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Int egrale de Riemann

L3 Mathematiques

Jean-ChristopheBreton

Universite de Rennes 1

Septembre{Decembre 2009version du 21 decembre 2009

Table des matieres

1 Integrales des fonctions en escalier

1

1.1 Fonctions en escalier

1

1.2 Integrale des fonctions en escalier

2

1.3 Sommes de Darboux et de Riemann

4

2 Integrale de Riemann

7

2.1 Fonctions Riemann-integrables

7

2.2 Proprietes de l'integrale de Riemann

1 2

2.3 Integrale et primitive

1 6

2.4 Critere de Riemann-integrabilite

1 9

3 Fonctions reglees

2 2

3.1 Denition

2 2

3.2 Proprietes des fonctions reglees

23

3.3 Integrale des fonctions reglees

23

4 Integrales impropres

2 6

4.1 Denition et proprietes

2 6

4.2 Integrales impropres des fonctions positives

2 9

5 Suites et series de fonctions Riemann-integrables

33

5.1 Dierentes convergences de fonctions

3 3

5.2 Integrabilite des suites et series de fonctions

35

5.3 Quelques inconvenients de l'integrale de Riemann

39
i

Introduction

Le calcul d'integrales a deja ete rencontre les annees precedentes dans des cas bien concrets, pour des integrales de fonctions usuelles. Depuis le L1, les techniques de calcul de primitives, d'aires, d'integration par parties ou de changements de variables permettent de mener a bien les calculs eectifs d'integrales de fonctions usuelles. On se propose dans ce cours de donner une construction theorique de l'integration qui recouvre les methodes de calculs deja connues. Il y a plusieurs theories de l'integration. Son approche est geometrique, il considereRb af(x)dx comme une aire. Un peu plus tard, Riemann constate que la condition de continuite de l'integrandfpour le calcul deRb af(x)dxest inutile : il sut que les fonctions soient limites de fonctions en escalier. Il donne donc une theorie plus generale pour les fonctions limites de fonctions en escalier (1854). C'est dans le cadre de cette theorie que se font tous les calculs d'integrale rencontres jusqu'a maintenant. L'integrale de Riemann est l'objet de ce cours. On la presentera comme Darboux l'a fait (1875). Ce type d'integrales se calcule sur des domaines bornes Z b a f(x)dx. Quand ce n'est pas le cas, on peut avoir recours a des integrales generalisees Z +1 1 f(x)dx(dites integrales impropres) mais elles ne verient pas toutes les proprietes des integrales classiques (sur les intervalles bornes). Dans la theorie de Riemann, certains calculs posent des problemes. En particulier, pour les problemes d'interversion de somme et d'integration (souleves par Fourier) : X n1Z f n(x)dx=ZX n1f n(x)dx; ou de limite et d'integrale : lim n!+1Z f n(x)dx=Z lim n!+1fn(x)dx on ne dispose d'aucun resultat satisfaisant alors qu'en pratique ce type de probleme se pose souvent. Des reponses elegantes sont donnees par Lebesgue dans le cadre de l'integrale de Lebesgue qui fait l'objet d'un cours specique en L3, cf [

JCB-Lebesgue

] auquel on renvoie. ii c

JCB { L3 math { Universite de Rennes 1iii

On pourra consulter pour reference tout ouvrage de niveau L2 d'Analyse, a titre d'exemple on cite [ Gos ] dont ces notes s'inspirent et [ AF R DO

Chapitre 1

Integrales des fonctions en escalier

En Deug, plusieurs techniques de calculs sont etudiees et utilisees pour calculer des integrales (integration par parties, changements de variable). Ces calculs relevent de l'in- tegrale de Riemann. On va en donner dans cette premiere partie, une construction plus theorique et rappeller (ou demontrer) les principales proprietes de ce type de calcul. Pour cela, on commence par s'interesser a des fonctions etagees (fonctions en escalier) pour lesquelles on va denir l'integrale et verier ses principales proprietes. Puis on generalisera cette construction a une classe de fonctions plus large (dite integrables) qui contient toutes les fonctions usuelles (en particulier les fonctions continues).

