabilité de Darboux)

[PDF] Jour no1

Il s'agit d'un exercice facile consistant à étudier l'intégrabilité d'une fonction sur un intervalle f est intégrable sur I » signifie que l'intégrale

[PDF] Intégrale de Riemann - Université de Rennes 1

1 sept 2021 · En pratique la locale intégrabilité sera donnée par Proposition 4 1 1 Une fonction f : [a b[? R continue est localement intégrable

[PDF] NATURE DUNE INTÉGRALE GÉNÉRALISÉE INTÉGRABILITÉ - PT

INTÉGRABILITÉ DUNE FONCTION f est alors intégrable sur [a; b[ f(x)dx converge comme fausse intégrale généralisée et f est intégrable sur ]0;1]

[PDF] Intégrabilité - Booleanopera

Intégrabilité Plan de cours Intégrale généralisée (ou impropre) : définition pour [a b[ ]a b] ]a b[ Relation de Chasles

Définition 2.5. (Intégrabilité au sens de Riemann)

Une fonction réellef:[a,b]

?Rest dite intégrable sur[a,b], si ??>0,?f1, f2:[a,b] ?Rfonctions en escaliers telles que:

1.f1?f?f2(i.e.?x?[a,b], f1(x)?f(x)?f2(x))

2.??????

ab f

2(x)dx-?

ab f

1(x)dx?????

Théorème 2.6. (Intégrale définie)

On suppose que la fonction réellef:[a,b]

?Rest intégrable sur[a,b]. Considérons alors une subdivision régulièrea=x0Note 2.9.Dans l"expression? ab f(x)dx,aetbsont les bornes d"intégration,x est la variable d"intégration; c"est une variable muette. Elle peut donc être rem- placée par toute autre variable, à l"exception de celles desbornes d"intégration et bien sûr de la variable utilisée pour nommée la fonction. Ainsi, sif: [a, b] ?R est intégrable sur[a,b], on a les égalités suivantes:? ab f(x)dx=? ab f(t)dt =? ab f(u)du=? ab f(v)dv=? ab f(y)dy.20Intégration: fonction réelle d"une variable réelle.

2.3 Les propriétés des intégrales définiesOn suppose dans la liste des propriétés ci-dessous que[a,b]est un intervalle fermé

borné deR,fetgsont des fonctions intégrables sur[a,b].

1. Quand les bornes d"intégration sont confondues:

aa f(x)dx=0

2. La relation de Chasles:

?c?[a,b],? ac f(x)dx+? cb f(x)dx=? ab f(x)dx

3. Quand on permute les bornes d"intégration:?

ba f(x)dx=-? ab f(x)dx

4. La linéarité:

i.? ab (f+g)(x)dx=? ab f(x)dx+? ab g(x)dx (l"intégrale de la somme est égale à la somme des intégrales) ii. ?λ?R,? ab (λf)(x)dx=λ? ab f(x)dx

5. Quand le graphe d"une des fonctions est toujours au dessusde l"autre:

Sif?gsur[a,b], alors?

ab f(x)dx?? ab g(x)dx

6. Comparaison de la valeur absolue de l"intégrale et de l"intégrale de la

valeur absolue:?????? ab f(x)dx????? ab |f(x)|dx

2.3 Les propriétés des intégrales définies21

2.4 Primitives: calcul d"intégrales définiesSouvent, dans la pratique, calculer une intégrale définie seramènera pour nous, à

chercher une primitive pour la fonction à intégrer.

Définition 2.10.Soitf: [a, b]

?Rune fonction réelle d"une variable réelle. On appelle primitive def, toute fonction dérivableFdéfinie sur[a, b]et vérifiant F ?=f.

Exemple 2.11.

Sur l"intervalle[-1,2], la fonctionFdéfinie parF(x) =-cos(x)est une primitive de la fonctionfdéfinie sur[-1,2]parf(x)=sin(x). Sur un intervalle quelconque[a,b], la fonctionx ?12x2est une primitive de f:x ?x.

De même, la fonctionx

?-12x2+1est une primitive def:x?-x.

Théorème 2.12.

Si la fonctionf: [a, b]

?Radmet une primitiveF, alors les primitives defsont toutes les fonctionsGde la formeG=F+λpourλparcourantR.

Démonstration.

La dérivée d"une fonction constante étant nulle, on vérifie facilement que sif admetFpour primitive, alors toute fonctionGde la formeG=F+λest une pri- mitive def. Réciproquement, siHest une primitive def, considérons la fonction (H-F)qui est définie et dérivable sur[a,b]. Dérivant(H-F), on obtient (H-F)?=H?-F?, et comme par hypothèseH?=fetF?=f, on a(H-F)?=0.

Conclusion:(H-F)est une constante réelle.?

Corollaire 2.13.Soientf: [a, b]?Rune fonction réelle supposée admettre une primitiveF,x0?[a, b]ety0?R. Alors il existe une et une seule primitive def prenant la valeury0enx0.

Exemple 2.14.Soitf:[-2,2]

?Rdéfinie parf(x)=-x.fadmet une unique primitiveF, prenant la valeur3en1. Pour déterminerF, on écrit que toute pri- mitive defest de la formeF(x)=-12 x2+λoùλest une constante réelle. La conditionF(1) = 3fixe la valeur de la constanteλ.F(1) = 3si et seulement si

λ=72

. Conclusion:F(x)=12(-x2+7). D"une manière générale, si on connaît une primitive quelconqueGde la fonction f: [a, b] ?R, la primitiveFdefprenant la valeury0enx0est définie par

F(x)=G(x)-G(x0)+y0.

Note 2.15.Une primitive (quelle qu"elle soit) def: [a, b] ?Rest aussi appelée intégrale indéfinie defet est notée? f(x)dx(noter l"absence de bornes).22Intégration: fonction réelle d"une variable réelle. Remarque 2.16. (conséquence de la linéarité de la dérivation)

1. Pour deux fonctionsf, g:[a, b]

?R, siFetGsont des primitives respec- tives defetg, alors la somme(F+G)est une primitive de(f+g).

2. Sifest une primitive def, alors pour tout réelλ,(λF)est une primitive

de(λf). Théorème 2.17. (théorème de la moyenne)Soitf: [a, b] ?Rune fonction réelle continue sur[a,b]. Il existe un pointc?[a,b]tel que f(c)=1 b-a ab f(x)dx. (Le nombre réel 1 b-a ab f(x)dxest la moyenne de la fonctionfsur l"intervalle[a,b]). En utilisant le théorème de la moyenne on peut prouver le théorème fonda- mental suivant:

Théorème 2.18.Soitf:[a,b]

?Rune fonction réelle continue sur[a,b]. Etant donné un pointx0?[a,b], l"applicationF:[a,b] ?Rdéfinie par

F(x)=?

x 0x f(t)dtest une primitive def. Cette primitive s"annule enx0. Dans la pratique, c"est le corollaire suivant que l"on applique pour calculer l"intégrale définie d"une fonction dont on connaît une primitive.

Théorème 2.19.Soitf: [a, b]

?Rune fonction réelle continue sur[a, b]. SiF est une primitive def, alors on a? ab f(x)dx=F(b)-F(a).2.4 Primitives: calcul d"intégrales définies23

2.5 Techniques d"intégrationDans ce paragraphe, on décrit les techniques de base à maîtriser pour mener à

bien le calcul d"une intégrale définie.

2.5.1 Primitives de fonctions usuelles

La liste de primitives de fonctions usuelles à connaître: Primitives de quelques fonctions usuelles (λest une constante réelle)

1) pourα?R,α?-1, on a?

αdx=xα+1

α+1+λ

2)? 1 xdx=ln|x|+λ

3) pourα?R,α?0, on a?