Dans ce chapitre, [a;b] designe un intervalle ni.

1.1 Fonctions en escalier

Denition 1.1.1

( Subdivision)Soit[a;b]un intervalle ni, on appelle subdivisionSde [a;b]toute suite nie ordonnee(ti)0inde[a;b]:a=t0t1 tn=b.

On appelle pas de la subdivision

(S) = max0in1jti+1tij:

Exemples :

{S1=f0;12 ;1g;S2=f0;14 ;12 ;34 ;1g;S3=f0;13 ;23 ;1g;S4=f0;25 ;12 ;56 ;1gsont des subdi- visions de [0;1]. L asu bdivisionu niformes ur[ a;b] est celle de pointsti=a+iban , 0in, elle est de pas ban Precedemment,S1,S2,S3sont uniformes de pas respectivement(S1) = 1=2,(S2) =

1=4 et(S3) = 1=3. Par contre,S4n'est pas uniforme et de pas(S4) = 2=5.

Denition 1.1.2SoientSetS0deux subdivisions de[a;b],S0est dite plus ne queSsi SS0, c'est a dire si la suite(ti)iqui denitSest inclue dans celle(t0j)jdeS0. 1

Chapitre 1.

c

JCB { L3 math { Universite de La Rochelle2

Precedemment,S2est plus ne queS1ou encoreS0=f0;1;2;3;4gest plus ne que

S=f0;2;4g, subdivisions de [0;4].

En particulier, si on a deux subdivisionsS1etS2alors la subdivisionS3=S1[S2rane a la foisS1etS2. On rappelle que pour un ensembleA, la fonction indicatrice1A(x) =1; x2A

0; x62Aest

celle qui indique sixest dansAou non. Denition 1.1.3On appelle fonction en escalier sur[a;b]toute fonctionf: [a;b]!R telle qu'il existe une subdivisionS= (ti)0inde[a;b]avecfconstante sur chaque intervalle [ti;ti+1[. La fonctionfs'ecrit alors : f(x) =n1X i=0 i1[ti;ti+1[(x):(1.1) Par exemplef(x) = 21[0;2[(x)51[2;4[(x) + 31[4;5](x),g(x) =1[0;1=2[(x) + 21[1=2;3[(x)

31[3;5](x).

Le nom ce ces fonctions vient de l'allure de leur representation graphique. Dessiner par exemple les graphes defet deg. Proposition 1.1.1L'ensembleE([a;b])des fonctions en escalier sur[a;b]est un sous- espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de[a;b]dansR. En eet c'est stable par multiplication par un scalaire par exemple

5f(x) = 101[0;2[(x)251[2;4[(x)+151[4;5](x);2g(x) =21[0;1=2[(x)41[1=2;3[(x)+61[3;5](x)

sont encore en escalier. Et c'est stable par addition : f(x) +g(x) = 31[0;1=2[(x) + 41[1=2;2[(x)31[2;3[(x)81[3;4[(x) + 01[4;5](x) ou il faut bien comprendre d'abord que sifse decompose sur [0;2[[[2;4[[[4;5] etgsur [0;1=2[[[1=2;3[[[3;5] alorsf+gse decompose sur [0;1=2[[[1=2;2[[[2;3[[[3;4[[[4;5], par- tition qui rane a la fois celles defet deg. En tout casf+gest bien en escalier. Plus generalement, il faudrait voir que pour toutes fonctions en escalierfetgalorsf+g l'est encore pour tous reels;(exercice).

1.2 Integrale des fonctions en escalier

Denition 1.2.1On appelle integrale deffonction en escalier donnee par(1.1)le nombre reelZb a f(x)dx=n1X i=0 i(ti+1ti)(x):

Chapitre 1.

c

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Remarque 1.2.1{Un efo nctionen es calierp euta voirp lusieurs ecrituresd ut ype 1.1 )en r anantl asu bdivision,p arex emple f(x) = 21[0;2[(x)51[2;4[(x)+31[4;5](x) = 21[0;3=4[(x) + 21[3=4;2[|{z} (x)51[2;3[(x)51[3;4[(x)|{z} +31[4;5](x):

On montre cependant que l'integrale

Rb af(x)dxdenie precedemment ne depend pas de l'ecriture particuliere def: deux ecritures dierentes de la m^eme fonction en escalier donnent la m^eme valeur de l'integrale. La denition a donc bien un sens. Un efon ctionco nstantesu r[ a;b] est une fonction en escalier particulieref(x) =1[a;b], avec la subdivision trivialefa;bgde [a;b]. Son integrale est alors Z b a f(x)dx=(ba) siest la valeur constante de cette fonction.

P arex emple

Z 5 0 f(x)dx= 2252 + 31 = 410 + 3 =3; Z 5 0 g(x)dx= 112 + 2(312 )32 =12 + 56 =12 Proprietes des integrales de fonctions en escalier (linearite) L'applicationf7!Z b a f(x)dxest une application lineaire deE([a;b]) l'en- semble des fonctions en escalier dansR. L'integrale est donc lineaire : Z b a (f+g)(x)dx=Z b a f(x)dx+Z b a g(x)dx: Pour cela, il faut raner les subdivisionsSdefetS0degenS00=S[S0, adaptee a la fois afet aget donc af+g, puis utiliser la linearite de la somme. (positivite) Sifest une fonction en escalier positive alors son integraleRb af(x)dxest positive. En eet, dans ce cas, son integrale est une somme de termes positifs donc elle est positive. (ordre)Sifetgsont des fonctions en escalier avecfgalorsRb af(x)dxRb ag(x)dx. Il s'agit de la propriete de positivite appliquee agf0. (valeurs absolues) Pour toute fonction en escalierf, on a Z b a f(x)dxZ b a jf(x)jdx:

Chapitre 1.

c

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En eet, d'abord, sifest en escalier,jfjl'est aussi et f(x) =n1X i=0 i1[ti;ti+1[;jf(x)j=n1X i=0jij1[ti;ti+1[: Comme la valeur absolue d'une somme est majoree par la somme des valeurs absolues, le resultat suit facilement. (Relation de Chasles)Sifest une fonction en escalier sur [a;b] etc2[a;b] alors Z b a f(x)dx=Z c a f(x)dx+Z b c f(x)dx: En eet, en rajoutantca la subdivisionS, la somme denissantRb af(x)dxse scinde en deux, l'une correspondant a la partie de subdivision avantc(egale aRc af(x)dx), l'autre a celle apresc(egale aRb cf(x)dx). Soitfune fonction en escalier sur [a;b] etu:R!Rune application lineaire. Alorsuf est en escalier etZb a (uf)(x)dx=u Zb a f(x)dx En eet,ufest constante sur [ti;ti+1] et y vautu(i) sify vauti. Mais alors Z b a (uf)(x)dx=n1X i=1u(i)(ti+1ti) =u n1X i=1 i(ti+1ti)! =u Zb a f(x)dx

Soitfen escalier sur [a;b] alors

Z b a f(x)dx(ba) sup x2[a;b]jf(x)j:

Notonsf=Pn1

i=0i1[ti;ti+1[.

On a sup

x2[a;b]jf(x)j= max1injij=:A. On a Z b a f(x)dx= n1X i=0 i(ti+1ti) n1X i=0jij(ti+1ti) =An1X i=0(ti+1ti) =A(ba):

1.3 Sommes de Darboux et de Riemann

On se donnefune fonction de [a;b] dansRbornee. Pour denir son integrale, on va approcherfpar des fonctions en escalier. Etant donnee une subdivisionS, on denit des fonctions en escalier qui minorentfet qui majorentf: soient E (f;S)(x) =n1X i=0m i1[ti;ti+1[(x):(1.2)

Chapitre 1.