αxdx=1

αeαx+λ

4) pour un réelastrictement positif et différent de 1,?

a xdx=ax ln(a)+λ 5)? sin(x)dx=-cos(x)+λ 6)? cos(x)dx=sin(x)+λ

2.5.2 Technique d"intégration par parties

La technique d"intégration par parties est fondée sur la formule de dérivation d"un produit de fonctions dérivables:(u×v)?=u?×v+u×v? Théorème 2.20.Soientuetvdeux fonctions réelles continûment dérivables (i.e. des fonctions dérivables et dont les dérivées sont continues) sur un intervalleI. Alors la fonction réelle produitu?×vadmet une primitive surIet on a: 1.? (u?×v)(x)dx=(u×v)(x)-? (u×v?)(x)dx

2. siaetbsont deux points deI,?

ab (u?×v)(x)dx=[(u×v)(x)]ab-? ab (u×v?)(x)dx (dans cette formule,[(u×v)(x)]abdésigne (u(b)×v(b)-u(a)×v(a))

Exemple 2.21.

1. Calculer une primitive de la fonctionf:R

?Rdéfinie parf(x) =xe-x.

Solution:

a) On poseu?(x)=e-xetv(x)=x, ce qui donne par exemple u(x)=-e-xen utilisant les formules des primitives des fonctions usuelles (ici, c"est la formule associée àx ?eαxque l"on applique avecα=-1). On av?(x)=1.24Intégration: fonction réelle d"une variable réelle. b) En utilisant le a) et la technique d"intégration par parties, on obtient:? xe -xdx=-xe-x-?

1×(-e-x)dx.

On en déduit?

xe -xdx=-xe-x-e-x+λ, oùλest une constante réelle quelconque. Note: nous aurions pu poseru?(x)=xetv(x)=e-x, ce qui aurait donné: u(x)=12 x2par exemple, etv?(x)=-e-x. En appliquant la formule d"intégration par parties cela aurait donné:? xe -xdx=12 x2e-x+? 12x2×e-xdx. Ce qui nous amène à calculer x

2e-xdx. On voit que cette dernière primitive à calculer n"est pasforcé-

ment plus simple que? xe -xdx. Conclusion: dans la formule d"intégration par parties ci-dessus, un choix judicieux deu?etvs"impose.

2. Calculer une primitive de la fonctionf:]0,+∞[

?R,f(x)=ln(x). Solution: on poseu?(x)=1,v(x)=ln(x), d"oùu(x)=x,v?(x)=1 x et alors? ln(x)dx=xln(x)-? x×1 x dx=xln(x)-? dx, ce qui donne

ln(x)dx=xln(x)-x+λoùλest une constante réelle quelconque.2.5 Techniques d"intégration25

quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

[PDF] Cours Diagonalisation - Maths ECE

[PDF] Fiche de méthodes sur les Suites - Optimal Sup Spé

[PDF] Naviguer sur Internet - coursdinfo

[PDF] Méthode et organisation du nettoyage d 'un bloc sanitaire

[PDF] ENTRETIEN DES RUISSEAUX

[PDF] Guide de l 'utilisateur de l 'imprimante 2600 Series - Lexmark

[PDF] Diplôme Universitaire de Technologie(DUT) Licence Professionnelle

[PDF] (Numéro d 'identification consulaire) et vote par internet I- NUMIC

[PDF] Une formation, pourquoi ? comment - Pôle emploi

[PDF] Les conditions pour prier avec puissance [Mode de - ACM Lévis

[PDF] Harcèlement moral au travail - L 'atelier des droits sociaux

[PDF] Certificat de coutume ou certificat de célibat - Consulat du

[PDF] OBTENIR UN PERMIS DE CONSTRUIRE

[PDF] pieces a founir gupc classe iv - Ministère de la construction

[PDF] Visa pour travailler en Allemagne

[PDF] [PDF] Définition 25 (Intégrabilité au sens de Riemann) Une fonction