c

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oumi= infx2[ti;ti+1[f(x) et avecMi= supx2[ti;ti+1[f(x), on considere E (f;S)(x) =n1X i=0M i1[ti;ti+1[(x):(1.3)

Plus generalement, on peut approcherfpar

E(;f;S)(x) =n1X

i=0f(i)1[ti;ti+1[(x) (1.4) oui2[ti;ti+1[ est quelconque. S'ils existent, aveciqui realise le minimum defsur [ti;ti+1[, on obtient la premiere fonction en escalier (1.2),a veciqui realise le maximum, on obtient la seconde ( 1.3 Souvent, on prendi=tipour tous lesioui=ti+1(c'est a dire la gauche ou la droite des intervalles). Et quand la subdivision est uniforme, on considere frequemment les fonctions en escalier suivantes :

E(f;Sunif)(x) =n1X

i=0f(a+iban )1[a+iban ;a+(i+1)ban [(x): Exemple :Donner ces fonctions en escalier pour la fonctionf(x) = sinxet la subdivision f0;6 ;3 ;34 ;gde [0;]. Ces fonctions en escalier verient les proprietes elementaires suivantes :

Proposition 1.3.1

1.E (f;S)(x)f(x)E+ (f;S)(x). 2.E (f;S)(x)~E(;f;S)(x)E+ (f;S)(x). 3.

Si SS0, on aE

(f;S)(x)E (f;S0)(x)etE+ (f;S0)(x)E+ (f;S)(x). Le 3) se comprend de la facon suivante : quand on ane la subdivision, les fonctions en escalier deviennent plus precises et se rapprochent def. Denition 1.3.1Etant donnee une subdivisionS, on appelle somme de Darboux infe- rieure l'integrale de la fonction en escalier(1.2) A (f;S) =n1X i=0m i(ti+1ti): On appelle somme de Darboux superieure l'integrale de la fonction en escalier(1.3) A +(f;S) =n1X i=0M i(ti+1ti) toujours avec m i= infx2[ti;ti+1[f(x); Mi= sup x2[ti;ti+1[f(x):

Chapitre 1.

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Ce sont en fait les integrales des fonctions en escalierE (f;S)etE+ (f;S). Denition 1.3.2Etant donnee une subdivisionS, on appelle somme de Riemann l'inte- grale d'une fonction en escalier du type(1.4)

R(f;S;) =n1X

i=0f(i) (ti+1ti) ou pour chaquei,i2[ti;ti+1[.

Il s'agit de l'integrale de

~E(;f;S). Pour denir une telle somme,fn'a pas besoin d'^etre bornee. S'il existe, aveciqui realise le minimum defsur [ti;ti+1[, on obtient la somme de Darboux inferieureA(f;S). S'il existe, aveciqui realise le maximum defsur [ti;ti+1[, on obtient la somme de Darboux superieureA+(f;S). Avec la subdivision uniforme, la somme de Riemann prend la forme classique :

R(f;Sunif) =ban

n1X i=0f(a+iban

De la Proposition

1. 3.1

p ourl esfo nctionsen esca lier,o nd eduitq ueces so mmesv erient les proprietes elementaires suivantes :

Proposition 1.3.2

1.A(f;S)R(f;S;)A+(f;S).

2.

Si SS0, on aA(f;S)A(f;S0)etA+(f;S0)A+(f;S).

Plus la subdivision est ne, plus les sommes de Darboux inferieures sont grandes, plus les sommes de Darboux superieures sont petites (et se rapprochent en fait chacune d'une valeur commune:::).

Chapitre 2

Integrale de Riemann

2.1 Fonctions Riemann-integrables

Denition 2.1.1Une fonctionf: [a;b]!Rest Riemann-integrable (sur[a;b]) si pour tout" >0, il existe une subdivisionStelle que ses sommes de Darboux verient : A +(f;S)A(f;S)":(2.1)

A fortiori si (

2.1 )est v raiep ourS, c'est vrai pour toute subdivisionS0plus ne queS.

En eet d'apres la Prop.

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